廣州培英中學(xué)2023年高二年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

廣州培英中學(xué)2023年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)

高二數(shù)學(xué)

滿分：150分時(shí)間：120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知點(diǎn)碼回川-L）,則直線A3的傾斜角為（）

A.尋B.-C.工D.

3636

2.已知2=（—3,2,5）3=（1,7—1）,若d/B，則丁=（）

A.4B.6C.5D.3

3.已知｛ZH｝是空間的一組基底，則下列向量中能與Z+B，構(gòu)成一組基底的是（）

A.aB.BC.cD.a+lb

4.已知￡、B都是空間向量，且=則（2a,-3可=（）

A；B.2C.2D.

3636

5設(shè)直線4,5的斜率和傾斜角分別為匕，網(wǎng)和4，4,則滿〉卷是“4>8”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)點(diǎn)A（4,—3）,8（—2,—2）,直線/過(guò)點(diǎn)P（l,l）且與線段A3相交，貝心的斜率上的取值范圍是（）

44

A.Z21或左W—4B.k>l^k<一一C.-4<Z:<1D.一一<A:<-1

33

7.“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉席”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》中描述：“斜解

立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉腌.”一個(gè)長(zhǎng)方體ABC。-R沿對(duì)角面斜解（圖

1）,得到兩個(gè)一模一樣的塹堵（圖2）,再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2）,得到一個(gè)四棱錐，

稱為陽(yáng)馬（圖3）,一個(gè)三棱錐稱為鱉腌（圖4）.若鱉膈的體積為4，AB=4,BC=3,則在鱉腌中，平

面BCR與平面3cA夾角的余弦值為（）

67652765

656565

8.在RtOABC中，ZACB=9Q°,AC=],BC=2,CD是/ACB的角平分線(如圖①).若沿直線

CO將口ABC折成直二面角8-CD-A(如圖②).則折疊后A,B兩點(diǎn)間的距離為()

A.V2B.0C.2D.3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.

9.已知4(2,0,4),6(1,1,3),4一1,1,一2),則()

A.AB+AC^(-4,2,-7)B.|flc|=29

C.若向量機(jī)=(2,-2,2),則晟//而D,若向量加=(1,2,1),則右J,而

10.已知直線4的方程是以-y+b=0」2的方程是"一y—。=0(。匕/0,。。份，則下列各示意圖中，不

正確的是()

A.B.

11.在長(zhǎng)方體A8CZ）—ABCQI中，BC=2A8=2BA=6,點(diǎn)七為棱上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F

是長(zhǎng)方形AO0A內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且直線4F,EF與平面所成角的大小相等，則（）

A.A///平面Bee4B.三棱錐尸-的體積為4

-525

C.不存在點(diǎn)E,使得AF//AED.線段4尸的長(zhǎng)度的取值范圍為

2o

12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面

體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24,棱長(zhǎng)為

2后的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四

A

A.該半正多面體的表面積為48+326

B.46_1平面8。。6

C.若E為線段BC的中點(diǎn)，則異面直線。E與A尸所成角的余弦值為述

10

D.點(diǎn)8到平面ACO的距離為逑

3

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過(guò)點(diǎn)（-1,-2）斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程是

14.已知直線/的方向向量e=（〃z,l,2）,平面a的法向量〃=（2,〃,一4）,若/_La,則2加+〃=.

15.若三個(gè)向量之=（3,3,2）,B=（6jn,7）,=（0,5,1）共面，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

16.長(zhǎng)方體ABC?！狝耳CQ中，AB=\,AD=2,A4,=2,P是棱。A上的動(dòng)點(diǎn)，則△叢6的面積

最小值是一.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A（-l,l）,8（1,1）,C（2,V3+1）.

（1）求直線AB,BC,4c的斜率和傾斜角；

（2）若。為口48。的AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的傾斜角的取值范圍.

18.如圖，在正四面體A8CO中，E是棱6C的中點(diǎn)，AF=2FD＞分別記而，而，而為工友口

（1）用表示而；

（2）若忖=6,求而百.

19.如圖，在多面體ABC-44G中，四邊形AB4A是正方形，C4_L平面ABga，AC=AB=1.,

B]CJ/BC,BC=2B\C\

(1)求證：

(2)求A到平面BCG的距離?

20.在三棱錐P—ABC中，EMBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BP=1,PC=6平面PBC1平面

ABC,E為線段CP的中點(diǎn).

(1)證明：AE1CP.

(2)在直線BC上是否存在點(diǎn)F,使得直線AF與平面ABP所成角的正弦值為好？若存在，求竺的

5FC

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.如圖，梯形ABC。所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB//CD//EF,

AB1AD,\CD\=\DA\=\AF\=\FE\=2,|AB|=4.

(1)求證：DF〃平面BCE；

(2)求二面角C—BE—A的余弦值；

(3)線段CE上是否存在點(diǎn)G,使得AG,平面BCF?請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.如圖，四棱錐S-ABC力的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱上的點(diǎn).

(1)求證：AC±SD；

(2)若SZ)J_平面％C,求平面B4C與平面AC￡＞的夾角大??；

(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面用C.若存在，求SE：EC的值：若

不存在，試說(shuō)明理由.

2023學(xué)年第一學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)

高二數(shù)學(xué)

滿分：150分時(shí)間：120分鐘

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知點(diǎn)人(1網(wǎng)判-L),則直線的傾斜角為()

A.4B.-C.工D.

3636

【答案】A

【解析】

【分析】

由兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線A8的斜率，利用k=tana,結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.

【詳解】設(shè)直線A3的傾斜角為a,

因?yàn)榫W(wǎng)-1,38),

所以直線A2的斜率1=36-6=—0,即tana=一百，

-1—1

因?yàn)樗詀=與.

故選:A

2.已知2=(—3,2,5)石=(1,%—1),若a",則丁=()

A.4B.6C.5D.3

【答案】A

【解析】

【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為五3=0,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于)’的方程，解之即可.

【詳解】由得方方=0,

又???々=(一3,2,5)，B=

5-/?=-3xl+2xy+5x(-l)=2y-8=0,

解得m=4,

故選：A.

3.已知｛￡,瓦,是空間的一組基底，則下列向量中能與￡+B，構(gòu)成一組基底的是（）

A.aB.BC.cD.a+2b

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理可知Z，b，Z+2B均與Z+加，2-各共面即可得出答案.

—?I—?—?I—?-*—*I??-I—?—?—*—?5—?―*I—?—?

【詳解】因?yàn)椤?一(。+〃)+—(。一〃)，b=—(a+b)---(a-h),a+2b=—(a+b)——(a-b),

222222

所以由空間向量共面基本定理可知Z，%,Z+2B均與Z+＞共面，不能構(gòu)成一組基底，故A、

B、D錯(cuò)誤，C正確.

故選：C.

4.己知￡、B都是空間向量，且=則儂,—3%（）

A.—712萬(wàn)D.5萬(wàn)

36T~6

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得到答案

【詳解】解：???（〃?=

2展(-3“_-6a-b?

CCC/0ZI-2/1\-

cob\乙c/,J—

下司卜3可6|同2

,.122一3坂）￡[0,句，（2a,-3h^=,

故選：A

5.設(shè)直線4，4的斜率和傾斜角分別為匕，總和4，。2，則＞%2是“4＞。2”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】

對(duì)直線的傾斜角分銳角和鈍角進(jìn)行討論，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案；

【詳解】解：：直線4,4的斜率和傾斜角分別為K，h和4,優(yōu),

當(dāng)傾斜角均為銳角時(shí)，和均為鈍角時(shí)，若“人＞網(wǎng)"，貝/4〉%”，

若“仇＞口’'，則"左

當(dāng)傾斜角一個(gè)為銳角一個(gè)為鈍角時(shí)，若“匕〉女2"，貝『避與2”的大小不能確定，

若“4＞%”，則"人與月”的大小也不能確定,

故則＞右”是“4＞為”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】直線的斜率k=tana,將斜率視為傾斜角的函數(shù)，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

6.設(shè)點(diǎn)4（4,一3）,8（-2,-2）,直線/過(guò)點(diǎn)P（l,l）且與線段相交，則/的斜率左的取值范圍是（）

44

A.左21或攵W-4B.或44一一C.-4＜A:＜1D.一一＜A:＜-1

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)斜率公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖所示：

1-(-3)^4^1-(-2)

因?yàn)樵?/p>

41-4-35PB~1-(-2)

所以當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)P。,1）且與線段AB相交時(shí)，/的斜率k的取值范圍是％21或kK—g,

故選：B

7.“塹堵”“陽(yáng)馬”和“鱉膈”是我國(guó)古代對(duì)一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》中描述：“斜解

立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉膈.”一個(gè)長(zhǎng)方體A8C。-A4GR沿對(duì)角面斜解（圖

1）,得到兩個(gè)一模一樣的塹堵（圖2）,再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)的棱斜解（圖2）,得到一個(gè)四棱錐，

稱為陽(yáng)馬（圖3）,一個(gè)三棱錐稱為鱉腌（圖4）.若鱉膈的體積為4，AB=4，BC=3,則在鱉腌中，平

【笞案】B

【解析】

【分析】利用三棱錐體積公式可求得CG,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法可

求得結(jié)果.

【詳解】由切割過(guò)程可知：8cl平面。69，

V=

^B-CC.D,^：cc,Dl-5C=1X^-XCC1X4X3=4,CCt=2;

在長(zhǎng)方體A8CD-4旦C|0］中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，血，反，函正方向?yàn)閤，y，z軸可建立如圖所示空間直

角坐標(biāo)系，

則8(3,4,0),C(0,4,0),R(0,0,2),C,(0,4,2),

.-.BC=(-3,0,0),西=(-3,-4,2),冠=(0,4,0),

設(shè)平面8C。的法向量n=（x,y,z）,

[BC-n=-3x=0

則<___，令y=i,解得：x=oZ=2,A72=(0,1,2)；

[BZ)1-n=-3x-4y+2z=0

設(shè)平面3GA的法向量而=（a，b,c）,

BD1?m二一3。-4。+2c=0

則，令a=2、解得：b=0,c=3/.777=(2,0,3)；

前.玩=48=0

口叫二66病

cos<m,n>

ml-IniV5xV1365

即平面BCD,和平面BCQi夾角的余弦值為小叵.

65

故選：B.

8.在RtDABC中，^ACB=90°,AC=l,BC=2,CO是/AC8的角平分線（如圖①）.若沿直線

C。將口ABC折成直二面角8—CD-A（如圖②）.則折疊后A8兩點(diǎn)間的距離為（）

A.72B.V3C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】過(guò)A作CD的垂線AG,過(guò)B作CD的延長(zhǎng)線的垂線8”，分別交CO于G,”，由向量的運(yùn)算

可得答案.

B

【詳解】

'：CD是ZACB的角平分線，.?.ZACD=NBCD=45"，

過(guò)A作CO的垂線AG,過(guò)8作。。的延長(zhǎng)線的垂線8”，分別交CO于G,",

AAG=lxsin45°=—?CG=lxcos45°=—>8H=2xsin45°=0，C”=2xcos45°=夜，

22

HG=CH-CG=旦,

2

直線AG和8”是異面直線，所成的角為90"，線段例是公垂線段,

網(wǎng)=yl(AG+GH+HB)2=VAG2+而°+HG

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.

9.已知A(2,0,4),8(1,1,3),C(-l,l,-2),則()

A.AB+IC=(-4,2,-7)B.同=29

C.若向量機(jī)=(2,-2,2),則云〃而D.若向量加=(1,2』)，則記_1_而

【答案】ACD

【解析】

【分析】由向量加法和模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算、向量共線與垂直的坐標(biāo)表示依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,vAB=(-1,1,-1),AC=(-3,1,-6),麗+/=(-4,2,—7),A正確;

對(duì)于B,?.?就=(—2,0,—5),阿卜卜2)2+02+(_5『=犧，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C’,"3=(-LL-1),.?.玩=-2而,.?.而/而，C正確;

對(duì)于D,?.?五.麗=一1+2-1=0，.?.而_L而，D正確.

故選：ACD.

io.已知直線4的方程是辦一丁+。=0,/2的方程是"一^一。=0（。匕/0,。。份，則下列各示意圖中，不

正確的是（）

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中的直線方程入手分別分析出。，匕與0的大小且是否滿足題干中的條

件，進(jìn)而找到不正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：從4可以看出?！?,*>0,從4可以看出a<0,b<Q,矛盾，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：從4可以看出。>0,b<Q,從4可以看出。<0，。>0,矛盾，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)：從4可以看出a<0,b>0,從4可以看出a<0,b<0,矛盾，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：從4可以看出a<0,b>0,從4可以看出a<0，b>o,且滿足出;#0,a*b,選項(xiàng)D正

確.

故選：ABC

11.在長(zhǎng)方體48。。一4片。1，中，BC=24B=2B耳=6,點(diǎn)E為棱6C上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)

是長(zhǎng)方形AOR4內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且直線4F,Ef與平面AO"A所成角的大小相等，則（）

A.4///平面3CG4B.三棱錐尸—84E的體積為4

'525'

C.不存在點(diǎn)F,使得AF//BED.線段4尸的長(zhǎng)度的取值范圍為

_2o

【答案】AD

【解析】

【分析】由面面平行的性質(zhì)可判斷A項(xiàng)，由等體積法可判斷B項(xiàng)，由直線男尸，EE與平面AORA所成

角相等可得點(diǎn)尸在4G的中垂線上，通過(guò)證明四邊形AgEG為平行四邊形進(jìn)而證得AG〃旦E,進(jìn)而可

得點(diǎn)尸位置即可判斷C項(xiàng)，由點(diǎn)F的軌跡為〃/,進(jìn)而可得4尸的范圍即可判斷D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)槊鍭OAA〃面BCG4，AFu面AO4A，所以A尸〃面3CG4,故A項(xiàng)正

確；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)槊婷?與E,所以匕.即￡=匕.叫E=；xgx3x4x3=6,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，連接4尸，作EG〃C。交AO于G,連接FG,如圖所示，

因?yàn)?旦，面AOAA，所以N4尸四為87與平面所成角,

又EG_L面ADD,A,,所以NEFG為EF與平面ADD}\所成角,

因?yàn)橹本€87，EF與平面所成角相等，所以/4尸四=/石尸6,

則tanZA,FB]=4^=tanNEFG=,

AFFG

又4^=EG,所以A/=FG,

則點(diǎn)尸在4G的中垂線上，如圖所示，"/_LAG交4G于點(diǎn)K,

即點(diǎn)尸在線段印上運(yùn)動(dòng)，

因?yàn)锳BJ/EG,\BX=EG,所以四邊形A4EG為平行四邊形，

所以AG〃與E,

所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)K重合時(shí)，&FHB\E,故C項(xiàng)不正確；

對(duì)于D項(xiàng)，由題意知，A4,=3,AG=4,貝UAG=5,

/…AGKG15

因?yàn)椤?5/464='^^=77^，KG=—AG=—,

AQHG2t2

2.25

所以42,解得〃G=上，

—=———2

5HG

25

所以A/="G=」，

8

25

當(dāng)點(diǎn)廠在點(diǎn)/或點(diǎn)”處時(shí)，線段AF的長(zhǎng)度取得最大值為不，

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)K時(shí)，線段A尸的長(zhǎng)度取得最小值為g，

525

所以線段A尸的長(zhǎng)度的取值范圍為，故D項(xiàng)正確.

故選：AD.

12.很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面

體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24,棱長(zhǎng)為

2血的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四

面體所得的，下列結(jié)論正確的有（）

A

A.該半正多面體的表面積為48+326

B.AG_L平面8COG

C.若E為線段的中點(diǎn)，則異面直線與A尸所成角的余弦值為垣

10

D.點(diǎn)B到平面ACO的距離為述

3

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合正方體的幾何性質(zhì)，可得AB的正誤，建立空間直角坐標(biāo)值，利用線線角與點(diǎn)

面距的公式，可得CD的正誤.

【詳解】由題意，可作圖如下：

對(duì)于A,由圖可知，該阿基米德體的定點(diǎn)分為為正方體各棱的中點(diǎn)，

則其是由六個(gè)正方形和八個(gè)正三角形組成的，所以該立體圖形的表面積

S=6x（2V2x2V2）+8xfix2V2x2V2xsin60°j=48+16V3,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由圖可知，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知AGL平面BCOG,故B正確;

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：

對(duì)于C,由阿基米德體的棱長(zhǎng)為2后，可知圖中正方體的棱長(zhǎng)為4,

則4（2,0,0）,尸（4,0,2）,。（4,2,4）,￡（1,3,4）,取而=（2,0,2）,=（-3,1,0）,

AFDE|2x(-3)+0xl+2x0|3亞

設(shè)異面直線的夾角為則cos6=一??一-故c

AF\-\DEV22+02+22-^(-3)2+12+02lo

正確；

對(duì)于D,有圖可知8（0,2,4）,4（2,0,0）,C（2,4,4）,￡＞（4,2,4）,

在平面AC。內(nèi)取而=（2,2,4）,就=（0,4,4）,

_,、五?AO=0

設(shè)平面ACD的法向量”=(x,y,z),由＜一

'五AC=O

2x+2y+4z=0fx=y

可得4y+4z=。，化簡(jiǎn)可得z令"I則I，z-

所以平面AC。的一個(gè)法向量3=（1』,一1）,取而=（一2,2,4）

ABn2+2—4|4A/3

設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離d=—prI/=+，故D錯(cuò)誤.

HVl+l+l3

故選：BC.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過(guò)點(diǎn)（-1,-2）斜率為3的直線的點(diǎn)斜式方程是.

【答案】y+2=3（x+l）

【解析】

【分析】由點(diǎn)斜式方程的定義和特征即可求解.

【詳解】由題意知：斜率為3,點(diǎn)為（一1,一2）,故點(diǎn)斜式方程為：y+2=3（x+l）

故答案為：y+2=3（x+l）

14.已知直線/的方向向量工=（機(jī),1,2）,平面a的法向量7=（2,〃,-4）,若/_La,則2m+〃=

【答案】-4

【解析】

【分析】由/_La,可得工〃百，從而可得3=4工，代入坐標(biāo)列方程可求出加，〃，從而可求出2機(jī)+〃

【詳解】因?yàn)橹本€/的方向向量工=（加,1,2）,平面。的法向量3=（2,〃,-4）,/la,

所以e〃n>

所以存在唯一實(shí)數(shù);I,使［=4"，

2=Am

所以（2,〃,-4）=〃肛1,2）,所以〈幾=4,

—4=24

A=—2

解得<"2=-1,

n=-2

所以2機(jī)+〃=-2+（-2）=-4,

故答案為：-4

15.若三個(gè)向量2=（3,3,2）,5=（6,m,7）,^=（0,5,1）共面，則實(shí)數(shù)，"的值為.

【答案】21

【解析】

【分析】根據(jù)向量共面基本定理即可求解.

【詳解】?=（3,3,2）,B=（6,加,7）,1=（0,5,1）共面，則存在實(shí)數(shù)匕兒使得B=+即

6=3Xx=2

</n=3x+5yn〈y=3,

7=2x+ym=21

故答案為：21

16.長(zhǎng)方體ABC?！狝4GA中，48=1，AO=2,44=2,P是棱DR上的動(dòng)點(diǎn)，則△24（的面積

最小值是一.

【答案】逑

55

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)PO=z,表示出cos/^PC，求出sinNAPC，即可

表示出S〉A(chǔ)C，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求得答案.

【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,A4,分別為x軸，），軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PZ)=z,則A(0,0,2),C(1，2,0),P(0,2,Z),(0<z<2),

“=j4+(2-z)2,|AC|=V9=3,|PC|=H7,

1+Z2+4+(2-Z)2-9z2-2z

由余弦定理可得,cosZ^PC=

21PAi|PC|KM

2

1-(z2z2■\/5z-4z+8

/.sinZ^PC=

??.SPAC=4尸41尸0忖11A\PC=，5Z：4Z+8=V__|__L2|逐，

即當(dāng)z=g時(shí)，△P4,c的面積最小值為(近.

故答案為：—5/5.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)8（1,1）,C（2,V3+1）.

（1）求直線A8,BC,AC的斜率和傾斜角；

（2）若。為口ABC的AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CQ的傾斜角的取值范圍.

【答案】（1）*=0,&c=6，kAC=—＞直線4?的傾斜角為0,直線8c的傾斜角為?，直線AC

3J

7T

的傾斜角為

6

7T7T

（2）—

l_63J

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式計(jì)算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可；

（2）數(shù)形結(jié)合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可.

【小問(wèn)1詳解】

由斜率公式，得時(shí),=-=0,%=避止1=G，kl（.='+111=立，因?yàn)樾甭?/p>

等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是［0"）,所以直線AB的傾斜角為0,直線8C的傾斜角為9，

7T

直線AC的傾斜角為：.

6

【小問(wèn)2詳解】

如圖，當(dāng)直線C￡）繞點(diǎn)C由CA逆時(shí)針轉(zhuǎn)到C8時(shí)，直線C。與線段A8恒有交點(diǎn)，即/）在線段AB上，此

時(shí)％由心增大到噎’所以噎的取值范圍為件間，即直線8的傾斜角的取值范圍為

7171

1與,

18.如圖，在正四面體A8Q9中，E是棱BC的中點(diǎn)，/=2麗，分別記而，就，而為ZEA

蟠

(i)用Z,瓦展表示麗;

(2)若卜卜6,求麗.麗.

―-1-1-2-

【答案】(1)EF=--a——h+-c

223

(2)21

【解析】

【分析】(1)根據(jù)向量線性運(yùn)算直接表示即可；

(2)將所求數(shù)量積化為伍-+g由向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

EF=AF-AE=-AD--(^B+AC)=--a--b+-c.

32、7223

【小問(wèn)2詳解】

由題意知：,卜W=卜|=6,a-b=a-c=b-c=36cos^=18；

BD=AD—AB=c—a^

"EH-FT/一一、,1一172-11--1工-2-21-21-工2--

/.BD-EF=\c-a]\——a——b+—c=——a-c——b-c+—c-\--a+—a?b——a-c

H223J223223

=—9—9+24+18+9—12=21.

19.如圖，在多面體ABC—A4G中，四邊形AB44是正方形，C4L平面AB81A，AC=AB=\.f

B\C[〃BC,BC=2BG

（1）求證：

（2）求A到平面BCG的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）也.

2

【解析】

【分析】（1）連接4與，由C4_L平面AB用4,可得AB_LC4,再由四邊形AB耳A是正方形，可得

AB.1A.B,再由線面垂直的判定定理可得?平面AB。，從而可得人臺(tái)上用。；

（2）由已知可得AC,AB,A4,兩兩垂直，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AB,AA分別為x,〉,z軸正方向建立

空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可

【詳解】（1）連接A4，

因?yàn)?。，平面ABU平面

所以A8_LCA,

因?yàn)樗倪呅蜛B4A是正方形，所以

因?yàn)镃4nA4=A,所以43,平面ABC，

因?yàn)锽Qu平面平面ABC，

所以A3,

（2）四邊形ABB同是正方形，則44,LAB,又C4_L平面以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AB,AA]

分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

由4C=AB=1,得A（O,O,O）,5（O,1,O）,C（LO,O），A（O，°，1），與（0J1），則/=（1,0,0），

——.......——1—.11一

由線G〃BC,BC=2B?,得BQ=BBaB?=BB]+3BC=(3，-3，1)，BC=(1,-1,O),

所以平面BCG的一個(gè)法向量7=(1,1,0),

\n-AC\1J2

所以A到平面BCCi的距離d=匚閂」=-j==—

20.在三棱錐P-ABC中，DABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BP=1,PC=6，平面P6C工平面

ABC,E為線段CP的中點(diǎn).

(1)證明：AELCP.

（2）在直線BC上是否存在點(diǎn)尸，使得直線A尸與平面48P所成角的正弦值為更？若存在，求處的

5FC

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

BF1

（2）存在，&土=士或1

FC2

【解析】

【分析】（1）作PM18C于“，根據(jù)勾股定理分別可求得AM,AP的值，只需證得PMLAM,即

可求出AC=AP=2,即可得出△APC為等腰三角形，從而可得AEJ.CP.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：作PM13C于〃，由平面PBC工平面A8C,且平面PBCc平面ABC=8C,得PM_L平面

ABC,：.PMLAM.

,/PB=\,BC=2,PC=6由勾股定理得？。2+282=8。2,

所以N3PC=9（T，

PM=>BM=4,A”=——.

222

1442.

在直角三角形APM中，由勾股定理可得AP

又AC=2.；.AE1CP.

P

【小問(wèn)詳解】

A.七二二7]/U一2

1/^

C

在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M作,垂足為點(diǎn)M,以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

■

（0,0,0）,81；,0,0）,拈,-6,0）,4/0'°），「°。亭，設(shè)F&°，°），

.?.麗=（1,一百,0）,麗=-,0,—

、22,

設(shè)〃=（九,y,z）是平面ABP的法向量,

n-BA=x-gy=0

取z=-1,得〃=（6,1,一1）,

n-BP=—x+z=0

22

設(shè)直線AF與平面ABP所成的角為巴

sin6=cos（=

化簡(jiǎn)得產(chǎn)+2/-』=0,解得/=1或/=—*.當(dāng)r=L時(shí)，處=1（尸在線段BC上）；

4222FC

5RF1

當(dāng)/=一士時(shí)，—=1（尸在線段C8的延長(zhǎng)線上）

2FC2

存在點(diǎn)尸，使得直線AF與平面A3P所成角的正弦值為包，且生=，或L

5FC2

21.如圖，梯形ABC。所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB//CD//EF,

ABYAD,\CD\^\DA\^\AF\=\FE\^2,|AB|=4.

（1）求證：OE〃平面BCE；

（2）求二面角C-8/—A的余弦值；

（3）線段CE上是否存在點(diǎn)G,使得AG1平面8CF?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

⑵

5

（3）不存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）證明DF//CE.然后證明。尸〃平面BCE.

(2)在平面48EF內(nèi)，過(guò)A作Az_LAB,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.求出平面BCf的法向量，平面

ABF的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

(3)解法一：求出平面ACE的法向量通過(guò)而工()，說(shuō)明平面4CE與平面BC尸不可能垂直.

解法二：假設(shè)線段CE上存在點(diǎn)G,使得AG_L平面8CF,設(shè)函=尤無(wú)，其中，［0,H.通過(guò)

AG_L平面BCF,AG〃萬(wàn)得方程組，判斷方程組無(wú)解，說(shuō)明假設(shè)不成立.

【小問(wèn)1詳解】

■:CD//EF,且CD=EF,

四邊形CDFE為平行四邊形，

DF//CE.

-：DFN平面BCE,

□平面8CE.

【小問(wèn)2詳解】

在平面4BER內(nèi)，過(guò)A作Az_LA8.

；平面A5CD1平面ABEF,平面ABC。c平面ABEF=A8，

又Azu平面ABEF,AzLAB,

'?Az_L平面ABCD,

/.AD±AB,ADJ.Az,Az1AB.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz：

由題意得，40,0,0),8(0,4,0),C(2,2,0),E(0,3,6)，尸(0,1,百).

ABC=(2,-2,0),而=(0,-3,6).

、n-BC^O]2x—2y=0

設(shè)平面8CF的法向量為〃=(x,y,z),則〈一，即〈r

n-BF=0-3y+j3z=0

令y=l,則x=l,Z=V3.An=(1,1,73).

平面ABF的一個(gè)法向量為v=(1,0,0),

El--制下石

則cos<n,v>=-----=——.

\n\\v\5

二面角C—B/-A的余弦值正.

5

【小問(wèn)3詳解】

線段CE上不存在點(diǎn)G,使得AGJ?平面BCb,理由如下：

m-^AC-0f2x,+2y.=0

解法一：設(shè)平面ACE的法向量為沅=(%，M，zJ,貝H_，即廠

m-AE=0[3y+。3馬=0

令X=l,則為=—1,z]=—73,.

玩方*0,

平面ACE與平面BCF不可能垂直，

從而線段C￡上不存在點(diǎn)G,使得AG_L平面8cb.

解法二：線段C