第04講因式分解（知識解讀達標檢測）（原卷版）

第04講因式分解【題型1因式分解的定義】【題型2公因式】【題型3提公因式】【題型4因式分解平方差】【題型5因式分解完全平方】【題型6提公因式與公式法綜合】【題型7十字相乘法】【題型8因式分解的應用】考點1：因式分解1.定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．2.掌握其定義應注意以下幾點：（1）分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；（2）因式分解必須是恒等變形；（3）因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止．3.弄清因式分解與整式乘法的內在的關系．因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．【題型1因式分解的定義】【典例1】（2023秋?海門市校級月考）下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a(chǎn)2+1＝（a+1）（a﹣1）【變式11】（2023春?玄武區(qū)期中）下列各式從左到右不屬于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【變式12】（2022秋?閔行區(qū)校級期末）下列各式從左到右的變形是因式分解的是（）A．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab B．a(chǎn)2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）考點2：公因式像多項式papbpc，它的各項都有一個公共的因式p，我們把這個公共因式p叫做這個多項式各項的公因式注意：公因式的構成一般情況下有三部分：①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母——各項含有的相同字母；③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù)；【題型2公因式】【典例21】（2023春?榆陽區(qū)期末）多項式6a2b﹣3ab2的公因式是．【典例22】（2023春?大竹縣校級期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是．【變式21】（2023春?禮泉縣期中）多項式．4ab2+8a2b的公因式是．【變式22】（2023春?巴州區(qū)月考）多項式3x+3y與x2﹣y2的公因式是．【變式23】（2023春?開江縣校級期末）多項式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是．考點3：提公因式提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項．注意：①提取公因式后各因式應該是最簡形式，即分解到“底”；②如果多項式的第一項的系數(shù)是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的系數(shù)是正的．【題型3提公因式】【典例3】（2022秋?白云區(qū)期末）分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【變式31】（2023春?常德期中）因式分解（1）x2﹣4x；（2）8y3﹣2x2y．【變式22】（2022秋?番禺區(qū)校級期末）因式分解：（1）8abc﹣2bc2；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．【變式33】（2022春?源城區(qū)校級期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．考點4：公式法運用公式法分解因式的實質是把整式中的乘法公式反過來使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【題型4因式分解平方差】【典例4】（2023?云南）分解因式：x2﹣4＝．【變式41】（2023?武威一模）因式分解：a2﹣169＝．【變式42】（2022秋?洞口縣期末）因式分解：4a2﹣b2＝．【變式43】（2023春?東源縣期末）把多項式a2﹣9b2分解因式結果是．【題型5因式分解完全平方】【典例5】（2023?通榆縣三模）分解因式：a2+8a+16＝．【變式51】（2023春?亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝．【變式52】（2023?前郭縣四模）分解因式：a2﹣6a+9＝．考點5：提公因式與公式法綜合提公因式：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）【題型6提公因式與公式法綜合】【典例6】（2023春?海曙區(qū)期中）分解因式（1）x2y﹣y；（2）ax2﹣6ax+9a．【變式61】（2023春?婁星區(qū)校級期中）因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）8a2﹣16ab+8b2．【變式62】（2022秋?武漢期末）因式分解：（1）2x3y﹣2xy3；（2）﹣a3+2a2﹣a．【變式63】（2023?肅州區(qū)校級開學）分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）2mx2+4mxy+2my2．【變式64】（2022秋?興城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）考點6：十字相乘法1.x2pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三項式ax2bxc(a0)中，如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即aa1a2，常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三項式ax2bxc的一次項系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1xc1與a2xc2之積，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．【題型7十字相乘法】【典例7】（2023春?銀海區(qū)期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．a(chǎn)1c2+a2c1＝b．例如：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．求：（1）x2﹣x﹣6；（2）3x2+5x﹣12．【變式71】（2023春?岳陽期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如圖）．第一步：二次項2x2＝x?2x；第二步：常數(shù)項﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結果等于一次項﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結論：（1）將多項式x2﹣x﹣2進行因式分解，可以表示為x2﹣x﹣2＝；（2）若3x2+px+5可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)p的所有可能值．【變式72】（2023春?子洲縣期末）閱讀下列材料：將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m+n，則可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根據(jù)材料，把下列式子進行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．【變式73】（2022秋?沙洋縣校級期末）閱讀與思考：利用多項式的乘法法則可推導得出：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解與整式乘法是方向相反的變形，利用這種關系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式，例如：將式子x2+3x+2分解因式．分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1+2．這是一個x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．（1）填空：式子x2+7x+10的常數(shù)項10＝×，一次項系數(shù)7＝+，分解因式x2+7x+10＝．（2）若x2+px+8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是．【題型8因式分解的應用】【典例8】（2023秋?商水縣期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，則m3n﹣mn3的值為（）A．±300 B．±84 C．±48 D．±12【變式81】（2023秋?鹿寨縣期末）已知：ab＝2，a﹣b＝1，則a2b﹣ab2＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式82】（2023秋?倉山區(qū)校級期末）如果a，b，c為三角形的三邊長，且滿足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么該三角形的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．不等邊三角形 D．無法確定【變式83】（2023秋?金州區(qū)期末）若x+y＝3，xy＝5，則x2y+xy2的值為．一．選擇題（共9小題）1．（2023秋?關嶺縣期末）把4xy2+2xy分解因式，應提取的公因式是（）A．2x B．xy C．2xy D．xy22．（2023秋?滄州期末）下列由左到右的變形，屬于因式分解的是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x3+4x﹣2＝x（x+4）﹣23．（2023秋?舒蘭市期末）如圖，邊長為a，b的長方形的周長為10，面積為6，則a3b+ab3的值為（）A．15 B．30 C．60 D．784．（2023秋?永城市期末）下列多項式中，可以運用平方差公式進行因式分解的是（）A．2x2+y2 B．2x2﹣y C．x2﹣9y2 D．x2+9y25．（2023秋?霸州市期末）若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，則a+b的值為（）A．±5 B．5 C．±4 D．46．（2023秋?廣饒縣期末）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分別對應下列六個字：華、我、愛、美、游、中，現(xiàn)將2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）A．愛我中華 B．我游中華 C．中華美 D．我愛美7．（2023秋?廣饒縣期末）如圖，四邊形ABCD是一個長方形，利用不同的方法可以計算出長方形的面積．通過分析圖形中所標線段的長度，將多項式m2+3mn+2n2因式分解，其結果正確的是（）A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）8．（2023秋?正陽縣期末）若x2+mx﹣18能分解為（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（）A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣29．（2023秋?望城區(qū)期末）分解因式a2b﹣b3結果正確的是（）A．b（a2﹣b2） B．b（a﹣b）2 C．（ab+b）（a﹣b） D．b（a+b）（a﹣b）二．填空題（共3小題）10．（2023秋?岱岳區(qū)期末）分解因式：4ax2﹣16ay2＝．11．（2023秋?普陀區(qū)校級期末）因式分解：a2﹣13a+36＝．12．（2023秋?通榆縣期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．三．解答題（共6小題）13．（2023秋?涼州區(qū)校級期末）分解因式：（1）3x2﹣12；（2）x2y﹣2xy+y．14．（2023秋?臨高縣期末）分解因式：（1）﹣2x3+8xy2（2）3a2﹣12a+1215．（2023秋?費縣期末）分解因式：（1）﹣a3+6a2﹣9a；（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．16．（2023秋?宜都市期末）因式分解：（1）（m+n）2﹣4（m+n）+4；（2）2x2﹣18．17．（2023秋?淮陽區(qū)期末）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式．例如圖①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請回答下列問題：（1）寫出圖②中所表示的數(shù)學等式；（2）猜測（a+b+c+d）2＝．（3）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個三角形的三邊長，請判斷該三角形的形狀，并說明理由．18．（2023秋?咸安區(qū)期末）【閱讀材料】把代數(shù)式通過配、湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算，這種解題方法叫做配方法．配方法在