絕對值三角不等式及其應(yīng)用

關(guān)于絕對值三角不等式及其應(yīng)用關(guān)于絕對值還有什么性質(zhì)呢?表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點A到原點O的距離.|a|AaOx|a|=一、復(fù)習(xí)回顧幾何意義:絕對值的性質(zhì):第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天證明:10.當(dāng)ab≥0時,20.

當(dāng)ab<0時,綜合10,20知定理成立.第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天探究你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的其他關(guān)系嗎？|a-b|≤|a|+|b|,|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是實數(shù)，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|什么時候等號成立？第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天定理2如果a,b,c是實數(shù)，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。證明：根據(jù)絕對值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

絕對值三角不等式的應(yīng)用第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天證:證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.典例分析第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例2:兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū),每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?第10頁,共20頁，2024年2月25日，星期天分析:如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處,兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km.那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題:當(dāng)x取何值時,函數(shù)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路碑的第xkm處,兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km,則:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我們先來考察它的圖像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0<x102010<x204x-60x>20第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x||(x-10)+(20-x)|=10當(dāng)且僅當(dāng)(x-10)(20-x)0時取等號.又解不等式:(x-10)(20-x)0得:10x20故當(dāng)10x20時,函數(shù)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的定義域為［-1，1］，且|f(x)|的最大值為M.

(1)證明：

|1+b|≤M;

(2)當(dāng)時，試求出f（x）的解析式.

由|f(x)|在［-1，1］上的最大值為M

建立不等式M≥|f（1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（-1）|是解決問題的關(guān)鍵.第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天（1）證明∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|，2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|，∴M≥|1+b|.（2）證明依題意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，又f（-1）=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|，∴4M≥|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2，第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天（3）解①②③④第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

證明含有絕對值的不等式，其思路有兩種：（1）恰當(dāng)運用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|進行放縮，并注意不等號的傳遞性及等號成立的條件；（2）把含有絕對值的不等式等價轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，再利用比較法、綜合法及分析法進行證明.第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

例4設(shè)f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|≤1時，總有

|f(x)|≤1,求證：|f（2）|≤8.

證明方法一∵當(dāng)|x|≤1時,|f（x）|≤1，∴|f（0）|≤1，即|c|≤1.

又|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，∴|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1.

又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|，且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4，∴|a|≤2.第18頁,共20頁，2024年2月25日，星期天∵|2b|=|a+b+c-（a-b+c）|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2，∴|b|≤1，∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b|≤|f（1）|+3|a|+|b|≤1+6+1=8，即|f（2）|≤8.方法二∵當(dāng)|x|≤1時，|f（x）|≤1，∴|f（0）|