2023年《小學(xué)數(shù)學(xué)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）課例式解讀》

《小學(xué)數(shù)學(xué)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)課例式解讀》問題1:為什么要把數(shù)學(xué)眼光作為核心素養(yǎng)?問題2:數(shù)學(xué)眼光如何形成的?問題3:數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)抽象是什么關(guān)系?問題4:數(shù)學(xué)眼光的教育意義體現(xiàn)在哪些方面?4.數(shù)學(xué)眼光有助于打通數(shù)學(xué)課程與社會生活之間的聯(lián)系。加強課程內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗、社會生活的聯(lián)系是課程建設(shè)的一個基本原則。5.數(shù)學(xué)眼光有助于彌補我國數(shù)學(xué)教育的弱項。數(shù)學(xué)眼光是數(shù)學(xué)抽象的門檻，每一個學(xué)生都要不斷經(jīng)歷“剝離”或“去掉”真實對象中的“真實”,發(fā)現(xiàn)抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式的過程，逐步具備跨過這個6.數(shù)學(xué)眼光奠定了真實情境的課程地位。沒有真實情境沒不會有真正的數(shù)學(xué)眼光，學(xué)生也沒有機會理解抽象，更談不二、數(shù)學(xué)思維問題5:理解和把握作為核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維時需要特別注意些什么?作為核心素養(yǎng)的“三會”是一個整體，三者互為支撐。一方面，數(shù)學(xué)眼光的觀察和數(shù)學(xué)語言的表達都離不開數(shù)學(xué)思維；另一方面，數(shù)學(xué)思維也肯定要在“眼光”和“語言”拓展出的空間中開展。因此，“三會”中的數(shù)學(xué)思維與我們一般了解的廣義的數(shù)學(xué)思維不完全一樣。廣義數(shù)學(xué)思維活動中的觀察、概括、正確闡述在“三會”的框架下，數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言都既有各自的單獨表述，又在同一個目標(biāo)體系中以相互支撐的方式共為一體。所以，比起一般意義上幾乎包羅萬象的數(shù)學(xué)思維，在共為一體的“三會”結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)思維事實上相對側(cè)重推理是數(shù)學(xué)思維活動中最能反映數(shù)學(xué)獨特思維價值的部分。所以，一般意義上思維活動涉及的歸納、比較、猜想、分析、綜合等，在作為“三會”的數(shù)學(xué)思維中，都應(yīng)在推理的框架之下，以有條理并言之有據(jù)的方式開展，都要有規(guī)律可推理的形式是相當(dāng)豐富的，但無論有多少種形式，都有統(tǒng)一規(guī)律可循。所有推理的基本形式都是：如果P那么Q,或者寫成P→Q。其中P和Q是命題，也可以稱P是前提，Q是結(jié)論。數(shù)學(xué)推理的P和Q就是與數(shù)學(xué)有關(guān)的命題。推理的方法決定了推理的類型。如果推理采用的是歸納法，就稱為歸納推理；如果用的是演繹法，就稱為演繹推理；如果借助的是圖形直觀，就稱為直觀推理或空間推理；如果運用的是數(shù)據(jù)，就稱為統(tǒng)計推理(或統(tǒng)計推斷);等等。只要滿足第2點的要求并言之有據(jù)、步步有據(jù)，推理在類型上是比較開放的。雖然推理形式比較開放，但必須清楚的是，推理形式本身的合理性并不能保證推理結(jié)果的必然性。對于任何一個推理形式P→Q,如果對討論問題范圍(論域)內(nèi)任何一個元素都有“如果P成立，那么Q就一定成立”,或者說“如果P是真的，那么Q就一定為真”,這樣推理得到的結(jié)論是可靠的。因此，像歸納、類比等推理形式就不能保證結(jié)果一定是可靠的。5.演繹推理是必然性推理用演繹法做出的推理被稱為演繹推理。演繹法就是通常所說的“三段論”,也就是先要證明A是成立的，接下來再證明A→B是成立的，那么結(jié)論B就成立。在教學(xué)中，這種方法會被稱為從一般到特殊?！叭握摗坝性S多等價形式，在教學(xué)中我們也會用不同稱謂來區(qū)分，如分析法、綜合法，這里就不一一列舉了。演繹推理的言之有理是遵循規(guī)則的結(jié)果。考慮到義務(wù)教育階段學(xué)生的年齡特征，一般是用樸實且不突兀的方式引入推理規(guī)則。例如，把學(xué)生已有的知識積累和生活經(jīng)驗作為依據(jù)，像矛盾律和排中律等也是作為應(yīng)有之意，不去刻意強調(diào)。即使是2022版課標(biāo)中給出的“基本事實”,也大多數(shù)是已知的性質(zhì)或可以被證明的結(jié)果。這樣的推理規(guī)則，本身就是促進學(xué)生大腦健全發(fā)育的豐富營養(yǎng)。數(shù)學(xué)推理形式多種多樣，在所有推理形式當(dāng)中，只有演繹推理是必然性推理，即只有演繹推理的結(jié)果一定是正確的。其他推理的結(jié)果可能成立，也可能不成立，即推理結(jié)果是或然的，或者說是未必可靠的。所以，如果一定要確認(rèn)一個結(jié)論普遍成立，就只能用演繹推理。為了有所區(qū)分，從2001年頒布的課標(biāo)開始，把演繹推理之外的推理形式統(tǒng)稱為合情推理，所以數(shù)學(xué)推理事實上相當(dāng)于演繹推理+合情推理，這也是2022版課標(biāo)中“推理”一詞的含義。6.演繹推理與合情推理的比較可從兩個方面比較，這種比較對于理解數(shù)學(xué)思維很重要。一方面，演繹推理雖然可靠，但只是一個根據(jù)已知命題確認(rèn)一個新命題成立的推理。雖然在推理過程中也可能產(chǎn)生提出新概念、開發(fā)新方法的需求，存在進一步發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的可能，但僅就推理的結(jié)果而言，因為都是已知的，所以只是確認(rèn)了一個事先備好的命題的真?zhèn)?，與發(fā)現(xiàn)新命題沒有關(guān)系。而幾乎所有的合情推理都是為發(fā)現(xiàn)一個新事物或提出一個新命題而發(fā)起的，雖然它們推出的結(jié)論是或然的，不一定為真，甚至可能推不出什么結(jié)果，但數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域的開疆拓土往往與合情推理提出的猜想或假設(shè)有關(guān)。在數(shù)學(xué)課程領(lǐng)域，合情推理已經(jīng)被視為引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的一個基本途徑了。另一方面，合情推理遍布于基礎(chǔ)教育的許多學(xué)科，不為數(shù)學(xué)課程所獨有，也就是說沒有數(shù)學(xué)課程，學(xué)生也多少會受到合情推理的熏陶，只不過機會沒有這么多，熏陶程度也沒有這么強烈。演繹推理在基礎(chǔ)教育其他學(xué)科中只是零星地出現(xiàn)，故可以認(rèn)為系統(tǒng)的演繹推理在義務(wù)教育階段僅存于數(shù)學(xué)課程中。加之演繹推理在培育思維嚴(yán)謹(jǐn)性方面具有顯著作用，所以使得數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)出不可替代的教育價把這兩個方面的比較放在一起，可以明顯看出：如果想給學(xué)生的數(shù)學(xué)思維插上發(fā)現(xiàn)的翅膀，合情推理必不可少；如果想讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)扎實，演繹推理不可或缺。如果想兩者兼得，就一定要賦予演繹推理和合情推理同等重要的思維教育使命。因此，那些關(guān)于演繹推理和合情推理哪種重要哪種次之的討論意義都不大，如何在教材和教學(xué)當(dāng)中平衡嚴(yán)謹(jǐn)扎實與開放靈活之間的關(guān)系，使之相互協(xié)調(diào)、成為一體，才是最為重要的。在教學(xué)實踐中，這個關(guān)系有時會表現(xiàn)為一對矛盾，可能不太好協(xié)調(diào)。如果遇到這種情況，應(yīng)該怎么辦?其實核心素養(yǎng)已經(jīng)給出了一個協(xié)調(diào)的標(biāo)準(zhǔn)：在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維是“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的簡稱，所以無論是演繹推理還是合情推理，無論是嚴(yán)謹(jǐn)求實還是開放靈活，能否相互協(xié)調(diào)、熔于一爐，歸根結(jié)底，要由“思考現(xiàn)實世界”的需要決定。如果現(xiàn)實需要探索發(fā)現(xiàn)，就一定要開放靈活；如果現(xiàn)實需要求真務(wù)實，就一定要嚴(yán)謹(jǐn)扎實。基于“思考現(xiàn)實世界”的需要，基本可以避免嚴(yán)謹(jǐn)扎實與開放靈活之間可能產(chǎn)生的矛盾。畢竟，現(xiàn)實世界是我們思考數(shù)學(xué)思維問題的基礎(chǔ)。更重要的是，思維是屬于大腦的功能，大腦的發(fā)育有年齡特征和大腦本身的分區(qū)特征。通常所說的“多大的孩子做多大的事”或課程要“符合學(xué)生的生長發(fā)育規(guī)律”等，都與大腦發(fā)育的節(jié)奏有關(guān)。上面強調(diào)的“相互協(xié)調(diào)、熔于一爐”是僅就教師對數(shù)學(xué)思維的整體認(rèn)知與把握而言，“同等重要”也僅針對思維教育的使命而言，與課程中合情推理與演繹推理之間各自所占的比重沒有任何關(guān)系，這一點務(wù)必不要搞混。事實上，西方發(fā)達國家在我們的義務(wù)教育年齡段幾乎沒有幾何的演繹證明，而是盡力拓展合情推理的教學(xué)空間。這樣的做法是自20世紀(jì)70年代之后，在腦科學(xué)的一些新發(fā)現(xiàn)(如大腦的左右半球理論)的引領(lǐng)下，逐步調(diào)整的結(jié)果，到今天已經(jīng)是約定俗成。這方面的經(jīng)驗值得借鑒，至少教師應(yīng)該意識到，當(dāng)學(xué)生在演繹證明過程中遇到挑戰(zhàn)時，可能并不是因為他們不努力，而是因為這個內(nèi)容可能在高中學(xué)才更合適。7.統(tǒng)計推理與其他推理的關(guān)系雖然統(tǒng)計推理的說法在教學(xué)或研究領(lǐng)域已經(jīng)被廣泛使用，但統(tǒng)計推理與前面提到的演繹推理或合情推理其實是不一樣的推理。這個不一樣差不多是完全不一樣，主要表現(xiàn)在三個方面。一是對象不一樣。數(shù)學(xué)的推理，一般是對命題之間的邏輯關(guān)系而言，對象是命題；而統(tǒng)計的推理是就數(shù)據(jù)的獲取與分析而言，對象是數(shù)據(jù)。二是目標(biāo)不一樣。數(shù)學(xué)推理的目標(biāo)是確認(rèn)或提出一個事實；而統(tǒng)計推理的目標(biāo)是對一個未知事件發(fā)生的可能性做出預(yù)測。三是推理的結(jié)果不一樣。數(shù)學(xué)推理的結(jié)果是一個命題的成立與否，是一個純客觀的結(jié)果；統(tǒng)計推理的結(jié)果是關(guān)于一個事件發(fā)生可能性大小的估計，是一個相對主觀的結(jié)果。在專業(yè)的統(tǒng)計科學(xué)領(lǐng)域里把推理稱為推斷，這個“斷”字，在漢語中反映的就是人的主觀性。問題6:為什么把統(tǒng)計推理納入數(shù)學(xué)推理?原因在于統(tǒng)計和數(shù)學(xué)的對象和方法論在方方面面深度地相互整合與借鑒。問題7:為什么把數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)?把數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)是時代發(fā)展的要求使然。數(shù)學(xué)語言已經(jīng)成為人們?nèi)粘＝涣鞑豢苫蛉钡慕M成部分。一個人想要公平地獲得信息和有理有據(jù)地做出判斷，幾乎離不開數(shù)學(xué)語言。是發(fā)展的需要推動數(shù)學(xué)語言走上課程的前臺，數(shù)學(xué)語言本身作為公民必備品格和關(guān)鍵能力的特質(zhì)，使數(shù)學(xué)語言滿足了作為核心素養(yǎng)走進數(shù)學(xué)課程的條件。沒有數(shù)學(xué)的表達就無法形成數(shù)學(xué)概念，因而也就無法揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更談不上用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題了。數(shù)學(xué)語言是溝通真實世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁、理解數(shù)學(xué)世界的工具和解決數(shù)學(xué)問題的載體。問題8:數(shù)學(xué)語言的功能和表現(xiàn)形式是什么?數(shù)學(xué)語言的功能：信息的載體、認(rèn)識世界的工具和交流橋梁三個功能。形式：文字語言、圖形語言和符號語言數(shù)學(xué)符號語言三類元素：基于阿拉伯?dāng)?shù)字的數(shù)字表示、通用的運算符號、字母——包括英文字母、希臘字母和拉丁字母。數(shù)學(xué)的符號語言就是由這樣的數(shù)字、符號和字母“串”在一起組合而成的。問題9:什么樣的數(shù)字、字母、符號串是有意義的數(shù)學(xué)符號語言?只有作為溝通真實世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，理解數(shù)學(xué)世界的工具和解決數(shù)學(xué)問題的載體的數(shù)字、字母、符號串，即具有橋梁、工具、和載體作用的數(shù)字、字母、符號串，才是有意義的數(shù)學(xué)語言。問題10:有意義的數(shù)學(xué)語言從何而來?從教學(xué)實踐的角度看，當(dāng)教學(xué)過程中需要學(xué)生自己“想一想”、“說一說”或“寫出來”時，“學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達”就開始登場了。需要說明的是，有意義的數(shù)學(xué)語言離不開數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維。本質(zhì)是共為一體、不可分離的關(guān)系。語言的產(chǎn)生伴隨著眼光和思維，眼光和思維問題11:數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)有哪些意義?相對于2011年“三位一體”目標(biāo)中的“過程”,2011年四基四能目標(biāo)中的思想和經(jīng)驗等在當(dāng)時體現(xiàn)出的創(chuàng)新意義，2022版課標(biāo)的創(chuàng)新標(biāo)志是以“三會”為代表的核心素養(yǎng)?！皶脭?shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”是其中最為體現(xiàn)時代特征的目標(biāo)下面從三個方面探討會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的意義：1.為數(shù)學(xué)建模在基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中找準(zhǔn)了位置。數(shù)學(xué)語言可以說是數(shù)學(xué)語言表達的最高層次，數(shù)學(xué)建模是在基礎(chǔ)教育中為數(shù)不多與高等教育名稱完全一樣的內(nèi)容，目前數(shù)學(xué)建模已經(jīng)是我國高中的一個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模原產(chǎn)地是美國。把數(shù)學(xué)建模融入基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程，要提供充分的彈性空間，更重要的是要在數(shù)學(xué)建模本身的數(shù)學(xué)價值與教育價值之間找到一個平衡點，這個點既能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)價值，又要符合基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的基本要求。這個點必須滿足核心素養(yǎng)是必備品格和關(guān)鍵能力的定位。數(shù)學(xué)建模追求的目標(biāo)肯定是數(shù)學(xué)模型，包括“建立、求解、檢驗、完善”的建模要求。數(shù)學(xué)建模不只是個以目標(biāo)的剛性要求，更是一個從問題情境中提煉數(shù)學(xué)要素、確定關(guān)鍵元素、發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵元素之間的聯(lián)系，并逐步做出數(shù)學(xué)表達的“彈性”過程。在這個過程中，數(shù)學(xué)語言是不可或缺的成分，如果沒有發(fā)現(xiàn)醞釀、提煉和選擇數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)語言就無從談起。數(shù)學(xué)建模的教育意義，很大程度上體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)語言表達方面，而且對小學(xué)、初中和高中都是一樣的，也滿足了核心素養(yǎng)對必備品格和關(guān)鍵能力的定位要求。2.促成了大眾數(shù)學(xué)與我國數(shù)學(xué)課程融為一體。語言是屬于每一個人的。3.拓寬了數(shù)學(xué)教學(xué)實踐創(chuàng)新的視野。從情境出發(fā)是推動教學(xué)改變的一個新舉措。問題是教材里的情境大多的人為編出來的，多少有些牽強，現(xiàn)實意義并不那么鮮明。問題引領(lǐng)也是推動教學(xué)改變的一個新舉措，問題本身的質(zhì)量決定著問題引領(lǐng)的效果。關(guān)鍵在于，情境也好，問題也好，它們是不是真實的情境、真實的問題，它們是不是真實世界發(fā)生的事。對于義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程而言，“真實”才是數(shù)學(xué)教學(xué)真正發(fā)生改變需要的切入點。現(xiàn)實世界無窮無盡的語言中，會源源不斷生成與真實情境、真實問題有關(guān)的數(shù)學(xué)語言，每一句都可能蘊藏著數(shù)學(xué)教學(xué)實踐創(chuàng)新的切基于“三會”的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系及其教育意義問題12:為什么數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)是“三會”?任何一門課程都要以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)性目標(biāo)構(gòu)建課程目標(biāo)體系，還要符合完備性和獨立性。完備性是指這個目標(biāo)體系中的核心素養(yǎng)能延伸到該課程的每一個角落，無一遺漏。獨立性是這指這個目標(biāo)體系中的核心素養(yǎng)缺一不可，核心素養(yǎng)再增加或減少都會對完備性和獨立性產(chǎn)生影響。問題13:如何確定“三會”的完備性和獨立性?先說完備性，即“三會”能夠推及義務(wù)教育階段每一人具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容。再說獨立性，“三會”彼此之間既互有交叉，又都有各自的主攻方向和無可替代的獨特教育價值，少了哪個，作為數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)體系都會出現(xiàn)缺失。問題14:可否選擇數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外的內(nèi)容作為核心素養(yǎng)?如以增加“學(xué)會學(xué)習(xí)”為例。事實上，“三會”的“會”就是“學(xué)會”,本身就與“學(xué)會學(xué)習(xí)”想通。數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言等所代表的就是，數(shù)學(xué)課程領(lǐng)域內(nèi)“學(xué)會學(xué)習(xí)”的具一個如何通過數(shù)學(xué)課程”學(xué)會學(xué)習(xí)”的答案，所以“學(xué)會學(xué)習(xí)”已經(jīng)蘊含在“三會”之中，再增加，就顯得冗余了。問題15:如何保持?jǐn)?shù)學(xué)課程目標(biāo)與教學(xué)目標(biāo)之間的一致性?一是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)同時也是數(shù)學(xué)教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)評價與考試標(biāo)準(zhǔn)、數(shù)學(xué)教材編寫標(biāo)準(zhǔn)。課程標(biāo)準(zhǔn)就是教學(xué)、評價和教材編寫的標(biāo)準(zhǔn)。二是基于“三會”構(gòu)建的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系是一個符合教學(xué)邏輯的目標(biāo)架構(gòu)。在2022版的課標(biāo)中，基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系，就是一個以“三會”為核心、層層遞進的多層目標(biāo)架構(gòu)。層層遞進指的是目標(biāo)的不同層次及層次之間以遞進為標(biāo)志的聯(lián)結(jié)方式。問題16:數(shù)學(xué)課程目標(biāo)體系如何把具體數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與“三會”聯(lián)系在一起?基于核心素養(yǎng)的目標(biāo)體系是一個有三層結(jié)構(gòu)且層層遞進的目標(biāo)體系。這三層1.最終目標(biāo)：“三會”是這個目標(biāo)體系的統(tǒng)領(lǐng)性頂層目標(biāo)課程中知識、技能等所有具體目標(biāo)的最終目標(biāo)。2.中間目標(biāo)：為達成“三會”,設(shè)置了通往“三會”或為“三會”提供支撐的中間目標(biāo)或過渡性目標(biāo)，這被稱為核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，也就是11個主要表現(xiàn)：模型意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。3.支撐性目標(biāo)：第三層目標(biāo)是達成核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的支撐性目標(biāo)，也就是大家熟悉的“四基”“四能”目標(biāo)。其中“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”共同撐起一條教學(xué)實施路徑。用箭頭標(biāo)出的具體支行過程大體是這樣的：從以真實世界中的真實問題為基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)情境出發(fā)，沿著“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”支撐起來技能，更具有一般性的想法(基本思想)和體驗(基本活動經(jīng)驗);這些想法和體驗經(jīng)過持續(xù)的積累和提煉，以基本思想和基本活動經(jīng)驗為標(biāo)志，與核心素養(yǎng)的主問題17:“四基”與核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是什么關(guān)系?知識、技能應(yīng)當(dāng)以蘊含在問題情境中的方式，