數(shù)學(xué)-人教A版（新教材）-選擇性必修第二冊-20-21 x-第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-課件

第五章

§5.2導(dǎo)數(shù)的運算5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進一步運用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝

.思考函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？答案函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個函數(shù)復(fù)合而成的.f(g(x))2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝

，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于

.y′u·u′xy對

u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積1.y＝cos3x由函數(shù)y＝cosu，u＝3x復(fù)合而成.(

)2.函數(shù)f(x)＝sin(2x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝cos2x.(

)3.函數(shù)f(x)＝e2x－1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2e2x－1.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√2題型探究PARTTWO一、求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.(3)y＝log2(2x＋1)；(2)y＝cos(x2)；解令u＝x2，則y＝cosu，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2).解設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1，解設(shè)y＝eu，u＝3x＋2，則yx′＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.(4)y＝e3x＋2.反思感悟(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟(2)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo)；③計算結(jié)果盡量簡潔.跟蹤訓(xùn)練1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解設(shè)y＝

u＝1－2x，則y′x＝(2)y＝5log2(1－x)；解函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復(fù)合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′二、復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運算法則的綜合應(yīng)用例2

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：反思感悟(1)在對函數(shù)求導(dǎo)時，應(yīng)仔細觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式，對不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù)，可適當(dāng)?shù)剡M行等價變形，以達到化異求同、化繁為簡的目的.(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運用公式，從外層開始由外及內(nèi)逐層求導(dǎo).跟蹤訓(xùn)練2

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(2)y＝sin3x＋sinx3；解y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(3)y＝xln(1＋x).解y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′例3

(1)曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是三、與切線有關(guān)的綜合問題√解析設(shè)曲線y＝ln(2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行.∴y0＝ln(2－1)＝0，即切點坐標(biāo)為(1,0).解由曲線y＝f(x)過(0,0)點，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.即為曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線的斜率.反思感悟(1)求切線的關(guān)鍵要素為切點，若切點已知便直接使用，切點未知則需先設(shè)再求.兩直線平行與垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進而成為解出切點橫坐標(biāo)的關(guān)鍵條件.(2)在考慮函數(shù)問題時首先要找到函數(shù)的定義域.在解出自變量的值或范圍時也要驗證其是否在定義域內(nèi).1由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)設(shè)曲線y＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝

.該切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為

.2解析令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(0,1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因為f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.由題意可知，切線方程為y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.3隨堂演練PARTTHREE1.(多選)函數(shù)y＝(x2－1)n的復(fù)合過程正確的是A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)n

D.t＝x2－1,y＝tn√12345√2.函數(shù)y＝(2020－8x)3的導(dǎo)數(shù)y′等于A.3(2020－8x)2

B.－24xC.－24(2020－8x)2 D.24(2020－8x)212345√解析y′＝3(2020－8x)2×(2020－8x)′＝3(2020－8x)2×(－8)＝－24(2020－8x)2.3.函數(shù)y＝x2cos2x的導(dǎo)數(shù)為A.y′＝2xcos2x－x2sin2x

B.y′＝2xcos2x－2x2sin2xC.y′＝x2cos2x－2xsin2x

D.y′＝2xcos2x＋2x2sin2x12345√解析y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.4.已知f(x)＝ln(3x－1)，則f′(1)＝

.123455.曲線y＝ln(2－x)在點(1,0)處的切線方程為

.x＋y－1＝012345又切點坐標(biāo)為(1,0).∴y＝ln(2－x)在點(1,0)處的切線方程為y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.1.知識清單：(1)復(fù)合函數(shù)的概念.(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時不能正確分解函數(shù)；求導(dǎo)時不能分清是對哪個變量求導(dǎo)；計算結(jié)果復(fù)雜化.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.(多選)下列函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的是基礎(chǔ)鞏固√12345678910111213141516√√解析A不是復(fù)合函數(shù)，B，C，D均是復(fù)合函數(shù)，12345678910111213141516D由y＝u4，u＝2x＋3復(fù)合而成.2.函數(shù)y＝xln(2x＋5)的導(dǎo)數(shù)為√12345678910111213141516解析∵y＝xln(2x＋5)，解析y′＝(x3)′ecosx＋x3(ecosx)′＝3x2ecosx＋x3ecosx·(cosx)′＝3x2ecosx－x3ecosxsinx.3.函數(shù)y＝x3ecosx的導(dǎo)數(shù)為A.y′＝3x2ecosx＋x3ecosx

B.y′＝3x2ecosx－x3ecosxsinxC.y′＝3x2ecosx－x3esinx

D.y′＝3x2ecosx＋x3ecosxsinx12345678910111213141516√4.曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率等于A.2e B.e C.2 D.112345678910111213141516√解析∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝e0＋e0＝2，故選C.5.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為A.1 B.2 C.－1 D.－212345678910111213141516√解析設(shè)切點坐標(biāo)是(x0，x0＋1)，由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.123456789101112131415166.函數(shù)y＝sin2xcos3x的導(dǎo)數(shù)是

.y′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x解析∵y＝sin2xcos3x，∴y′＝(sin2x)′cos3x＋sin2x(cos3x)′＝2cos2xcos3x－3sin2xsin3x.123456789101112131415168.點P是f(x)＝(x＋1)2上任意一點，則點P到直線y＝x－1的最短距離是

，此時點P的坐標(biāo)為

.12345678910111213141516解析與直線y＝x－1平行的f(x)＝(x＋1)2的切線的切點到直線y＝x－1的距離最短.設(shè)切點為(x0，y0)，123456789101112131415169.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝ln(ex＋x2)；12345678910111213141516解令u＝ex＋x2，則y＝lnu.(2)y＝102x＋3；解令u＝2x＋3，則y＝10u，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝10u·ln10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln10.(3)y＝sin4x＋cos4x.12345678910111213141516解∵y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2

x·cos2

x∴y′＝－sin4x.1234567891011121314151612345678910111213141516解∵y＝esinx，∴y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲線y＝esinx在點(0,1)處的切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直線l與x－y＋1＝0平行，故直線l可設(shè)為x－y＋m＝0.∴直線l的方程為x－y－1＝0或x－y＋3＝0.11.曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為綜合運用√12345678910111213141516解析依題意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.所以曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐標(biāo)系中作出直線y＝－2x＋2，y＝0與y＝x的圖象，如圖所示.直線y＝－2x＋2與x軸的交點坐標(biāo)是(1,0)，12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516所以y′∈[－1,0)，所以tanα∈[－