余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和同步練習(xí)

第頁余弦定理老師：郭慶友(1)語言表達(dá)三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊及它們夾角的余弦的積的兩倍．(2)公式表達(dá)1,余弦定理：在中，有，，余弦定理證明如上圖所示，△ABC，在c上做高，依據(jù)射影定理，可得到：將等式同乘以c得到：運(yùn)用同樣的方式可以得到：將兩式相加：向量證明2,余弦定理的推論：，，．3,設(shè),,是的角,,的對(duì)邊，那么：=1\*GB3①假設(shè)，那么；=2\*GB3②假設(shè)，那么；=3\*GB3③假設(shè)，那么．注：此法可以進(jìn)展三角形形態(tài)的判定：主要判定最大角的余弦值的正負(fù)號(hào)，假設(shè)最大角的余弦值為負(fù)數(shù)，也即最大角為鈍角，所以此三角形為鈍角三角形；假設(shè)最大角的余弦值為0，也即最大角為直角，所以此三角形為直角三角形；假設(shè)最大角的余弦值為正數(shù)，也即最大角為銳角，所以此三角形為銳角三角形；4,余弦定理的適用范圍余弦定理是提示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決兩類問題：①三角形兩邊及夾角求第三邊；②是三個(gè)邊求角的問題.假設(shè)對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，那么運(yùn)用起來更為便利,敏捷。注：在兩邊一對(duì)角的三角問題中，也可以運(yùn)用余弦定理便利快捷的求出第三邊；余弦定理的應(yīng)用要比正弦定理范圍廣泛。直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值例題：1在ABC中，，，，求b及A；解析：〔1〕∵=COS求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 解法二：∵sin又∵＞EMBEDEquation.DSMT4＜∴＜，即＜＜例2：思路點(diǎn)撥：由題目可獲得以下主要信息：①三邊比例；②求三角形的三內(nèi)角．解答此題可應(yīng)用余弦定理求出三個(gè)角[題后感悟]此題為“三邊，求三角形的三個(gè)角〞類型問題，根本解法是先利用余弦定理的推論求一個(gè)角的余弦，再判定此角的取值，求得第一個(gè)角，再用正弦定理求出另一個(gè)角，最終用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個(gè)角(一般地，先求最小角，再求最大角)例3：[題后感悟]可比擬兩種方法，從中體會(huì)各自的優(yōu)點(diǎn)，三角形中兩邊及一角，有兩種解法，從而摸索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法．方法一利用余弦定理列出關(guān)于a的等量關(guān)系建立方程，運(yùn)用解方程的方法求出a邊的長，這樣可免去推斷取舍的麻煩．方法二直接運(yùn)用正弦定理，先求角再求邊．假設(shè)將題中條件改為“b＝3，c＝2，A＝30°〞，應(yīng)如何求解三角形？考點(diǎn)二：推斷三角形的形態(tài)例5：在△ABC中，假設(shè)，試推斷三角形的形態(tài)思路點(diǎn)撥：由題目可獲得以下主要信息：①邊角之間的關(guān)系：；②確定三角形的形態(tài)．解答此題先由正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，然后由三角恒等式進(jìn)展化簡，得出結(jié)論；也可先由余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊之間的關(guān)系，然后由邊的關(guān)系確定三角形形態(tài)．[題后感悟]推斷三角形的形態(tài)應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)展思索，可用正,余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解,配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而推斷三角形的形態(tài)，也可利用正,余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為角及角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而推斷三角形形態(tài)4．在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，試確定△ABC的形態(tài)．1．余弦定理及勾股定理之間的聯(lián)系(1)對(duì)于余弦定理中，假設(shè)C＝90°，那么，此即為勾股定理，也就是說勾股定理是余弦定理的特殊狀況．(2)余弦定理提示了隨意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，也是解三角形的重要工具．①在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一．②余弦定理也為求三角形的有關(guān)量(如面積,外接圓,內(nèi)切圓等)供應(yīng)了工具，它可以用來判定三角形的形態(tài)，證明三角形中的有關(guān)等式，在肯定程度上，它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛．[特殊提示]在利用余弦定理求三角形的邊長時(shí)簡單出現(xiàn)增解，緣由是余弦定理中涉及的是邊長的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時(shí)需特殊留意三角形三邊長度所應(yīng)滿意的根本條件．2．解三角形問題的類型解三角形的問題可以分為以下四類：(1)三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形．此種狀況的根本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對(duì)的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再用正弦定理求出第三邊，留意推斷解的個(gè)數(shù)．(2)三角形的兩角和任一邊，解三角形．此種狀況的根本解法是假設(shè)所給邊是角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求第三邊.假設(shè)所給邊不是角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊．(3)兩邊和它們的夾角，解三角形．此種狀況的根本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最終用三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角．(4)三角形的三邊，解三角形．此種狀況的根本解法是先用余弦定理求出一個(gè)角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個(gè)角，最終用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個(gè)角．要解三角形，必需三角形的一邊的長．假設(shè)條件中一條邊的長也不給出，三角形可以是隨意的，因此無法求解◎鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍【錯(cuò)因】忽視隱含條件k＋(k＋2)>k＋4，即k>2，而不是k>0.1.1.2余弦定理同步練習(xí)選擇題1．在△ABC中，，那么角Ｃ為〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．２．在△ABC中，ＡＢ＝，，ＡＣ邊上的中線ＢＤ＝，那么sinＡ的值為〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．在△ABC中，假設(shè)，并有sinA＝２sinBcosC,那么△ABC是〔〕Ａ．直角三角形Ｂ．等邊三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等腰直角三角形二,填空題４．△ABC中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC＝４