數(shù)列通項公式求法大全(配練習(xí)及答案)

數(shù)列通項公式的幾種求法

注：一道題中往往會同時用到幾種方法求解，要學(xué)會靈活運用。

一、公式法

二、累加法

三、累乘法

四、構(gòu)造法

五、倒數(shù)法

六、遞推公式為S“與明的關(guān)系式（或S“=/（a”）

（七）、對數(shù)變換法（當(dāng)通項公式中含幕指數(shù)時適用）

（八）、迭代法

（九）、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列的類型

一、公式法

an=%+（n-l）d=dn+a、-d（nGN*）

n1

an=aiq-

q

遞推公式

二、累加法a?+1=4+/（"）

⑴于⑺=d⑵/(n)=n⑶f[n}=T

2

例1數(shù)列g(shù).)滿足q+1=4+2〃+1,4=1,求數(shù)列｛”“｝的通項公式。an=n

例2數(shù)列｛”“｝滿足a“+i=4+2x3"+l,%=3,求數(shù)列｛為｝的通項公式。［4=3"+〃—1.)

三、累乘法%+1=/(〃)/

⑴f(rij=d⑵f(n)=n,------,2〃

例3數(shù)列｛%｝滿足4用=25+1)5〃義為，％=3,求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式。

n(n-l)

(a?=3x2"-1x5^x〃!.)

評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系a“+i=2(〃+l)5"xa“轉(zhuǎn)化為&包=2(〃+1)5",進而求出

an

出.=.即得數(shù)列｛4｝的通項公式。

an-\an-2%a\

例4(2004年全國I第15題，原題是填空題)

幾!

數(shù)列｛4｝滿足％=1,%,=%+2a2+3/++(H-l)??_1(n>2),求列〃｝的通項公式"(an=—.)

評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式?！?1=(〃+l)a〃S22)轉(zhuǎn)化為&包=〃+1(〃22),進而求出

an

.?冬.生，從而可得當(dāng)“22時，4的表達式，最后再求出數(shù)列｛%｝的通項公式。

an-\an-212

a

四、構(gòu)造法6+1=P?+q%+1=pa相+f(n)an+2=pan+x+［其中p,q均為常

數(shù))。

(1)a,+i=pa?+q(構(gòu)造等比)

an+1+t=pa?+t+q

Cq+t'

4+i+t=pan+

1P

q+t

P

Q

P-1

例5數(shù)列｛4｝滿足%+]=34+4

⑵anA=pan+f(n)

限=pan+q?m"

[2.1)構(gòu)造等比數(shù)列

n+｝nn+i

+t-mpan+qm+1-m

nn+1

,4n+1q-m+m、

%+t-mPan+-------------

P7

/+(4+[?加)?加”'

n+1

+?-ma

4+i=Pn丁P>

q+tm

P

q

p_m(當(dāng)夕=加時用構(gòu)造成累加的形式求)

例6數(shù)列｛4｝滿足2+i=2%+3x5、6=6,求數(shù)列｛4｝的通項公式。1%=2〃T+5〃)

評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式%+i=24+3x5”轉(zhuǎn)化為為+]-5.=2(4-5〃)，從而可知數(shù)

列5〃｝是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列｛g-5〃｝的通項公式，最后再求出數(shù)列｛%｝的通項公式。

[2.2）夠造成累加法

n

an+l=pa?+q.m

4+i_冊qmn

--r=---1---7

p"+lpnpn+'

4+i4_

qm"〔回歸到累加法）

p"'pnp"i

例7數(shù)列｛%｝滿足az=3。“+2x3=+1,q=3,求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解：*=3a〃+2x3"+l兩邊除以3叫得翁寧+|+一，

那么占一%=2+上，故

3n+13"33"+1

3"3"

2(n-l)

-3-

因此%=21+之--------+「2n-1--1--1------

3"3一1-3322x3”

r\]

評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式為+1=34+2、3"+1轉(zhuǎn)化為4詈--^=—+—不，進而求出

〃十1n3〃33〃+i

求數(shù)列｛4｝的通項公式。

例8數(shù)列｛4｝滿足4+1=3?！?5x2"+4,q=l,求數(shù)列｛4｝的通項公式。

[a“=13x3"T—5x2"—2)

評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式。,+i=34+5x2"+4轉(zhuǎn)化為

n+1

a?+1+5x2+2=3(,+5x2"+2),從而可知數(shù)列｛%,+5x2"+2｝是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列

｛4+5x2〃+2｝的通項公式，最后再求數(shù)列｛a,J的通項公式。

例9數(shù)列｛%｝滿足?！?1=2q+3〃2+4”+5,q=l,求數(shù)列｛為｝的通項公式。

=2,1+4-3?2-10/7-18〕

評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式=2a”+31+4〃+5轉(zhuǎn)化為

+3(〃+1)"+10(/2+1)+18=2(。“++10/7+18),

〔設(shè)a”+i+夕+q("+l)+/=2an+夕("+1)-+q("+l)+/+3"2+4"+5)

%+〃5+1)2+45+1)+/=21+~^“2+2夕？+4“+°+4；/+5]

p+32p+q+4p+q+f+5

p=

222

從而可知數(shù)列｛q+3〃2+10〃+18｝是等比數(shù)列,進而求出數(shù)列｛a“+3〃2+10〃+18｝的通項公式,最后

再求出數(shù)列｛4｝的通項公式。

五、倒數(shù)法

kan

4+i=----

Pa“+q

例10

數(shù)列｛an｝滿足an+l=%，

X+1

例11數(shù)列｛%,｝滿足。"+1=3」

2%+1

六、遞推公式為與句的關(guān)系式（或S,,=/（a“））

S|......................(〃=1)

解法：這種類型一般利用4=<

s“—Se…….(n>2)

例10數(shù)列｛%｝前n項和S”=4—%—亍」.（1）求a.+i與a“的關(guān)系；12）求通項公

式a”.

七、對數(shù)變換法(當(dāng)通項公式中含塞指數(shù)時適用)

例10數(shù)列｛4｝滿足%+1=2x3〃X。；，q=7,求數(shù)列｛為｝的通項公式。

解:因為。=2x30xa；,q=7,所以a“>0,a?+1>0o在q何=2x3"xa；式兩邊取常用對數(shù)得

1g*=51ga"+”lg3+lg2⑩

設(shè)lga“+i+x("+l)+y=5(lga,+x〃+y)?

將⑩式代入?式，得51g%+nlg3+lg2+x(n+l)+y=5(lgaB+xn+y),兩邊消去51ga“并整理，

得(lg3+x)〃+尤+y+lg2=55+5y,那么

f=lg3

lg3+x=5x-4

[x+y+\g2=5yIg3lg2

I164

代入?式，得lga.+i+受5+1)+胃+牛=5(坨4+手〃+黑+年)?

由lg@+妲xl+晝+段2=lg7+姮*1+妲+圖■HO及。式，

141644164

得…寫T+?°’

母i。田+^lg(3〃+1)+泉lg3+亍lg2

那么=5，

-；ig3lg3lg2-

Iga+—n++

"4164

所以數(shù)列｛lga.+封〃+封+鑒2｝是以lg7+封+晝+區(qū)2為首項，以5為公比的等比數(shù)列，那

么叱+9+翳詈典7+號+備學(xué)5修,因此

,八7,lg3」lg3,lg2-1g3lg3lg2

lg??=dg7+—+—+—)5-V

J.J.!nJ_2

=(lg7+1g3Z+lg36+1g24)5”T-1g3Jg3記-1g2K

111nil

=[lg(7?3%?316?2,)]5"T—lg(31?3記?2日

111n11

=lg(7?3"3布?2D5.T—lg(313記?21)

5"T_〃5“T-]5〃-1-1

=lg(75^'-3k-3b-2丁)

5八一4八-1

=lg(75^'-316-2^)

5〃—4〃—15〃T-1

516

那么an=7"x3x2百

評注：此題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式。?1=2x3"xa：轉(zhuǎn)化為

11111

lgan+1+^-(n+l)+^+^=5(lgan+^n+^-+^),從而可知數(shù)列

｛坨4+手〃+胃+號｝是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列｛1g4+手〃+胃+軍｝的通項公式，最后

再求出數(shù)列｛4｝的通項公式。

八、迭代法

例11數(shù)列｛??｝滿足an+x=a：**,4=5,求數(shù)列｛a“｝的通項公式。

解：因為%=靖…，所以/=療=［壯尸-產(chǎn)27

_325TM.2(〃-2)+(“1)

—an-2

[〃3(八一2>2〃-3『25-1)?八?2(〃")+("T)

_33(n-2)(n-l)n-2(M-3)+(M-2)+(n-1)

—an-3

=廣(n-2)-(n-l)-H-21+2++(n-3)+(n-2)+(n-l)

?(?-1)

〃3""22

n(n-l)

又q=5,所以數(shù)列｛4｝的通項公式為q=53”/2k

評注：此題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式=。："旬2"兩邊取常

用對數(shù)得lg%+i=3(〃+l)x2"xlg%,即地&辿=3(〃+1)2",再由累乘法可推知

Iga”

1lgtZ?lg%_i坨。3IgWii<3"±"12gu石<3"±0!.2^^

=lg5-,從而a“二52。

lg。〃—1lg“〃一2lg?2lg?,'，'

九、數(shù)學(xué)歸納法

?8(〃+1)Q

例12數(shù)列｛a,J滿足?！?1求數(shù)列｛4｝的通項公式。

(2〃+1)2(2"+3)2

則,8(〃+1)R8乍

斛：由a.=a+-------、-------及4=一，得

n++1"(2〃+1『(2〃+3)219

8(1+1)88x224

~1(2xl+l)2(2xl+3)299x2525

_8(2+1)_248x3_48

%-%+(2X2+1)2(2X2+3)2-25+25x49-49

_8(3+1)_488x480

%―%+(2X3+1)2(2X3+3)2-49+49x81-81

由此可猜想%=：；；,；)「,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。

⑴當(dāng)”=1時，(2X1+1)2；1=E,所以等式成立。

1(2xl+l)29

〔2)假設(shè)當(dāng)“=左時等式成立，即4=(2.+1)2;1,那么當(dāng)〃=左+1時，

E(2左+1)2

8(4+1)

k

從1(2左+1)2(24+3)2

_(2左+1)2—18十+1)

一(2"+1)2+(2左+1)2(2左+3)2

_[(2/+1)2_1](2/+3)2+8伏+1)

—(2-+1)2(22+3)2

_(2"+Ip(2左+3)2-Qk+3)2+8(左+1)

一(2-+1/(2-+3)2

_(2/+1)2(2/+3)2_(2/+1)2

"(2-+1)2(2左+3廣

_(2"+3>-1

一(2左+3)2

_[2(Z:+1)+1]2-1

[2a+1)+1]2

由此可知，當(dāng)“=左+1時等式也成立。

根據(jù)(1),[2)可知，等式對任何“eN*都成立。

評注：此題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后

再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

十、換元法

例13數(shù)歹!]｛”“｝滿足%+i=工(1+44+J1+24%),4=1,求數(shù)列｛”“｝的通項公式。

16

解：令2=Jl+24q,那么4==(斤—1)

故%+i=五(%-1),代入4+1=Q+44+Jl+24a〃)得

Z41O

19119

五(小「D=布口+4五電-D+B

即4%=@+3)2