高一數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（解析版）

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

【知識點梳理】

知識點一：周期函數(shù)

函數(shù)y=∕(x),定義域為/,當(dāng)xe∕時，都有/(x+T)=/(x),其中T是一個非零的常數(shù)，則y=∕(x)

是周期函數(shù)，T是它的一個周期.

知識點詮釋：

1、定義是對/中的每一個X值來說的，只有個別的X值滿足/(x+T)=f(x)或只差個別的X值不滿足

/(x+T)=/(x)都不能說T是y=f(x)的一個周期.

2、對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的

周期一般都指最小正周期.

知識點二：正弦函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx

定義域R

值域Fni

奇偶性奇函數(shù)

周期性最小正周期2;T

增區(qū)間［2Z〃-C,2Qr+%］

22

單調(diào)區(qū)間(AeZ)

減區(qū)間［2Z∕r+工,2br+網(wǎng)］

22

最值點(ZGZ)最大值點(2%)4—,1);最小值點(2%)---1)

22

對稱中心(AeZ)(kπ,Q)

.π

對稱軸(AreZ)x=kπ+-

2

知識點詮釋：

(1)正弦函數(shù)的值域為[-1,1],是指整個正弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實

數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是卜1,1],因而求正弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域.

(2)求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，易錯點有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求

y=sin(-x)的單調(diào)遞增區(qū)間時，應(yīng)先將y=sin(-x)變換為y=-sinx再求解，相當(dāng)于求y=sinx的單調(diào)遞減

區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定

義域.

知識點三：正弦型函數(shù)y=Asin((υx+e)的性質(zhì).

函數(shù)y=ASin(0x+s)與函數(shù)y=Acos(eυx+e)可看作是由正弦函數(shù)γ=sinx,余弦函數(shù)y=cosx復(fù)合

而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)y=Sinx,余弦函數(shù)y=8sx類似地得到：

(1)定義域：R

(2)值域：[-A,A]

(3)單調(diào)區(qū)間：求形如y=Asin(ox+⑼的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把

OX+9視為一個“整體”，分別與正弦函數(shù)y=Sinx的單調(diào)遞增(減)區(qū)間對應(yīng)解出x,即為所求的單調(diào)遞

增(減)區(qū)間.比如：由2%r-1≤0x+442丘+/(AwZ)解出X的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由

2版■+1≤ox+。≤2幺萬+與(keZ)解出X的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.

(4)奇偶性：正弦型函數(shù)y=Asin((υx+e)不一定具備奇偶性.對于函數(shù)y=Asin((υx+e),當(dāng)

9=Qr(keZ)時為奇函數(shù)，當(dāng)0=kτ±g√Z;eZ)時為偶函數(shù).

知識點詮釋：

判斷函數(shù)y=Asin(ox+s)的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視

“定義域關(guān)于原點對稱''這一前提條件.

(5)周期：函數(shù)y=Asin(ox+⑼的周期與解析式中自變量X的系數(shù)有關(guān)，其周期為T=生.

ω

(6)對稱軸和對稱中心

與正弦函數(shù)y=sinx比較可知，當(dāng)蛆+9=JbF±搭(k∈Z)時，函數(shù)y=Asin(s+°)取得最大值(或最

小值)，因此函數(shù)y=Asin(〃)x+0)的對稱軸由妙+G=ZTr±微(％∈Z)解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)

ωx+φ=kπ{k≡Z)，即對稱中心為——,0∣(?∈Z).

知識點四：余弦函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)余弦函數(shù)y=Cosx

定義域R

值域Ful

奇偶性偶函數(shù)

周期性最小正周期24

增區(qū)間[2左4-πt2kπ]

單調(diào)區(qū)間(AeZ)

減區(qū)間?2kπ,2kπ+τr]

最值點(Z∈Z)最大值點(2br,l)

最小值點(2hr+%,-l)

TT

對稱中心GteZ)(^+?,θ)

對稱軸(ZeZ)x=kπ

知識點詮釋：

(1)余弦函數(shù)的值域為[-1』，是指整個余弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的余弦曲線，如果定義域不是全體實

數(shù)，那么余弦函數(shù)的值域就可能不是[-1,1],因而求余弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域.

(2)求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先將y=cos(-x)變換為y=cosx再求解，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函

數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域.

知識點五：余弦型函數(shù)y=Acos(<wx+S)(A,。>0)的性質(zhì).

函數(shù)y=ACoS(OX+⑼可看作是由余弦函數(shù)y=cosx復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦

函數(shù)y=Cosx類似地得到：

(1)定義域：R

(2)值域：[~A,A]

(3)單調(diào)區(qū)間：求形如y=Acos(5+e)(AM>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答,

即把。x+S視為一個“整體”，余弦函數(shù)y=cosx的單調(diào)遞增(減)區(qū)間對應(yīng)解出X,即為所求的單調(diào)遞增

(減)區(qū)間.

(4)奇偶性：余弦型函數(shù)y=Acos(αλr+e)(A,o>0)不一定具備奇偶性，對于函數(shù)y=Acos(αλr+/),

當(dāng)9=kτ(Λ∈Z)時為偶函數(shù)，當(dāng)9=Z%±j∣√k∈Z)時為奇函數(shù).

(5)周期：函數(shù)y=Acos(ox+e)的周期與解析式中自變量X的系數(shù)有關(guān)，其周期為T=生.

ω

(6)對稱軸和對稱中心

與正弦函數(shù)y=sinx比較可知，當(dāng)?shù)?9=女乃±](%∈Z)時，函數(shù)y=Asin(3r+0)取得最大值(或最

小值)，因此函數(shù)y=ASin(的+°)的對稱軸由5+0=攵"士(k∈Z)解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)

ωx+φ=kπ{k≡Z),即對稱中心為——,θj(A-∈Z).同理，y=Acos(ωxΛ-φ)的對稱軸由

JT

ωx+φ=kπ[keZ)解出，對稱中心的橫坐標(biāo)由<υx+g=女方土耳/eZ)解出.

知識點詮釋：

判斷函數(shù)y=Acos(ox+⑼的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視

“定義域關(guān)于原點對稱''這一前提條件.

若XWR,則函數(shù)y=Acos(ωx+φ)不一定有對稱軸和對稱中心.

【題型歸納目錄】

題型一：正余弦函數(shù)的周期問題

題型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題

題型三：正余弦函數(shù)的對稱問題

題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題

題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題

題型六：比較大小

題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題

題型八：正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用

【典型例題】

題型一：正余弦函數(shù)的周期問題

例1.（2022?全國?高一專題練習(xí)）/（x）=lSinXl+1CoSXl的最小正周期是（）

Tt

A.—B.reC.2〃D.3〃

2

【答案】A

【解析】因為/（x）=ISinXI+1cosx∣=J（ISinX∣+∣COSXly=JSin2x∣+1,

因為y=sin2x的最小正周期為乃，所以y=卜也2目的最小正周期為/,

所以〃x）的最小正周期為

故選：A.

TT

例2.（2022.陜西漢中.高一期末）下列四個函數(shù)中，在區(qū)間仁,兀）上單調(diào)遞增，且最小正周期為兀的是

2

（）

X

A.y=-sinxB.y=|cos%IC.y=∣sinx∣D.y=sin-

【答案】B

T=二=4

【解析】y=-sinx的最小正周期是27，y=sin；的最小正周期是‘一丁一包，排除，

22

BC兩個函數(shù)的最小正周期是萬，

Xeq,乃）時，y=∣cosx∣=-COSX單調(diào)遞增，y=kinx∣=sinx單調(diào)遞減.

故選：B.

例3.（2022?山東德州?高一期末）設(shè)函數(shù)/（x）=2sin（0x+e）,χeR,其中&＞（）,冏＜π.若

/[γ]=2,等）=-2,且/（χ）的最小正周期大于2π,則（）

A2πB.行2,聯(lián)-電

A.ω=-,φ=—

312312

。-比C17π

C.Jj=D.ω=-,φ=——

324324

【答案】A

5π5π5兀π

【解析】因為了2,所以2sin(G----+φ)=2=ω-----+φ=2kπ+-(k∈Z)(l),

882

17TiC亡匕Ce/17兀、—17兀C3TC.f~7?∕c?

因為了=-2,所2SIn(G-------F夕)=-2=>G-----+φ=2mπ+—(加∈Z)(2),

882

22

(2)-(1),得。=§(2機-2Z+1),而<υ>0,所以。=](2%-2Z+l)>0,

2兀

因為/S）的最小正周期大于2%，所以有一>2兀=口<1,

ω

2π

因為〃2,Z∈Z,所以G=j,即e=2Zπ+;?(k∈Z),而冏vπ,

π

所以Z=O,即。=已，

故選：A

變式1.（2022?陜西渭南?高一期末）函數(shù)"x）=sin[2x+q）的最小正周期為（）

A.nB.lfπC.3πD.44

【答案】A

O-

【解析】根據(jù)解析式可知：/（x）最小正周期T=告77=".

故選：A.

變式2.（2022?廣東?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）下列函數(shù)中周期為"，且為偶函數(shù)的是（）

A.y=CosxB.y=sin2x

C.y=sin^2x+yjD.y=cosgx

【答案】C

【解析】對于A：y=cos?r為周期為27的偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B：V=sin2x為周期為左的奇函數(shù)，故B錯誤；

對于C：y=sin（2x+^）=cos2x為周期為1的偶函數(shù)，故C正確；

對于D：y=cosgx為周期為47的偶函數(shù)，故D錯誤；

故選：C

πIT

變式3.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=sin（ox+夕）（A>0,<y>0）在區(qū)間上單調(diào)，且

o2

7Γ

A.-B.%C.2萬D.44

2

【答案】B

TTTT

【解析】：函數(shù)/(x)=Sin(0X+e)，A>0,<υ>O,若/(x)在區(qū)間—上單調(diào),

O2_

.冗π,T11ππππ.八C

..-------≤—------------,UnPn一≤—，..O<a)≤3?

2622Gty3ω

???GM卦-9

_π_I_2_π_

_23_7乃為f(x)=sin(α?x+s)的一條對稱軸，

212

，π*π、

且?^?,θ即0)為/(X)的一個對稱中心，

故選：B.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解.

(2)公式法，對形如y=Asin(<υx+s)或y=Acos(<υx+e)(A，ω)9是常數(shù)，AxO,ω≠0)的函

數(shù)，

(3)觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.

三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?

題型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題

例4.(2022?浙江?杭州四中高一期末)在區(qū)間仁，向上為減函數(shù)，且為奇函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=sin2x

C.y=COSXD.y=cos2x

【答案】B

TTTT

【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得C,D錯誤；因為函數(shù)N=Sinx在-],萬上單調(diào)遞增，

且x∈??,2x∈夕乃,易知函數(shù)y=sin2x在H上單調(diào)遞減，

故A錯誤，B正確.

故選：B.

例5.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Sin(x+⑼為偶函數(shù)，則9的取值可以為()

B.πCuD.0

【答案】A

【解析】因函數(shù)/(X)=Sin(X+9)為偶函數(shù)，則*=E+]7Γ,A∈Z,顯然及=T時，*=-T]r，即A滿足,

B,C,D都不滿足.

故選：A

例6.(2022.全國?高一專題練習(xí))若函數(shù)"x)=2sin(2x-∣→0)是奇函數(shù)，則夕的值可以是()

【答案】C

【解析】若函數(shù)〃x)=2sin(2x-。+”是奇函數(shù)，

TTTT2元

則一耳+0=kπ,Z∈Z,得0=耳+kπ,keZ=k=-?φ=---

故選：C

變式4.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)=Sin(OX+0)(o>(ψ∣<f圖象的兩相鄰對稱軸之間的距

離為且/(x+∣J為偶函數(shù)，則9=()

ππ

B.C.D.

【答案】B

【解析】因為/(X)圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為∣?,所以最小正周期7=1=稱,

則<y=2,所以/(x+?)=sin(2r+與+s)

因為/(x+()為偶函數(shù)，

所以9+—^―=—I-kτr,&eZ,

32

所以0=-1+版7,%€2.因為|同＜1,

62

所以e=-g.

O

故選：B.

變式5.(2022?全國?高一專題練習(xí))己知函數(shù)/(x)=αχ3+8SinX+?-2022(。，b,C為實數(shù))，且

X

/(2022)=1,則/(—2022)=()

A.-1B.1C.-4045D.4045

【答案】C

【解析】設(shè)g(x)=/(x)+2022=加+6sinx+f,χ≠0,

X

貝∣Jg(-x)=α(-x)3+bsin(-x)+*=-0r3_6SinX_￡=_g(x),是奇函數(shù)，

-XX

(2022)=/(2022)+2022=2023,所以g(-2022)=/(-2022)+2022=-g(2022)=-2023,

/(-2022)=-4045.

故選：C.

變式6.(2022?北京?北師大實驗中學(xué)高一期中)下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.y=∣sinx∣+cosxB.y=∣cosx∣+sinxC.y=卜injφcosxD.y=∣cosx∣?sinx

【答案】D

【解析】對A,由/(-x)TSin(τ)∣+cos(-X)=/(x),/(X)=卜inR+cosx不是奇函數(shù)；

對B,由/(-x)=∣cos(-x)∣+sin(-?)=∣cos?j-sinx≠-/(?),/(x)=∣COSXI+sinx不是奇函數(shù)；

對C,由/(-x)=∣sin(-X)∣?cos(-x)=∣sinx∣-cosx=f(x),/(X)=卜inx∣?cosx不是奇函數(shù)；

對D,由/(-x)TCOS(-x)∣?sin(f)=TCOSxI?sinX=-/(X),又/(x)=φin?φcosx的定義域為R關(guān)于原點對

稱，所以D正確.

故選：D

變式7.(2022?江蘇?高一單元測試)已知函數(shù)y="x)為一次函數(shù)，若對任意的SJeR,都有

/(5+f)=∕(??)+∕(r)-l,當(dāng)x∈[-π,可時，函數(shù)g(x)=siru+∕(x)的最大值與最小值之和為M,則M的

值為()

A.-1B.1C.0D.2

【答案】D

【解析】因為函數(shù)y=∕(χ)為一次函數(shù)，令/(X)=辰+仇狂0)

對任意的s,feR,都有〃s+r)=/(s)+/⑺一l,,

所以％(s+r)+Z>=依+6+公+8一l,解得6=1,

所以一次函數(shù)為f(χ)=h+1,

令∕ι(x)=SinX+for,x∈[-π,π],則g(x)=∕z(x)+l

則=sin(-x)+Λ(-x)=-(SinX+Ax)=-Λ(x)

則∕ι(x)=Sinr+H為[τt,π]上的奇函數(shù),則MX)m?,+人(力—=°>

所以函數(shù)g(x)=shu+∕(x)的最大值與最小值之和為

g(x*n+g(x)mω=MX)min+1+。(力,皿+[=2,所以M的值為2.

故選：D.

變式8.(2022.全國?高--課時練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)XWo時，

/(x)=sin2x+cosx+∕n(m為常數(shù))，則〃F)等于()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】因為函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

當(dāng)x≥0時，/(x)=sin2x+cosx÷w,

所以/(0)=SinO+8s0+∕%=m+l=0,解得：∕∏=-1,

所以x≥0時，/(x)=sin2x+cosx-l,

/(;T)=Sin2τr+cos萬一1=0—1一1=一2,

所以/(一乃)=一/(7)=2,

故選：D.

變式9.(2022?上海?r?一專就練習(xí))已知x,y∈[-;,7],awH,且｛,八，則

44[4y+sιnycosy+α=0

cos(2x+y)=()

A.——B.?C.1D.—1

【答案】C

【解析】x3÷sinx=2a,8)2+2SinyCoSy+2。=0,

(2>,)3+sin2y=-2a,

/(x)=V+sinX為奇函數(shù)，f(-x)=f(2y)=-2a,

-x=2ytx+2y=0,/.cos(2x+y)=l.

故選:C

變式10.(2022?貴州?遵義航天高級中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)/(無)=。5出("+二)+人8$(兀￥+/)；其中

。也α,α都是非零實數(shù),若/(2019)=T,那么“2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】f(?)=asin(πx+a)+bcosQπx+Q,其中。，bta,4都是非零實數(shù)，

若f(2019)=asin(2019π?+a)+bcos(2019江+s)=-asina-bcosβ=-1,則Qsi“g+bcos4=1,

那么/(2020)=asin(2020π+a)+bcos(2020π+β)=asina+bcosβ=1,

故選C.

【方法技巧與總結(jié)】

判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)利用定義判斷一個函數(shù)F(X)的奇偶性，要考慮兩方面：①函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；②

/(T)與/(X)的關(guān)系；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法.

題型三：正余弦函數(shù)的對稱問題

例7.(2022?湖南?武岡市教育科學(xué)研究所高一期末)關(guān)于函數(shù)f(x)=2sin(2x-])圖象的對稱性，下列說

法正確的是()

A.關(guān)于直線x=gTT對稱B.關(guān)于直線X=JTT對稱

36

C.關(guān)于點信0)對稱D.關(guān)于點管,0卜稱

【答案】D

【解析】對A,2xW-f=[*W+%r,keZ,故A錯誤；

3332

對B,2×--------=0≠—Fkτr,火∈Z,故B錯誤；

632

TT7ΓTT

對C,2×y-y=y≠te,左∈Z,故C錯誤；

TTTT

對D,2×-------=0=kπ,此時Z=O,故D正確，

63

故選：D

TT

例8?(2022?全國?高一課時練習(xí))函數(shù)y=sin(2x+;)的圖象的一個對稱軸方程是()

4

πcπCπ?π

A.X=—B.X=——C.X=-D.X=一

8484

【答案】C

【解析】對于函數(shù)y=sin(2x+f),令2x+E=g+%r,%eZ,

442

解得x=f+W,%∈Z,故函數(shù)的對稱軸方程為x=￡+W，keZ,

o282

令％=0,可知函數(shù)的一條對稱軸為X=?.

O

故選：C

例9.(2022?陜西西安?高一期末)已知函數(shù)/(x)=2sin(2x-6+l,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)"x)的圖象關(guān)于點弓,0)對稱B.函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸是直線X=-I

C./(X+至是奇函數(shù)D.?0<xl<x2<π,則，(XJ<∕(Λ2)

【答案】B

【解析】對于A,因域)=2s嗚+1=√5+1,則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點除0)不對稱，A不正確；

對于B因/(q)=2sin(—鄉(xiāng)+1=-1,而〃x)min=T,則數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸是直線X=W,B

正確；

TrJTTTTT

對于C,/(%+q)=2sin[2(x+q)-Q]+1=2sin(2x+q)+l不是奇函數(shù)，C不正確；

Sir7τrTrSir

對于D,取Xl=蕓顯然有0<±<X2<π,而/(N)=2sin2+l=3,/(x2)=2sin-+1=2,D

121226

不正確.

故選：B

變式11.(2022?遼寧撫順?高一期末)函數(shù)f(x)=sin(2x-：),xe(O,7r),若方程〃X)=弓的解為

Λ?,X2(0<X1<X2<TΓ),則sin(%一%2)二()

A.-立B.-立C.-也D.-包

3336

【答案】C

【解析】因為0<x<π,

所以2X一??∈(-??,H).

OOO

TTTT

令2x----=一■Fkπ{k∈Z),

62

可得X=。+弩(MeZ)；

因為方程/(x)=弓的解為王,々(0<%,<Λ2<?),

所以工產(chǎn)=?,

所以為專f，

所以Sin(Xl-X,)=sin(2x∣--)=-cos(2x--).

3l6

因為X<x,,x,=^-ΛI,

所以0<%,

所以2玉一會(一親》

由/(X1)=Sin(2xl.g)=零,

63

得cos(2x∣-—)=,

63

所以Sin(Xl-X,)=-Y∑.

3

故選：C.

變式12.（2022?全國?高一課時練習(xí)）已知/（x）=Sin（5+9）（3>O,O<9≤7r）是R上的奇函數(shù)，若/（X）

ππ內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則/闈=（）

的圖象關(guān)于直線X=（對稱，且〃x）在區(qū)間

,^22,∏,

A.-在B.--

C.?D.—

2222

【答案】A

【解析】因為∕?(x)=sin(5+c)(0>O,O<e≤ι)是R上的奇函數(shù),則6=萬,

所以，/(x)=Sin(<υx+√r)=-sinox,

因為/（x）的圖象關(guān)于直線X=（對稱，則詈=版?+3^eZ）,可得o=4A+2,

πππω//兀ω

當(dāng)Xe時,——≤ωx≤——

22,H2211

因為函數(shù)“X）在區(qū)間-?,?內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，貝IJ112,解得o<0≤?,

''2211τ_τ_ω_、>_π__2

、22-2

所以，k=0,0=2,故/（X）=-Sin2x,因此，H-Si吟=-冬

故選:A.

變式13.（2022?湖南?長沙麓山國際實驗學(xué)校高一開學(xué)考試）已知函數(shù)

/（x）=sinf→4xLcosf4x-^+l,則下列判斷錯誤的是（）

A./(x)的最小正周期為gB.〃x)的圖象關(guān)于直線X=芻對稱

L

C.“X)的值域為[τ,3]D./(X)的圖象關(guān)于點EO卜寸稱

【答案】D

【解析】H?∕(^)=sin^→4x^+cos^4x-^+l=sin^y+4A'j+cos^4x+y-^+l

π

=2sin(4x+y)+l

所以T=也=?=9,A正確；

ω42

由?+A=]+""'""，得X=去+朱keZ,所以X=合是/(x)的對稱軸，B正確；

因為T≤sin(4x+gwi,所以-l≤2sin(4x+g+143,即—l≤∕(x)≤3,C正確；

由4x+(=%r,%∈Z,得χ=q+今#eZ,所以/(χ)的對稱中心為珀+存)，D錯誤.

故選：D

22

【答案】D

【解析】函數(shù)/'")=sin(5+∕)+b(3>0)的最小正周期為7,

4

f∣E2412τrE/口2424

則T=,由<T<71得<<TC2<69<3,

ω3f3ωf

y=f(x)的圖像關(guān)于點(段,2)中心對稱，=2,

且sin(3口+?)=0,貝1」與6?+7=%乃，ZeZ.

215

.?.ω=-(k---),ZeZ,取2=4,可得G=

342

.?./(x)=sin(∣x+?)+2,則/篇)=si嗚*嚀)+2=Sinl→2=l+2=3.

故選：D.

變式15.(2022?全國?高一課時練習(xí))已知函數(shù)"x)=Sinl2》+部Xe(Ow).若方程小)='的兩個

解為為，*2，則Sina+々)=()

A.--B.史C.-D.--

2222

【答案】B

【解析】由題意可得，?efθ,?],則2x+∕G,當(dāng)，

\?√666

令2X+F=1,X=J,即函數(shù)"x)=sin(2x+g],Xe(O,孚關(guān)于直線x=?^對稱，

626kθ√?3√6

則/(x)在［。高上單調(diào)遞增，在仁向上單調(diào)遞減，所以％+-2x^=5，

故sin(Xl+x2)=sin?=,

故選：B

變式16.(2022.北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sin?x+s)(0>O，M4~|

為/(x)的零點，X=；為y=∕(χ)圖象的對稱軸，I/(x)在區(qū)間［而,段上單調(diào)，則。的最大值為()

A.9B.5C.7D.3

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=sin(0x+e)[0>O,M∣≤5),

X=-：為“X)的零點，X=；為y=〃x)圖象的對稱

軸，

2H+1π(π?2π+l2ππ

??.--------T=————，即---------,

44I4j4ω2

?,?ω=2n+l,"∈N,即①為正奇數(shù).

ΛΞΓ4X??^?'HP^IO?

①當(dāng)。=9時，9χ-?)+s=k乃，kwZ,

此時,/(x)=sin(5x+?),在區(qū)間儒馬上,5x+(∈仔當(dāng)),

故滿足題意.

則。的最大值為5.

故選：B.

變式17.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sin(2x+0)的圖象關(guān)于點仔,0)中心對稱，則網(wǎng)的

最小值為()

πC兀_2π?4兀

A.-B.-C.—D.—

6333

【答案】B

【解析】因為函數(shù)f(x)=sin(2x+⑼的圖象關(guān)于點A,(?中心對稱，

(Tt?TTTT

所以sin2χ2+9=0,則2x—+e=E,A∈Z,β∣Jφ=——+E,R∈Z,

I6J63

故助的最小值為∣?.

故選：B

變式18.(2022?江西?高一期中)已知函數(shù)"x)=αsinx+cosx的圖象關(guān)于直線x=q對稱，則/(f=

()

A.√3B.丑業(yè)C.-√3D.應(yīng)二逅

22

【答案】B

【解析】因為“X)的圖象關(guān)于直線X=?對稱，所以"0)=∕(與)，即I=乎α-g,

解得4=6,則/⑶=Kx巫+正=?.

UJ222

故選：B

變式19.(2022.北京.中關(guān)村中學(xué)高一期中)若點(4,0)是函數(shù)y=sin(x+［圖象的一個對稱中心，貝心

的值可以是()

πππ

A.—B.C."D.

326^3^

【答案】C

7ΓTT

【解析】依題意可得。+9=E,Λ∈Z,所以。=E-9，Z∈Z,

66

當(dāng)&=O時?，a=-y.

故選：C

變式20.（2022.陜西.西安中學(xué)高一期中）己知直線Xq是函數(shù)F（X）=Sin（S+￡|（0<0<8）圖像的一條

對稱軸，則。的值為（）

A.3B.4C.2D.1

【答案】C

【解析】依題意得，（少=疝（。9+令=±1,

OOO

所以3?生+生=k;r+生,ZeZ,

662

即0=6/+2,ZeZ,又O<0<8,

所以。=2.

故選：C.

變式21.（2022.全國.高一專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=sin（0x-T（3>。）在（兀，2兀）內(nèi)不存在對稱中心，則。

的取值范圍為（）.

A,[?|1B,fθ,?lC.層]D?星U

l_33jI3」I6」I6J|_33j

【答案】D

【解析】因為在（兀,2兀）內(nèi)不存在對稱中心，故2τ-ι≤工=至，解得<a≤l,又Xe（Tr,2π）,

22ω

ωπ----≥κπ

π(ππ?01b7

ωx----∈ωπ-----,2ωπ-----故,(&eZ),解得無+g≤0≤5+WkeZ),又0<<υ≤l,

3(33)

2ω^?-y≤(?+1)Λ^

121fl12

所以&=0,-≤ω≤-^ιk=-?.0<co≤-,故0的取值范圍為I0?~U.

33i6I6」|_33_

故選：D.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形：

（2）正弦曲線（余弦曲線）的對稱軸一定過正弦曲線（余弦曲線）的最高點或最低點，即此時的正弦

值（余弦值）取最大值或最小值；

（3）正弦曲線（余弦曲線）的對稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與X軸的交點，即此時的正弦值

（余弦值）為0.

題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題

例10.(2022?內(nèi)蒙古?阿拉善左旗第一中學(xué)高一期末(文))函數(shù)y=sin(-2x+/)的單調(diào)遞減區(qū)間是

()

Jr5JT

A.[kπ一-—,?π÷-],?∈ZB.[2kπ--,2kπ+-],k≡Z

12121212

Jt.5兀

C.rIAfTI—,kitH-----],κf∈ZD.[2?π--,2Λπ+-]Λ∈Z

6666

【答案】A

【解析】函數(shù)y=sin(-2x+g=-sin(2x-1),故求函數(shù)y=sin(2x-g)的單調(diào)遞增區(qū)間即可,

JI'Ji'Ji'JI?TT

令——+2kπ≤2x——≤—÷2kπk∈Z,解得x∈[Λπ-----,左兀4-----],?∈Z

232y1212

故選：A

例11.(2022?全國?高一課時練習(xí))函數(shù)"X)=SinG-2x)在[(),句上的增區(qū)間是()

【答案】C

【解析】由題知/(x)=-sin(2x-g],又xe[(),句，所以2x-±e~^∑,~^∑^

\6J6[_66

?TFATC31./口TV5兀

令7≤2x-瓷?，^W-≤x<-,

26236

所以函數(shù)/(x)=sin[32x)在[0,句上的增區(qū)間是.

故選：C.

TT

例12.(2022?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末)函數(shù)y=sin(丁-2x)的單調(diào)減區(qū)間是()

4

τr3τt713萬

A.[kτr——,kτc÷∈Z)B.[21kτr—",2Rττ+-^-],(Z∈Z)

3TT7TT3兀74

C.[2kπ+——,2kπ+——],(?∈Z)D.[kπ+——,kπ+——],(k∈Z)

8888

【答案】A

【解析】y=sin(?-2x)=-sin(2x-?),要求函數(shù)y=sin(7-2x)的單調(diào)減區(qū)間，即求函數(shù)

y=sin(2x-的單調(diào)增區(qū)間.

TTTTTT

令---+2kπ<2x-----≤-+2kπ,k≡Z,

2