高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊《數(shù)列知識點(diǎn)復(fù)習(xí)講義》（含答案）

數(shù)列知識點(diǎn)復(fù)習(xí)講義(含答案)

數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝)的

特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

1.數(shù)列是按一定蛆序排列的一列數(shù)，記作為,“2，。3……，簡記｛%｝.

2.數(shù)列｛a,,｝的第〃項(xiàng)明與項(xiàng)數(shù)〃的關(guān)系若用一個公式%=/(〃)給出，則這個公式叫做這個數(shù)

列的通項(xiàng)公式。

3.數(shù)列的項(xiàng)為當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。

4、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)凡與它的前一項(xiàng)4T(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系的公式.

5、求數(shù)列中最大最小項(xiàng)的方法：最大(凡'"向最小(%*”向考慮數(shù)列的單調(diào)性

二'等差數(shù)列

1、定義：(1)文字表示：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常

數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.

(2)符號表示：a”一?！癬1=d(〃22)或a〃+i—a”=d(〃21)

2、通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)是小公差是d,則=6+(“-1)2.

通項(xiàng)公式的變形：①4=%"+("-772"；②d=4~~—.

n-m

通項(xiàng)公式特點(diǎn)：an=dn+(4—d)

an=kn+m,(左，機(jī)為常數(shù))是數(shù)列｛凡｝成等差數(shù)列的充要條件。

3、等差中項(xiàng)

若三個數(shù)a,A,6組成等差數(shù)列，則A稱為。與人的等差中項(xiàng).若6=比，則稱匕為。與c

2

的等差中項(xiàng).即a、b、c成等差數(shù)列<=>6=匕

2

4、等差數(shù)列｛%｝的基本性質(zhì)(其中加,附,0,〃eN*)

(1)若加+n=p+q,貝■]am+an=ap+aqO

(2)an-am=(n-in)d

(3)2an=a,^m+an+m

5、等差數(shù)列的前九項(xiàng)和的公式

公式：①s"="（"「）；②

公式特征：S“=a1+（4）“，時是一個關(guān)于n且沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式

22

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：

①若項(xiàng)數(shù)為2”（〃eN*）,貝US2”="（%+a“+i）,且S偶-5奇="4,—=-^-.

'S偶?！?1

②若項(xiàng)數(shù)為2〃—1（〃eN*）,貝1JS2“T=（2”—I）4,且S奇—S偶=4,^=—

S偶〃-1

（其中s奇=〃4,s偶=5-1）%）.

③S.，52?-S?,53.一52”成等差數(shù)歹!1?

6、判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：

①定義法：a向-*=d（常數(shù)）"eN*）n｛%｝是等差數(shù)列

②中項(xiàng)法：2an+l=an+an+2（"eN*）n｛%｝是等差數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：an=kn+b（A/為常數(shù)）n｛%｝是等差數(shù)列

2

④前〃項(xiàng)和公式法：Sn=An+Bn（A,3為常數(shù)）n｛an｝是等差數(shù)列

三'等比數(shù)列

1、定義：（1）文字表示：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常

數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.

（2）符號表示：幺旦=展常數(shù)）

a“

2、通項(xiàng)公式

（1）、若等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是％,公比是“，則a〃=%q"T.

（2）、通項(xiàng)公式的變形：①a〃=a「；②廣”=組.

am

3、等比中項(xiàng)：在。與6中插入一個數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，則G稱為。與6的等比中

項(xiàng).若G2=ab,則稱G為a與Z?的等比中項(xiàng).注意：。與Zj的等比中項(xiàng)可能是土G。

4、等比數(shù)列性質(zhì)

若｛?！埃堑缺葦?shù)列，JLm+n=p+q（m、n、p、qeN*）,則?%=%,?%;

若｛?！埃堑缺葦?shù)列，且2"=夕+q（九、p、qeN*）,則可；=4?%.

5、等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和的公式:

nax(q=1)

(1)公式：Sn=<q(IT)

%—4M(E)

、i-qi—q

（）公式特點(diǎn)：1i(1_q")=k(l-q")=A-Aq"

2?sn

（3）等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2M“eN*）,則也=心

②Si=S"+q".Sm.③%S2n-Sn,%-邑“成等比數(shù)列（S,尸0）.

6、等比數(shù)列判定方法：

①定義法：-=q（常數(shù)）=｛%｝為等比數(shù)列；

2

②中項(xiàng)法：an+l-an-an+2（%w0）=>｛%｝為等比數(shù)列；

③通項(xiàng)公式法：（左,q為常數(shù)）=｛4｝為等比數(shù)列;

④前〃項(xiàng)和法：S“=kQ-qn）（左，4為常數(shù)）=｛4｝為等比數(shù)列。

四、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義??-??=d(d為常數(shù)，n>2)3=q（qwO,且為常數(shù)，”三2）

+1a

n

遞推

a=%q

公式n

通項(xiàng)

〃)或〃nx

an=q+(-Vda“=am+(-m)dan=aYq~(q,qw0)或?！?。加4〃“

公式

a,b,c成等差數(shù)列的充要條件：

中項(xiàng)a,4c成等比數(shù)列的充要條件：b2=ac

2b=a+c

前nd[(q-1)

n①SL

項(xiàng)1-ql-q

和：

IO

IQ

7J+2

/

、-

dwd-

I-1-

I-+1-

-1-

/2r2-

①=〃根+（〃一加）2

②等和性：若加+〃=〃+q（加、n、p、

①4=4寸

q￡N*）,

重

②等積性：若m+n=p+q（m,n,p、qeN*）,

則金+%=%+%

要

貝"4=%q

性③若2n=p+q（幾、p、4eN*）,貝!j

質(zhì)③若2n=p+q5、p、qeN*）,則a；=4?4

2an=ap+aq.

④ShS2左-Sb$3欠-$2"-構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列.

④-o,<?-o構(gòu)成等

Qk?2k口k?3k2k

差數(shù)列.

卜1>。或31<00{。}遞增數(shù)列；

設(shè)d為等差數(shù)列{〃/的公差，則

[q>1[0<夕<1

單

d〉0O{〃〃}是遞增數(shù)列；<「或"：1°o{aj遞減數(shù)列；

調(diào)

d〈0O{〃〃}是遞減數(shù)列；

性：q=l<=>{〃/是常數(shù)數(shù)列；

d=0O{〃”}是常數(shù)數(shù)列.

q<0<=>{〃/是擺動數(shù)列

證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法：證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法：

L定義法="（常數(shù)）

證1.定義法—=4（常數(shù)）

4

2.中項(xiàng)法%+a=2a（〃>2）

明n+1n

2.中項(xiàng)法an_x-an+l=a；（n>2）

方

3.通項(xiàng)公式法：qn=pn+qQp,q為常數(shù)）

n

法3.通項(xiàng)公式法：a=Aq（A,q為不為o的常數(shù)）

4.前n項(xiàng)和公式法：$=A〃2+5〃（A,B為常

?n

4.前n項(xiàng)和公式法：S"=Bq〃一B（4工0應(yīng)力18片0）

數(shù)）

三數(shù)等比：3,aq或a,aq.aq1

三數(shù)等差：a—d,a,a+d

設(shè)元

q

技巧

四數(shù)等差：a—3d,a-d,a+d,a+3d73

四數(shù)等比：a.aq.aq,aq

五'基本題型

一'數(shù)列的概念

題型一：數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

例1已知數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式為a〃=—2層+21〃，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng)是（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第4項(xiàng)或第5項(xiàng)D.第5項(xiàng)或第6項(xiàng)

2+—,因?yàn)?Vm<6,且%=55,&=54,最大第5項(xiàng).

解：an=-2n+21n=-2

變式

1.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為*=3"-28〃，則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

2.已知數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，其通項(xiàng)公式為%="2+4〃，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是

3.已知%——（neN、則在數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為_;

題型二：利用S〃與斯的關(guān)系求通項(xiàng)公式

S1n-\

公式：〃〃

S[rl=1]+%4+/D+???+f”l=5a,I.2.ai

1=1sn-sn>2

例.已知數(shù)列｛aJ的前〃項(xiàng)和S“=3"-2,求其通項(xiàng)公式.

解析：當(dāng)〃=1時嗎=S]=31-2=1,

當(dāng)〃22時,%=-Si=(3”-2)-(3〃T-2)=2?

1

又見=1不適合上式，故/=[1(〃=1)

12-3"T(n>2)

變式

1.若數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”=〃2,貝I」()

A.an=2n-lB.an=2n+1C.an=-2n-1D.an=-2n+1

n

2.已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Sn=3+2,貝ljan=

3.已知數(shù)列的S”=+九+1,則。8+a9+%0++a12=°

4.數(shù)列\(zhòng)an｝的前n項(xiàng)和S”="一4”+1,,則

二'等差數(shù)列

題型一利用定義法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

例.已知數(shù)列｛?“｝滿足％=(，。用=匕，則％必=()

2%十1

A.-^―B.-^―C.-^―D.-^―

2019202020212022

解：因?yàn)椤Ｓ?%,則--J"，又則｝=2，

所以數(shù)列｛；｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以;="+1,所以%=」：，則

ana?n+\

%⑼=2021+1=2022?故選：D

變式

1.在數(shù)列｛%｝中，%=2,2%+]-26=1,則％01的值為()

A.49B.50C.51D.52

2.在數(shù)列｛%｝中，/=2,%=1.若為等差數(shù)列，則4=()

432

A.-B.-C.-D.上

3.已知數(shù)列｛?！埃凉M足。用=?，貝1]%。23=()

2%十1

A.—B.—C.—D.—1―

2021202220232024

題型二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用

B

例.在等差數(shù)列｛。"｝中4=2,a2+?3=13,則知+出+Q等于()

A.40B.42C.43D.45

解：a,+%=2tZj+3d=4+3d=13d=3,a5=2+4x3=14,a4+a5+a6-3tz5=42

變式

1.等差數(shù)列｛%｝中，aio=3O,a20=50,則通項(xiàng)a“=;

2.已知｛為｝是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，如果以=2023,則序號〃等于()

A.667B.668C.669D.675

3.在數(shù)列｛。,｝中，％=1,%+「3=a“，若％=2020,則〃=()

A.671B.672C.673D.674

4.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是

題型三：等差中項(xiàng)及應(yīng)用

例.在等差數(shù)列｛a〃｝中，。1+。4+。7=58,。2+。5+。8=44,則的+期+他的值為（）

A.30B.27C.24D.21

【詳解】設(shè)。1=。1+。4+。7=58,。2=。2+。5+。8=44,匕3=。3+。6+。9.

因?yàn)椋梗堑炔顢?shù)列,所以仇,bl,。3也是等差數(shù)列，得歷+優(yōu)=2岳,

所以。3=2岳-01=2x44-58=30,即。3+<%+。9=30.故選：A

變式

1.已知｛%｝是等差數(shù)列，且4T是電和4的等差中項(xiàng)，則｛%｝的公差為（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.在等差數(shù)列｛%｝中，的+。6=18-qo，則為+4=（）

A.8B.12C.16D.20

3.數(shù)列｛a“｝為等差數(shù)列，出與&的等差中項(xiàng)為5，%與火的等差中項(xiàng)為乙則通項(xiàng)等于

題型四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

例.在等差數(shù)列｛%｝中，33=2,/+%+2%o=24,貝(Ja9等于()

A.14B.12C.10D.8

【詳解】因?yàn)?4=%-%=2,所以公差d=l,又因?yàn)樯?。5+2?1()=2。4+2%=4%=24,所以的=6,

所以。9=%+24=8,故選：D.

變式

1.在等差列｛〃[｝,%+2%+3〃3+4g=100,貝U%+/+/+&+%=()

A.100B.75C.50D.25

2.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝,若W+a；=85,%+4=11,則氏=(C)

A.1B.2C.?D.2n-l

三'等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

題型一：等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算

例.在等差數(shù)列｛a〃｝中:

(1)已知為+4o=58,%+佝=5。，求Ho；(2)已知S7=42,5“=510,。“_3=45,求”.

a+a=2q+131=58%=3

解：（1）由已知條件得xw,解得

a4+a9=2%+1W=50d=4

Ho=10q+吆孚ad=10x3+3x4=210；

(2)邑=7(。；%)=7-42,.,^=6,*J"%)=J(675)增。,,,w=20.

變式

1.在等差數(shù)列中，Sn=22,則&=；

2.數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，%=7,則$7=

3.在等差數(shù)列｛4｝中，若%+。9+%5+%1=8，則$23=

4.在等差數(shù)列｛分｝中，已知44+48=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和Sll=()

A.58B.88C.143D.176

5.記S“為等差數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和.若%+%=24,S$=48,則｛%｝的公差為()

A.1B.2C.4D.8

6.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，為。=10,其前10項(xiàng)的和又)=70,則其公差d等于()

A--B.--C.-D.-

3333

7.等差數(shù)歹U｛”“｝中,%+%+。7=39,%+。6+。9=27,則數(shù)列｛"“｝前9項(xiàng)的和邑等于()

A.66B.99C.144D.297

8.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)冊=2〃+1,則由+4(〃CN*),所確定的數(shù)列出｝的前九項(xiàng)和

是__________

9.設(shè)S,為等差數(shù)列｛*｝的前。項(xiàng)和，§4=14,SIO-S7=3O,則S9=.

10.在等差數(shù)列｛?！ǎ校?=0.3,tZ12=3.1,求《8+。19+%0+。21+a22的值。

11.^［歹U｛?！埃校ァ?,<2,=2+3,%=4+5+6,%=7+8+9+10....,那么—___

12.設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為利,已知前6項(xiàng)和為36,最后6項(xiàng)的和為180,Sn=324(n

>6),則a9+aio=_

題型二：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)

例.記等差數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和為S”，已知$5=5,&=21,則%=(C)

A.9B.10C.12D.13

【詳解】因?yàn)镾,,是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)，由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)可知:

Ss，Sw-S5,&-小成等差數(shù)列,所以2(%-S5)=S5+(Si5F),即2(%-5)=5+(21-%)，解

得：&=12,故選：C.

變式

1.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若以=2,S2,=8,則%=()

A.28B.32C.16D.24

2.等差數(shù)列的前。項(xiàng)和為25,前2“項(xiàng)和為100,則它的前3n和為。

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若邑=9,$6=36,則%+/+%=()

A.63B.45C.36D.27

題型三：等差數(shù)列前〃項(xiàng)和與n的比值問題

例.在等差數(shù)列｛%｝中，％=-2018,其前〃項(xiàng)和為S“，若*乎2,貝3。=()

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=A"2+即，則j=

n

所以［工］是等差數(shù)列.因?yàn)槠?親=2,

所以［%的公差為1,又m=?=-2018,

所以是以-2018為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以益=-2018+2019x1=1,所以52必=2020故選：C

變式

1.在等差數(shù)列｛%｝中，%=-2018,其前〃項(xiàng)和為S“，若?七=5,貝"期=()

A.0B.2018C.-2019D.2020

2.已知數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式是%=1-2〃，前〃項(xiàng)和為s“，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為

A.-45B.-50C.-55D.-66

3.設(shè)S“是等差數(shù)列｛凡｝的前九項(xiàng)和，若"=；，則"=()

$63Sl2

題型四：兩個等差數(shù)列前八項(xiàng)和的比值問題

例.已知等差數(shù)列｛叫與等差數(shù)列間的前〃項(xiàng)和分別為S“和r”，若率=整|,則會=

)

1

n十''io

(q+〃19)X19

【詳解】因?yàn)橐蹋瑒tA伍舄而寸=*=*故選：c

2

變式

s

1.已知等差數(shù)列｛凡｝和也｝的前”項(xiàng)和分別為S.和T”，且有為+%=2,64+%=8,則黃的值為

79

()

A."B.-C.2D.3

64

2.已知數(shù)列｛%｝、間都是等差數(shù)列，設(shè)｛叫的前〃項(xiàng)和為九｛2｝的前〃項(xiàng)和為4.若*=n,

則戶()

%

3.設(shè)｛明｝與｛么｝是兩個等差數(shù)列，它們的前幾項(xiàng)和為S“和T,,,若&=網(wǎng)上1,那么2=

Tn4〃一3b“

題型五：等差數(shù)列前"項(xiàng)和的最值問題(二次函數(shù)、不等式)

例.設(shè)S”是等差數(shù)列｛4｝(〃eN*)的前"項(xiàng)和，且"AS,>',則下列結(jié)論正確的有()

A.品>0B.&<0C.S13>0D.Ss>S6

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S.=32+1q，，

所以由臬>邑>55可知，d<0,拋物線開口向下，其對稱軸在(6,6.5)之間,

所以拋物線與x軸正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍是(12,13),

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知品>0；兀>0；/<0；國<臬.故選：A

變式

1.已知｛斯｝為等差數(shù)列,』+的+。5=105,。2+。4+疑=99,以S”表示｛而｝的前〃項(xiàng)和,則

使得S”達(dá)到最大值的〃是（）

A.21B.20C.19D.18

2.已知等差數(shù)列｛%｝滿足%=7,%=3,S“是數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和，則使S“取最大值的自然數(shù)〃

是（）

A.4B.5C.6D.7

3.在等差數(shù)列｛4｝中，q=T0,d=2,要使前n項(xiàng)和取得最小值，則n等于（）

A、5B、6C、7D、5或6

4.等差數(shù)列｛”“｝中，q=25,S9=S17,問此數(shù)列前項(xiàng)和最大？并求此最大值__o

｛｝

5.在等差數(shù)列4中，<710<0,t/n>0,且S”是其前〃項(xiàng)和，則

A、SpS?..%都小于0,%,幾都大于OB、H.S?.幾都小于0，S20,S21都大于0

B、工,邑S5都小于0,S6,S,都大于0D、HSS20都小于0，S21,S22.都大于0

題型六：等差數(shù)列前〃項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)和與絕對值問題

例.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,若％=1,an+an+l=n,則（）

A.邑=2B.$24=144C.%=243D.$60=660

【詳解】數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=1,an+an+1=n,

可得：a2=0,an_,+an=n-1,邑=1,所以A不正確；

可得知可知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，公差都是1,

.?.S24=1+2+3+4+…+12+0+1+2+3+…+11=144,所以B正確；

S3I=1+2+3+4+---+15+0+1+2+3+---+15=241^243,所以C不正確；

S6G=1+2+3+4H-----+30+0+1+2+3+-----+29=900,所以Z）不正確；故選：B.

變式

1.已知等差數(shù)列｛g｝的公差為4,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為15,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為55,

則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

A.10B.20C.30D.40

2.已知數(shù)歹?。荩?｝的前〃項(xiàng)和="—4〃，則同+悶+…+%］的值為（）

A.68B.67C.65D.56

3.已知數(shù)歹!）｛叫的前n項(xiàng)和5“=/一4〃，求同+同+…+|4|的值

四、等比數(shù)列

題型一：等比數(shù)列中的基本運(yùn)算

例.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”,04—<71=78,53=39,設(shè)0"=log3。"，那么數(shù)列｛瓦｝

的前10項(xiàng)和為（）

69

A.log371B.—C.50D.55

解：設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為q,由44—m=78得0（屋-1）=78,又S3=m（l+q+『）=39,

解得ai=q=3,故麗=3",所以況=log33"=〃，

所以數(shù)列｛況｝的前10項(xiàng)和為1+2+3++10=l0x（；+l°）=55.故選:D.

變式

1.若數(shù)列｛““｝是等比數(shù)列，4=1,%=8,則%+4=（)

A.16B.32C.48D.64+1280

2.已知等比數(shù)列｛4｝中,2=1,02=4+24,則%=（)

A.1B.|C.—D.@

2442

3.在等比數(shù)列｛氏｝中，^+?3=10,?4+?6=|,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為（）

4nn33n

A.an=2_B.4=C.an=2_D.an=2-

4.在等比數(shù)列｛%｝中，〃5+〃6=〃（〃WO），〃15+。16=8，則。25+。26的值為（）

bbb2b

AA.一B.（一）2C?—D.—-

aaaa

5.數(shù)列｛%｝中，若為=1,an+1=2an+3（H>1）,則通項(xiàng)%=

題型二：等比中項(xiàng)的應(yīng)用

例.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列,%=2,其中公差d/o,若4是由和a的等比中項(xiàng)，則，=()

A.398B.388

C.189D.199

解：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，4=2,其中公差dwo,同是的和a的等比中項(xiàng),

二(2+44)2=(2+24)(2+7"),化為d(d-l)=O,d#0.所以d=l,則%=18x2+竺/xl=189.選:C.

變式

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，。2a4+2。3a5+4%=25,則%+%等于()

A.5B.10C.15D.20

2.已知等差數(shù)列｛%｝的公差dwO,且%,%,為成等比數(shù)列，則：：：［?=()

A.B.-C.-D.-

16131316

3.公差不為零的等差數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和為S”.若%是。3與％的等比中項(xiàng)，工=32,則4=

A.18B.24C.60D.90

題型三：等比數(shù)列的證明

例.已知數(shù)列｛斯｝的前九項(xiàng)和為S”,且S”=〃-5aL85,nGN*.

(1)證明：｛以一1｝是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列｛麗｝的通項(xiàng)公式.

解：(1)證明'：Sn=n-5a,-85,.?.S〃+i=(〃+l)—5外+1—85,

兩式相減得：an+i=l+5ow—5a”+i,整理得：an+i=^an-\-7,

66

an+\-1=7(a”-1),又=1-5al—85,即ai=-14,.".tzi-1=-14—1=—15,

6

???數(shù)歹!J｛以一1｝是以一15為首項(xiàng)，，為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)可知a”一1=—,"=1—15x1|」.

變式

1.已知S“是數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，且S“=2a“+〃-4.

(I)求生的值，若2=%T,試證明數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列；(II)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

題型四：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

aa

例.等比數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+47=6,貝(Jlog3ax+log3a2++log3aXQ=()

A.10B.5C.4D.2+log35

解：因?yàn)閍5a6+%%=6,a5?6=?4?7,所以4%=3,所以

5

logs6+1083%++log3a10=log3（a1-a2--?1（,）=log3（a4a7）=5Iog3（a4?7）=5log33=5：B

變式

1.在等比數(shù)列｛%｝中，若%?%+牝"6=20,則此數(shù)列的前10項(xiàng)之積等于（）

A50B.20'°C.105D.1O10

2.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中,若%,4=9,則logsq+log3a2++log3?io=_0

3.在等比數(shù)列｛%｝中,S“為其前n項(xiàng)和，若S30=13SIO，S]O+S3O=140,則S?。的值為

4.若｛凡｝是等比數(shù)列，且必=3"+r，則r=

5.設(shè)等比數(shù)列｛6｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S“,若S〃M，S〃,S〃+2成等差數(shù)列，則4的值為—

題型五：等比數(shù)列的函數(shù)特征（單調(diào)性和最值）

例.已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)不為零的等比數(shù)列，且公比大于0,那么“4>1”是“數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)

列”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的通項(xiàng)公式為%=。4一，

當(dāng)4<0,時，數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，即充分性不成立；

當(dāng)“數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列”時，可能是4<0,。<"1,即必要性不成立；

即“4>廣是“數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D.

變式

27

1.已知｛%｝為等比數(shù)列，的3%=27,5a4a6=『以（表示的前〃項(xiàng)積，則使得看達(dá)到最

O

大值的〃是（）

A.4B.5C.6D.7

2.已知公比4*1的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.右。5>°，貝U“2016<°B.若丹〉0,貝口刈6>0

C.若4＜。，則。2016＜0D.若g＜。，則邑86＞。

五'等比數(shù)列"項(xiàng)和

題型一：等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算

例.已知等比數(shù)列｛見｝的前6項(xiàng)和為詈，公比為則,=()

7333

A.—B.-C.jD.24

848

解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)和為詈，公比為

則有"=半5=竽，解可得%=24,則6=府卷故選：B.

1-q44

變式

1.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S,,若邑=3,?3+?4=12,則公比q等于().

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)等比數(shù)列｛a,J的公比q=2,前n項(xiàng)和為S“，則&=()

%

1517

A.2B.4C.—D.—

22

3.設(shè)等比數(shù)列｛凡｝前〃項(xiàng)和為S.，若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比4

4.^(?)=2+24+27+210+-+23n+10(neN*),貝爐(〃)等于()

2222

A—(8"—1)B.-(8,,+1-l)C.-(8n+3-l)D.-(8"+4-l)

7777

題型二：等比數(shù)列的判斷和性質(zhì)的應(yīng)用

例.設(shè)等比數(shù)列｛%｝前九項(xiàng)和為S",若§3=8,56=24,則aio+an+ai2=()

A.32B.64C.72D.216

【詳解】

由于S3、S6—S3、S9—S6,S12—S9成等比數(shù)列，S3=8,S6—S3=16,故其比為2,

所以Sg—5e=32,aio+au+oi2=Si2—Sg=64.故選：B.

變式

1.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，S.為其前九項(xiàng)和，若％+%+%=4,/+%+&=8,則幾=()

A.40B.60C.32D.50

2.設(shè)S“是等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若宗=3,則()

73、

A.2B.—C.伍D,1或2

3.已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，且=10,S2m=30,則S3?,=—

4在等比數(shù)列｛”,｝中,%+4=124,%%=-512,公比q是整數(shù),則可。=—;

5.在等比數(shù)列｛a“｝中，若%,%（；是方程3/-2%-6=0的兩根，則%?%=.

題型三：等比數(shù)列奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)

例.已知等比數(shù)列｛《,｝共有32項(xiàng)，其公比4=3,且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60,則數(shù)列｛■

的所有項(xiàng)之和是（）

A.30B.60C.90D.120

【詳解】設(shè)等比數(shù)列他」的奇數(shù)項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和為邑，

貝|S[=%+%+/++%%++%,=q（q+q+a5++4i）=3S1

又風(fēng)+60=5,則1+60=35-解得SI=30,邑=90,故｛4｝的所有項(xiàng)之和是30+90=120.故選:D

變式

1.已知等比數(shù)列｛%｝中，4=1,4+/++%+1=85,g+%+，+。21t=42,貝心=（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知一個等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為170,則這

個數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)分別為（）

A.8,2B.2,4C.4,10D.2,8

數(shù)列知識點(diǎn)復(fù)習(xí)講義一教師版

數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝)的

特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

1.數(shù)列是按一定蛆序排列的一列數(shù)，記作為,“2，。3……，簡記｛%｝.

2.數(shù)列｛a,,｝的第〃項(xiàng)明與項(xiàng)數(shù)〃的關(guān)系若用一個公式%=/(〃)給出，則這個公式叫做這個數(shù)

列的通項(xiàng)公式。

3.數(shù)列的項(xiàng)為當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。

4、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)凡與它的前一項(xiàng)4T(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系的公式.

5、求數(shù)列中最大最小項(xiàng)的方法：最大(凡'"向最小(%*”向考慮數(shù)列的單調(diào)性

二'等差數(shù)列

1、定義：(1)文字表示：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常

數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.

(2)符號表示：a”一?！癬1=d(〃22)或a〃+i—a”=d(〃21)

2、通項(xiàng)公式：若等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)是小公差是d,則=6+(“-1)2.

通項(xiàng)公式的變形：①4=%"+("-772"；②d=4~~—.

n-m

通項(xiàng)公式特點(diǎn)：an=dn+(4—d)

an=kn+m,(左，機(jī)為常數(shù))是數(shù)列｛凡｝成等差數(shù)列的充要條件。

3、等差中項(xiàng)

若三個數(shù)a,A,6組成等差數(shù)列，則A稱為。與人的等差中項(xiàng).若6=比，則稱匕為。與c

2

的等差中項(xiàng).即a、b、c成等差數(shù)列<=>6=匕

2

4、等差數(shù)列｛%｝的基本性質(zhì)(其中加,附,0,〃eN*)

(1)若加+n=p+q,貝■]am+an=ap+aqO

(2)an-am=(n-in)d

(3)2an=a,^m+an+m

5、等差數(shù)列的前九項(xiàng)和的公式

公式：①s"="（"「）；②

公式特征：S“=a1+（4）“，時是一個關(guān)于n且沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式

22

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：

①若項(xiàng)數(shù)為2”（〃eN*）,貝US2”="（%+a“+i）,且S偶-5奇="4,—=-^-.

'S偶?！?1

②若項(xiàng)數(shù)為2〃—1（〃eN*）,貝1JS2“T=（2”—I）4,且S奇—S偶=4,^=—

S偶〃-1

（其中s奇=〃4,s偶=5-1）%）.

③S.，52?-S?,53.一52”成等差數(shù)歹!1?

6、判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：

①定義法：a向-*=d（常數(shù)）"eN*）n｛%｝是等差數(shù)列

②中項(xiàng)法：2an+l=an+an+2（"eN*）n｛%｝是等差數(shù)列

③通項(xiàng)公式法：an=kn+b（A/為常數(shù)）n｛%｝是等差數(shù)列

2

④前〃項(xiàng)和公式法：Sn=An+Bn（A,3為常數(shù)）n｛an｝是等差數(shù)列

三'等比數(shù)列

1、定義：（1）文字表示：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常

數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.

（2）符號表示：幺旦=展常數(shù)）

a“

2、通項(xiàng)公式

（1）、若等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)是％,公比是“，則a〃=%q"T.

（2）、通項(xiàng)公式的變形：①a〃=a「；②廣”=組.

am

3、等比中項(xiàng)：在。與6中插入一個數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，則G稱為。與6的等比中

項(xiàng).若G2=ab,則稱G為a與Z?的等比中項(xiàng).注意：。與Zj的等比中項(xiàng)可能是土G。

4、等比數(shù)列性質(zhì)

若｛?！埃堑缺葦?shù)列，JLm+n=p+q（m、n、p、qeN*）,則?%=%,?%;

若｛?！埃堑缺葦?shù)列，且2"=夕+q（九、p、qeN*）,則可；=4?%.

5、等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和的公式:

nax(q=1)

(1)公式：Sn=<q(IT)

%—4M(E)

、i-qi—q

（）公式特點(diǎn)：1i(1_q")=k(l-q")=A-Aq"

2?sn

（3）等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和的性質(zhì)：①若項(xiàng)數(shù)為2M“eN*）,則也=心

②Si=S"+q".Sm.③%S2n-Sn,%-邑“成等比數(shù)列（S,尸0）.

6、等比數(shù)列判定方法：

①定義法：-=q（常數(shù)）=｛%｝為等比數(shù)列；

冊

2

②中項(xiàng)法：an+l-an-an+2（%w0）=>｛%｝為等比數(shù)列；

n

③通項(xiàng)公式法：an=k-q（左國為常數(shù)）n｛a“｝為等比數(shù)列；

④前〃項(xiàng)和法：S"=左（1-/）（左國為常數(shù)）0｛4｝為等比數(shù)歹％