2023-2024學年陜西省高二年級上冊冊期末數(shù)學（文）試題（含答案）

2023-2024學年陜西省高二上冊期末數(shù)學（文）試題

一、單選題

TT1

I.命題“若α=則CoSa=I”的逆命題是（)

?Jirr1

A.若COSa=—,則a=—B.若a=^,則CoSaW].

23

1rrJr1

C.若coscc≠—,則a≠—D.若a≠一,則COSa≠一

23

【正確答案】A

【分析】根據(jù)命題“若。，則4”的逆命題為“若4,則P”即可得結(jié)果.

【詳解】由于命題'若P,則洋’的逆命題為“若4,則P”,

TT11rr

故命題“若a=；,則CoSa=彳”的逆命題是“若CoSa=彳，則a=：”

3223

故選A.

本題主要考查了逆命題的概念，屬于基礎題.

2.下列是全稱命題且是真命題的是（）

A.?x∈R,x2>0B.Vx∈Q,x2∈Q

C.3Xo∈Z,x?>1D.Vx,y∈R,χ2+y2>O

【正確答案】B

【詳解】主要考查全稱量詞和全稱命題的概念.

解：A、B、D中命題均為全稱命題，但A、D中命題是假命題.故選B.

3.等軸雙曲線的一個焦點是￡（d,0）,則它的標準方程是（）

E-E=IDχ2

A.D,-----

181818

D.Z

C.

8888

【正確答案】B

先設方程，-J=1（。>0）,再利用焦點求參數(shù)m即得結(jié)果.

【詳解】由題意知，焦點在X軸上，設等軸雙曲線方程為捻-5=^〃〉。），.?.∕+a2=62,

???/=18,故雙曲線方程為t-E=L

1818

故選：B.

4.已知函數(shù)〃X)的導函數(shù)為r(x),且滿足"x)=2√'⑴+lnx,則/⑴=()

A.1B.—C.-1D.e

2

【正確答案】C

【分析】求得r(x),令X=1,即可求得結(jié)果.

【詳解】因為F(X)=24'(l)+lnx,所以r(x)=2f'⑴+：,

所以r⑴=2(⑴+ι,解得r(ι)=τ.

故選?C

5.“5=-1”是“直線ZnX+(2"Ll)y+l=0和直線3x+歿+3=0垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【正確答案】A

【分析】因為直線皿+(2m-l)y+l=0和直線3x+sy+9=0垂直，所以〃?=0或機=-1,再

根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.

【詳解】因為"直線mr+(2m-l)y+l=0和直線3x+∕ny+3=O垂直，

所以，*x3+(2,a-l)x，〃=0,.?.2m2+2∕n=0,；.，"=0或Zn=-L

當Zn=-I時，直線∕nr+(2m-l)y+l=()和直線3x+w+9=0垂直;

當直線加v+(2m-l)y+l=0和直線3x+∕ny+9=0垂直時，機=-1不一定成立.

所以Zn=T是直線e+(2〃?-l)y+l=()和直線3x+叫+9=0垂直的充分不必要條件，

故選：A.

6.已知焦點在X軸上的橢圓：W+y2=l,過焦點作垂直于X軸的直線交橢圓于A,B兩點,

a

且IABI=1,則該橢圓的離心率為()

A.無B,IC.巫D.立

2243

【正確答案】A

【分析】求出橢圓的焦點坐標，利用IABl=1,求出。、b、c,然后求解離心率即可.

【詳解】解：焦點在X軸的橢圓方程：^J-+√=1,焦點坐標(±冊=1,0),不妨取二L

2..

―rZf=ιCl~1

可得--?----1^1二1，解得a=2,

a~4

?∣a2—i?/?

橢圓的離心率為:e=--------=——

a2

故選：A.

7.已知拋物線V=8x,過點尸（3,2）引拋物線的一條弦，使它恰在點夕處被平分，則這條弦

所在的直線/的方程為（）

A.2x-y-4=0B.2x÷y-4=0

C.2x-γ+4=0D.2x+y+4=0

【正確答案】A

【分析】設直線與拋物線的交點坐標，代入拋物線方程點差法求解斜率，進一步利用點斜式

方程求出直線方程

【詳解】易知直線/的斜率存在，設直線的斜率為總直線/交拋物線于M,N兩點，

寸=83

設Ma,χ）,N（X2，%），貝人兩式相減得才一￥=8（玉一Λ）,

貨=8々2

y.-y8,、

整理得TI0=一1，因為例N的中點為p（3,2）,則y+%=4,

所以&=1?=g=2,所以直線/的方程為y-2=2（x—3）即y-2=2（x-3）.

故選：A

8.若基函數(shù)"X）=皿"的圖像經(jīng)過點&；，），則它在點A處的切線方程是

A.2x-y=0B.2x+y=0

C.4x-4y÷l=0D.4x+4y+l=0

【正確答案】C

【詳解】試題分析：???∕（x）=Sa經(jīng)過點的幕函數(shù)，所以m=l,α=g,所以

f（χ）MJ'（x）=A>

則它在點A的切線方程為4x-4y+=0,故選C

本題考查基函數(shù)以及用導數(shù)研究函數(shù)的切線

點評：解決本題的關(guān)鍵是掌握暴函數(shù)的定義，以及導數(shù)的幾何意義

9.已知“4上M+lnx對于Xe：,2恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

2

XL.

A.(-∞,1)B.(—∞,θ]C.(-∞,1]D.(-oo,2)

【正確答案】B

【分析】α≤Ld+hu?對于x∈-,2恒成立轉(zhuǎn)化為α≤∕GL,求出了QLI即可得出答案?

X_乙

1—γ—11V—1

【詳解】令/(x)=T+lnx,/'(x)=]+：=學，

令/'(x)=0,解得：x=l,

當Xe時，r(x)<O,當xe(l,2]時，制冷>0,

所以f(x)在上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，

所以F(XL=片1)=。，

1_?-1

因為α≤-+Inx對于Xe-12恒成立，所以α≤“4面，即n≤0.

X一乙

故選：B.

10.已知曲線/(*)=*3+加+以+1在點(IJ(I))處的切線斜率為3,且X=：是y=∕(x)的極

值點，則函數(shù)的另一個極值點為()

A.—2B.1C.——D.2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意可知/⑴=3J'O=

0,可解出。力，再求出另外一個極值點即可.

√γi)=3+2^+?=3

??ra=2

【詳解】f'(x)=3x2+2ax+b,由題意有,/2、1,12丫c2,八，解得％.,

Hd=3xU+2v+z,=°J

?

所以八X)=3∕+4X-4=(3X-2)(X+2),令/'(X)=。，解得x=-2或X=：,所以函數(shù)的另

一個極值點為-2.

故選：A.

22

?1.已知雙曲線m"=1(α>1,6>0)的焦距為2c,若點(TO)與點(1,0)到直線：

4

距離之和為S,且S≥yc,則離心率e的取值范圍是

[a網(wǎng)CPF'"]D?序有

A.[√2,√7]B.

【正確答案】D

直線/的方程是土-；=1.點(I,0)到直線/的距離4,點(-1,0)到直線/的距離42,

ab

4

S=4+4以及由5≥-c,求出e的取值范圍.

【詳解】直線/的方程為是土-；=1,即bx-αy-H=0.

ab

由點到直線的距離公式，且α>l,得到點ɑ,0)到直線/的距離4」)"”,

y∣a2+b2

2ba_Iab

同理得到點(-1,0)到直線/的距離.

yJa2+?2C

42ah4_____

由S≥Mc,即――NWC得SyJ1c2-a2?α≥2∕.

于是得4/一25/+25WO.

解不等式，得7≤^2≤5?

4

由于e>l,

所以e的取值范圍是eey--√5

故選。.

本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì),點到直線距離公式，以及綜合運算能力,是中檔題

12.已知函數(shù)/(x)滿足/(x)=f(τ),且當x∈(γ>,0］時，f(x)+v'(X)VO成立,若

06α6

α=(2)√(2),/,=(ln2)√(ln2)1Iog2?I.則”，從C的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【正確答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=x?∕(x),利用奇函數(shù)的定義得函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，再利用導數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合1%：<0<1112<1<尹，再利用單調(diào)性比較大小得結(jié)論.

O

【詳解】因為函數(shù)“X)滿足/(X)于■(一),且在R上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)“X)是偶函數(shù),

令g(x)=x√?(x),則g(x)是奇函數(shù)，且在R上是連續(xù)函數(shù)，則g'(x)=∕(x)+x?∕'(x),

因為當Xe(Y),0］時，/(x)+^'(x)<O成立，即g")<0,所以g(x)在Xe(YO,0］上單調(diào)遞

減,

又因為g(x)在R上是連續(xù)函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調(diào)遞減，

則α=g(2°6),b=g(Jn2),c=^θog2∣J,

因為Zoe>[,0<ln2<l,log,?=-3<0,

O

所以Iθg2"<θ<ln2<l<2α6,所以C?>%>4,

故選：B.

關(guān)鍵點點睛：本題考查的是比較大小問題，涉及到的知識點包括函數(shù)的奇偶性以及利用導數(shù)

研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(χ),屬于中檔題.

二、填空題

13.若/'⑵=3,則1加〃2+2詞-〃2)=

ΔA→0ΔX

【正確答案】6.

根據(jù)導數(shù)的極限定義即可求解

[≡],im∕(2÷2^)-∕(2)^lim∕(2+2Ay)-∕(2)^z

-Ar?VTO2?x

故6

本題主要考查了導數(shù)的定義，屬于容易題.

14.關(guān)于X的不等式依2+依+1>()在口上恒成立，則。的取值范圍是.

【正確答案】0≤α<4

【分析】分a=0、aHθ兩種情況討論，在α=0時，直接驗證即可；在aHθ時，根據(jù)題意

可得出關(guān)于實數(shù)。的不等式組，綜合可得出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當a=0時，則有1>0,合乎題意；

[α>0—

當αwθ時，貝叫A2λn>解得0<a<4.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是0≤α<4.

故答案為?()≤α<4

15.已知點尸是拋物線y=亍上的動點，點P在X軸上的射影是點。，點4的坐標是(4,3),

則IPAl+∣PQl的最小值為

【正確答案】2石-1##-1+2若

【分析】需考慮P到準線與P到A點距離之和最小即可，由于在拋物線中P到準線的距離

等于P到焦點F的距離，此時問題進一步轉(zhuǎn)化為∣P∕η+∣B4∣距離之和最小即可，顯然當尸、A、

F三點共線時∣PQ+∣∕?∣距離之和最小，由兩點間距離公式可得答案.

【詳解】由題意可得：拋物線y=工的焦點尸(0,1),準線y=-l,

4

過點P作準線的垂線，垂足為。，則有

IF+∣P0∣=∣PA∣+∣POIT=IPAl+lPFlT≥IA尸I-I=J42+(3-1)2=2石-1,

.?.∣PA∣+IPQl的最小值為2逐-1.

故答案為.2萬-1

三、雙空題

16.已知函數(shù)/(x)=e'+αlnx-x"—x(4>0),(e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…)，

當α=2時，函數(shù)/(x)在點尸(IJ⑴)處的切線方程為；若"x"0對

Vxe(l,+∞))成立，則實數(shù)“的最大值為.

【正確答案】y=(e-l)x-le

【分析】求出導函數(shù)/'(X)，計算/'⑴得切線斜率，由點斜式得切線方程并化簡，不等式

/(x)≥0進行同構(gòu)變形為lnx"-x"Nlne'-e*,引入函數(shù)，Mr)=InfT,「>1,由導數(shù)得其單

調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為∕≤e3取對數(shù)參數(shù)分離〃≤-,再引入函數(shù)夕(力=丁匚">1),由

InxInx

導數(shù)得其最小值，從而得參數(shù)范圍、最值.

2,v

【詳解】由題意當4=2時，/(x)=e?'+21nx-x-x,∕(x)=e+^-2x-l,

則/⑴=e—2,Γ(l)=e-1,

所以函數(shù)/(x)在點P(IJ⑴)處的切線方程為y-(e-2)=(e-l)(x-l),即

y=(e-l)x-l.

因為Xe(I,+x),f(χ)≥O,即e*+αlnx-x"-x≥O,則Inyl-X"≥Ine，一e',

令加⑺=InfT,r>l,加⑺=；-1=一■<()在(l,+∞)上恒成立，

故加⑺在(l,+∞)上單調(diào)遞減，故x"≤e*,得HnX≤x,即三，

記e(χ)=自(χ>ι),則°,(X)=書T?(χ>ι),

當XW(I,e)時,^,(x)<0,e(x)單調(diào)遞減，當xe(e,+w)時，^,(x)>O,R(X)單調(diào)遞增,

故夕(x)的最小值是θ(e)=e,故aWe,即實數(shù)”的最大值是e.

故y=(e-l)x-1；e.

四、解答題

17.(I)已知某橢圓過點(2√Σ,2),(-2,n),求該橢圓的標準方程；

(2)求與雙曲線?-工=1有共同的漸近線，經(jīng)過點M(_#,2)的雙曲線的標準方程.

86

2222

【正確答案】(1)—+?=1；(2)—-?=1.

16834

【分析】(1)設橢圓方程為妙2+"y2=],代入(2&,2),(-2,#),求出血"的值即可;

⑵設所求的雙曲線方程為￡-工=〃2*0),代入M(-6,2),求出4的值即可.

86

【詳解】解：(1)設橢圓方程為加？+〃y2f,

⑻%+4〃=111

則有L久1，解得加=77，〃=%，

[4AΠ+6H=1168

r2V2

???橢圓方程為匕+j=l;

168

22

(2)Y所求雙曲線與雙曲線匕-土=1有共同的漸近線，

86

???設雙曲線的方程為工=”∕l≠0),

86

L46

曲線經(jīng)過點M(一6,2),工—--=λ，

86

解得2=-3，

->2

所求雙曲線的方程為三-匕=L

34

18.已知命題〃：函數(shù)y=l。g2[4χ2+4(m-2)x+l]的定義域為R,命題心對任意實數(shù)

X,y=(2m-b)?t是增函數(shù);

(1)若P是4的充分不必要條件，求6的取值范圍；

(2)當6=3時，若“Pvq”為真命題，“pAq”為假命題，求機的取值范圍.

【正確答案】(1W≤1

(2){加I加≥3或1</n≤2}.

【分析】(1)分別求出。,夕關(guān)于m的式子，再根據(jù)。是<?的充分不必要條件，求h的取值范

圍即可;

(2)先根據(jù)“Pvg”為真命題，“pA4，，為假命題，判斷P,q一真一假，再根據(jù)真假求，”的

取值范圍.

【詳解】(1)命題P：函數(shù)y=log2[4∕+4(加-2)x+l]的定義域為R,

即“+4(/〃-2卜+1>0在口上恒成立，

即16(m-2>-16<0,得

對于命題4：y=(2%-6),是增函數(shù)，

所以2,"-6>l,m>"?,

2

因為。是4的充分不必要條件，

所以等41,所以641；

(2)因為命題PV〃為真命題，。八9為假命題，；.PM一真一假,

命題P為真：l<m<3,

命題4為真.?=3,.?.m>2

Jm>2m≤2

即j加≤1或機≥3"j1<，”<3

解得m≥3或l<mV2,

故”?的取值范圍為{"∣wN3或l<m≤2}

19.已知函數(shù)/(x)=χ3-34x-l在A-I處取得極值.

(1)求實數(shù)〃的值；

(2)當x∈[-2J時,求函數(shù)f(χ)的最小值.

【正確答案】(1)1；(2)-3.

【分析】(1)求導，根據(jù)極值的定義可以求出實數(shù)。的值；

(2)求導，求出xe[-2,l]時的極值，比較極值和，(-2)、/⑴之間的大小的關(guān)系，最后求出

函數(shù)的最小值.

【詳解】(1)/W=X3-30r-1=>f?x)=3x2-3a,函數(shù)/(x)=Y-3Or-I在X=-I處取得

極值，所以有/(T)=0n3(-l)2-3a=0n4=l;

(2)由(1)可知：/(x)=x3-3x-l=>f(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

當xw(-2,T)時,f(x)>O,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，當XW(T,1)時,/(x)<0,函數(shù)/O)單調(diào)

遞減，故函數(shù)在尸-1處取得極大值，因此"-1)=(-1)3-3X(-1)-1=1,

/(-2)=(-2)3-3X(-2)-1=-3,/(1)=13-3×1-1=-3,故函數(shù)Jr(X)的最小值為一3.

本題考查了求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，考查了極值的定義，考查了數(shù)學運算能力.

?2

20.若橢圓E:「+多=l(a>6>0)過拋物線爐=4)，的焦點，且與雙曲線/-丁=1有相同

ab

的焦點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)不過原點。的直線/：y=x+機與橢圓E交于A,B兩點，當ɑθAB的面積為且時，求直

2

線/的方程.

【正確答案】⑴5→V=I

(2)y=x+?∕2,y=X-?∣2.

【分析】(I)根據(jù)所給的條件，即可求出橢圓方程；

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，用面積公式和弦長公式即可求出九

【詳解】(1)拋物線V=4y的焦點為(0,1),雙曲線/-丁=1的焦點為(-6θ)或(夜,0),

b=?

依題意可得又°2=/一/，所以/=3,

c-Λ∕2

所以橢圓方程為%

(2)根據(jù)題意,設點A(%,yJ,B(x2,y2),

X=3,消去y得,

聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，

y=x+m

2

4nvc+6nvc+3nΓ-3=O>艮l?得％+W=一半，x↑x2

由弦長公式可得IAM=0審考R?,

=爭叫

由點到直線距離公式可得，點O到直線AB的距離即為，d=

所以SA0A"=g?d?∣AM=gx^x∣"小孝XJ12-3∕√=；XJ-3?2_2『+i2=#,

當且僅當病=2,即機=±夜時，Q48面積取得最大值為半，

此時直線/的方程為y=x±√L

21.已知函數(shù)/(X)=Inx-?其中αeR,

(1)當α=2時，求函數(shù)/(x)的圖象在點(IJ⑴)處的切線方程；

(2)如果對于任意Xe(LE),都有〃x)>-x+2,求。的取值范圍.

【正確答案】(1)3x-y—5=0；(2)a≤-l.

【分析】(1)當α=2時，求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)/(x)的圖象在點

(IJ(I))處的切線方程；

(2)對于任意X∈(1,M),都有"x)>-x+2,等價于α<χlnx+χ2-2χ恒成立，構(gòu)造函數(shù)

2

g(x)=xlnx+x-2Λ-t利用導數(shù)求出其最小值即可

【詳解】⑴解：當α=2時，由已知得"x)=lnx-｝故f(x)=：+/,

所以/'(1)=1+2=3,又因為*l)=Inl-j=-2,所以函數(shù)"x)的圖象在點(IJ⑴)處的切

線方程為y+2=3(x-l),Bp3x-y-5=0;

(2)解：由x+2,得InX—>—X+2,又x∈(l,+∞),

X

故α<xlnx+x2-ZX-

設函數(shù)g(x)=xlnx+χ2-2x,

貝IJg[x)=lnx+x，+2x-2=lnx+2x-l.

因為XW(I,+∞),所以InX>0,2x-l>0,

所以當x∈(l,+∞)時,g'(x)=lnx+2x-l>0,

故函數(shù)g(χ)在(1,+?)