浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練 專題2.9 公式法解一元二次方程及根的判別式（知識(shí)講解）（附參考答案）

專題2.9公式法解一元二次方程及根的判別式（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2.通過(guò)求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想．【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程根的求根公式一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個(gè)根為x=，這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過(guò)程。公式法解一元二次方程的具體步驟：方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值確定公式中a,b,c的值，注意符號(hào)；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程根的判別式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根一元二△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根根的判別式△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無(wú)實(shí)數(shù)根【典型例題】類型一、解一元二次方程??公式法??運(yùn)算1．用公式法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】按照公式法的一般步驟：先把式子化為一般式，找到a，b，c，先算，再帶入求根公式求解即可．解：（1）∵，∴，∴，即；方程化為一般形式，得，這里，∴，，∴原方程的解為．【點(diǎn)撥】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟記一元二次方程的求根公式，是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】公式法解方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．解：（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2】用公式法解下列方程：（1）；

（2）．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）先找出abc，再求出b2-4ac的值，最后代入公式求出即可．（2）先移項(xiàng)，找出abc，再求出b2-4ac的值，最后代入公式求出即可．解：（1）∵

∴

∴

∴，即，令A(yù)＝ab，B＝，C＝ab．∵

∴

，∴

，，∴

，．【點(diǎn)撥】此題考查了解一元二次方程-公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．類型二、解一元二次方程??公式法??配方法2．解方程：（用兩種方法解）【答案】，【分析】方法一：配方法；方法二：直接用求根公式求解即可．解：方法一：解得，∴方程的解為，；方法二：，解得，∴方程的解為，；【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握解一元二次方程的方法．舉一反三：【變式1】解下列方程：x2+2x﹣4＝0（配方法）；(2)3x2﹣6x﹣2＝0（公式法）．【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）先把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的另一邊，配方后利用直接開(kāi)平方法求解；（2）先確定二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，代入求根公式即可．(1)解：移項(xiàng)，得x2+2x＝4，配方，得x2+2x+1＝5，∴（x+1）2=5，∴，∴，．(2)解：∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，熟記求根公式及配方法的技巧，掌握配方法及公式法解一元二次方程的步驟是解題關(guān)鍵．【變式2】解方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用配方法，首先將常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)，再配方，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方求出即可；（2）利用公式法直接代入求出即可．解：（1）（2）∴∴【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法、配方法的解題步驟是解題的關(guān)鍵．類型三、解一元二次方程??公式法??根的判別式??判定一元二次方程根的情況3．用判別式判別下列方程根的情況（不要求解方程）：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可；（2）利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可；（3）先將原方程整理為一元二次方程的一般式，然后利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可．（1）解：，∵，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2），∵，∴，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3），整理為：，∵，∴，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知關(guān)于的一元二次方程：若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；是解本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】利用一元二次方程的根的判別式判別下列方程根的情況：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；(2)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；(3)有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可求解；（3）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷即可求解．解：（1）∵，∴∴原方程有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，（2）∵，∴∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，（3）∵，∴∴原方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【變式2】已知關(guān)于x的方程．請(qǐng)你判斷方程的解的情況；(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)，另兩邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)5【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可判斷出方程的解的情況；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求出b、c的長(zhǎng)，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)，綜合后求出的周長(zhǎng)．解：（1）由題意知：，∵，即，∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，，則，方程化為，解得，∴的周長(zhǎng)；當(dāng)或時(shí)，把代入方程得，解得，方程化為，解得，，不符合三角形三邊的關(guān)系，此情況舍去；綜上所述，的周長(zhǎng)為5．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系．注意：在判別式中，①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．類型四、解一元二次方程??公式法??根的判別式??證明4．已知關(guān)于x的一元二次方程．求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；若此方程的兩根的差為2，求k的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)1或【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，由偶次方的非負(fù)性可得出，進(jìn)而可證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)求根公式表示方程的兩個(gè)根，再根據(jù)兩根之差為2的關(guān)系，分類討論列方程解之即可．（1）證明：∵，∴此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：由（1）知，，∴，∴，，∵若此方程的兩根的差為2，∴或，解得：或；∴k的值為1或．【點(diǎn)撥】本題考查根的判別式以及求根公式，解題的關(guān)鍵是：（1）熟知“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）牢記求根公式：．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0．求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果方程的兩實(shí)根為x1，x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）只要證明恒成立即可；（2）由題意得，，進(jìn)行變形后代入即可求解．（1）證明：∵恒成立，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：，，∴，解得，，即．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．【變式2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；若等腰三角形的其中一邊為4，另兩邊是這個(gè)方程的兩根，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)m的值為4或3【分析】（1）根據(jù)根的判別式的意義得Δ的值，于是得到結(jié)論；（2）分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，當(dāng)?shù)诪?時(shí)，解方程即可得到結(jié)論．（1）證明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)腰為4時(shí)，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；當(dāng)?shù)诪?時(shí)，則程x2﹣（m+3）x+3m＝0有兩相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，綜上所述，m的值為4或3．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；也考查了解一元二次方程．類型五、解一元二次方程??公式法??根的判別式??求參數(shù)的取值范圍5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．求m的取值范圍；若該一元二次方程的一個(gè)根為x＝1，求m的值．【答案】(1)全體實(shí)數(shù)；(2)m＝﹣1【分析】（1）由Δ＞0得到關(guān)于m的不等式，解之得到m的范圍；（2）將x=1代入原方程即可求出m值．解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5＞0，∴m的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．（2）將x＝1代入原方程，1﹣（2m+1）+（m﹣1）＝0，解得：m＝﹣1．【點(diǎn)撥】本題考查了根的判別式、一元二次方程的解，熟練掌握“當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，根的判別式Δ=b2-4ac≥0”是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知關(guān)于的一元二次方程．若，解這個(gè)方程；若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）把代入，得到，再解這個(gè)方程即可；（2）根據(jù)該方程有實(shí)數(shù)根，由根的判別式可求的取值范圍．（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程，∴當(dāng)時(shí)，方程為，∴，∴，．∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：．∴的取值范圍為．【點(diǎn)撥】本題考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程的根的判別式．一元二次方程根的判別式用表示，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【變式2】關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．求k的取值范圍；當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求方程的兩個(gè)根．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則Δ=>0