北師大版年八年級數(shù)學下冊《同步考點解讀專題訓練》專題3.2圖形的旋轉(zhuǎn)(知識解讀)(原卷版+解析)

專題3.2圖形的旋轉(zhuǎn)（知識解讀）【學習目標】1.掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。2.能夠按要求作出簡單平面滿圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，并能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行規(guī)律的探究，利用旋轉(zhuǎn)進行簡單的圖案設(shè)計?！局R點梳理】知識點1：旋轉(zhuǎn)的概念把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角（如下圖中的∠BOF），如果圖形上的點B經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cF，那么這兩個點叫做對應(yīng)點.注意:（1）圖形的旋轉(zhuǎn)就是一個圖形圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵。（2）旋轉(zhuǎn)中心是點而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向。（3）旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點。知識點2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。注意：（1）旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度是確定旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.（2）性質(zhì)是通過學生操作驗證得出的結(jié)論，性質(zhì)（1）和（2）是旋轉(zhuǎn)作圖的關(guān)鍵，整個性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)這部分內(nèi)容的核心，是解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的基礎(chǔ).（3）要正確理解旋轉(zhuǎn)中的變與不變，尋找等量關(guān)系，解決問題。知識點3：旋轉(zhuǎn)作圖（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形。（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的圖形全等.【典例分析】【考點1旋轉(zhuǎn)對稱圖形】【典例1】（2022春?路南區(qū)期末）下列運動屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．滾動過程中的籃球 B．一個圖形沿某直線對折過程 C．氣球升空的運動 D．鐘表鐘擺的擺動【變式1-1】（2022?館陶縣二模）如圖是一個鐘表，將其旋轉(zhuǎn)180度，根據(jù)時針和分針的位置，鐘表中的時間可以是（）A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30【變式1-2】（2022?玉林模擬）觀察下列圖案，其中旋轉(zhuǎn)角最大的是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2021春?定陶區(qū)期末）將圖繞中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后可得到的圖形是（）A． B． C． D．【考點2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】【典例2】（2022秋?黔南州期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AED，點B的對應(yīng)點是點E，連接CD，若AE⊥CD，則旋轉(zhuǎn)角是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【變式2-1】（2023?龍湖區(qū)校級開學）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°得△AB′C′，若點B′在線段BC的延長線上，則∠BB′C′的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．100°【變式2-2】（2022秋?江門校級期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝76°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，則∠BAB'等于（）A．28° B．30° C．36° D．38°【典例3】（2022秋?陽泉期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6．將△ABC繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，此時，點A'恰好在AB上，則點B與點B'的距離是（）A．6 B．3 C．2π D．3π【變式3-1】（2022秋?東方期末）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝6，則BE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-2】（2022秋?鳳臺縣期末）如圖，一個含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，若BC的長為15cm，那么AA′的長為（）A．10cm B．15cm C．30cm D．30cm【變式3-3】（2022秋?溫嶺市期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得△A'BC'，若點C'在AB上，則AA'的長為（）A． B．4 C． D．5【考點3旋轉(zhuǎn)作圖】【典例4】（2021秋?長樂區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△EFG繞某一點旋轉(zhuǎn)某一角度得到△RPQ．則旋轉(zhuǎn)中心可能是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【變式4-1】（2022?萊蕪區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，將△ABC繞著某點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，得到△A'B'C'，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（1，﹣1）【變式4-2】（2021秋?黔西南州期末）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，將其繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C′，則點P的坐標是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）【考點4坐標系中圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律】【典例5】（2021秋?陽東區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果點A的坐標為（1，0），那么點B2020的坐標為（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【變式5-1】（2021?廣陵區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點坐標分別為A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，0）、D（0，1），點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4，點P4繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P5，…，重復(fù)操作依次得到點P1，P2，P3，P4，P5，…，則點P2021的坐標為（）A．（2，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，0）【變式5-2】（2021秋?鄖陽區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去…，若點A（3，0），B（0，4），則點B2021的橫坐標為（）A．12120 B．12128 C．12123 D．12125【變式5-3】（2021?張家界）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么點A2019的坐標是（）A．（，﹣）B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）專題3.2圖形的旋轉(zhuǎn)（知識解讀）【學習目標】1.掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。2.能夠按要求作出簡單平面滿圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，并能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行規(guī)律的探究，利用旋轉(zhuǎn)進行簡單的圖案設(shè)計?！局R點梳理】知識點1：旋轉(zhuǎn)的概念把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角（如下圖中的∠BOF），如果圖形上的點B經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cF，那么這兩個點叫做對應(yīng)點.注意:（1）圖形的旋轉(zhuǎn)就是一個圖形圍繞一點旋轉(zhuǎn)一定的角度，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這是判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵。（2）旋轉(zhuǎn)中心是點而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向。（3）旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點。知識點2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。注意：（1）旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度是確定旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.（2）性質(zhì)是通過學生操作驗證得出的結(jié)論，性質(zhì)（1）和（2）是旋轉(zhuǎn)作圖的關(guān)鍵，整個性質(zhì)是旋轉(zhuǎn)這部分內(nèi)容的核心，是解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的基礎(chǔ).（3）要正確理解旋轉(zhuǎn)中的變與不變，尋找等量關(guān)系，解決問題。知識點3：旋轉(zhuǎn)作圖（1）旋轉(zhuǎn)圖形的作法：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形。（2）旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的圖形全等.【典例分析】【考點1旋轉(zhuǎn)對稱圖形】【典例1】（2022春?路南區(qū)期末）下列運動屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．滾動過程中的籃球 B．一個圖形沿某直線對折過程 C．氣球升空的運動 D．鐘表鐘擺的擺動【答案】D【解答】解：A、滾動過程中的籃球，屬于平移和旋轉(zhuǎn)，故A不符合題意；B、一個圖形沿某直線對折過程，不屬于旋轉(zhuǎn)，故B不符合題意；C、氣球升空的運動，不屬于旋轉(zhuǎn)，故C不符合題意；D、鐘表鐘擺的擺動，屬于旋轉(zhuǎn)，故D符合題意；故選：D．【變式1-1】（2022?館陶縣二模）如圖是一個鐘表，將其旋轉(zhuǎn)180度，根據(jù)時針和分針的位置，鐘表中的時間可以是（）A．8：30 B．9：30 C．2：30 D．12：30【答案】A【解答】解：將鐘表旋轉(zhuǎn)180°后，如圖所示，鐘表中的時間為8：30，故選：A．【變式1-2】（2022?玉林模擬）觀察下列圖案，其中旋轉(zhuǎn)角最大的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、旋轉(zhuǎn)角是120°；B、旋轉(zhuǎn)角是90°；C、旋轉(zhuǎn)角是72°；D、旋轉(zhuǎn)角是60°．故選：A．【變式1-3】（2021春?定陶區(qū)期末）將圖繞中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后可得到的圖形是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：將圖繞中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到的圖形是．故選：A．【考點2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】【典例2】（2022秋?黔南州期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝25°，△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AED，點B的對應(yīng)點是點E，連接CD，若AE⊥CD，則旋轉(zhuǎn)角是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至△AED，∠BAC＝25°∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝25°，∵AE⊥CD，AD＝AC，∴∠DAE＝∠CAE＝25°，∴∠DAC＝25°+25°＝50°，即旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是50°，故選：D．【變式2-1】（2023?龍湖區(qū)校級開學）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)100°得△AB′C′，若點B′在線段BC的延長線上，則∠BB′C′的度數(shù)為（）A．80° B．70° C．60° D．100°【答案】A【解答】解：∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°，∴∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，∴∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，∴∠BB'C'＝80°，故選：A．【變式2-2】（2022秋?江門校級期末）如圖，在△ABC中，∠CAB＝76°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，則∠BAB'等于（）A．28° B．30° C．36° D．38°【答案】A【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝76°，∴∠C′CA＝∠CAB＝76°，又∵C、C′為對應(yīng)點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，∴AC＝AC′，即△ACC′為等腰三角形，∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝28°．故選：A．【典例3】（2022秋?陽泉期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6．將△ABC繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，此時，點A'恰好在AB上，則點B與點B'的距離是（）A．6 B．3 C．2π D．3π【答案】B【解答】解：如圖，連接BB'，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，∴sinA＝＝，∴BC＝6×＝3，∵將△ABC繞點C沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△A'B'C的位置，∴BC＝CB'，∠BCB'＝60°，∴△BCB'是等邊三角形，∴BB'＝BC＝3，∴點B與點B'的距離是3，故選：B．【變式3-1】（2022秋?東方期末）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若線段AB＝6，則BE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等邊三角形，∴BE＝AB，∵AB＝6，∴BE＝6．故選：D．【變式3-2】（2022秋?鳳臺縣期末）如圖，一個含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，若BC的長為15cm，那么AA′的長為（）A．10cm B．15cm C．30cm D．30cm【答案】C【解答】解：連接AA′．∵△A′B′C是由△ABC按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，∴BC＝B′C，AC＝A′C；又∵△ABC是含有一個30°角的直角三角形，∴從圖中知，∠BAC＝30°，∴AC＝2BC，AB＝BC；而BC＝15cm；∴在Rt△ABA′中，AB＝15cm，A′B＝BC+CA′＝BC+AC＝45cm，∴AA′＝＝30cm．故選：C．【變式3-3】（2022秋?溫嶺市期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得△A'BC'，若點C'在AB上，則AA'的長為（）A． B．4 C． D．5【答案】A【解答】解：如圖，連接AA'，∵將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得△A′BC'，∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝3，AB＝A'B，根據(jù)勾股定理得：AB＝＝5，∴A'B＝AB＝5，∴AC'＝AB﹣BC'＝1，在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：AA'＝＝，故選：A．【考點3旋轉(zhuǎn)作圖】【典例4】（2021秋?長樂區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△EFG繞某一點旋轉(zhuǎn)某一角度得到△RPQ．則旋轉(zhuǎn)中心可能是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】C【解答】解：如圖，∵△EFG繞某一點旋轉(zhuǎn)某一角度得到△RPQ，∴連接ER、FP、GQ，作FP的垂直平分線，作ER的垂直平分線，作GQ的垂直平分線，∴三條線段的垂直平分線正好都過C，即旋轉(zhuǎn)中心是C．故選：C．【變式4-1】（2022?萊蕪區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，將△ABC繞著某點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后，得到△A'B'C'，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（1，﹣1）【答案】A【解答】解：如圖，點P即為所求，P（﹣1，1）．故選：A．【變式4-2】（2021秋?黔西南州期末）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，將其繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C′，則點P的坐標是（）A．（4，5） B．（4，4） C．（3，5） D．（3，4）【答案】B【解答】解：如圖，點P即為所求．P（4，4）．故選：B．【考點4坐標系中圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律】【典例5】（2021秋?陽東區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果點A的坐標為（1，0），那么點B2020的坐標為（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【答案】C【解答】解：∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），連接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋轉(zhuǎn)得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2020÷8＝252…4，∴點B2020的坐標為（﹣1，﹣1）故選：C．【變式5-1】（2021?廣陵區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點坐標分別為A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，0）、D（0，1），點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4，點P4繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P5，…，重復(fù)操作依次得到點P1，P2，P3，P4，P5，…，則點P2021的坐標為（）A．（2，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，0）【答案】A【解答】解：結(jié)合圖象確定前幾個點的坐標為：P1（2，﹣