高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 推理與證明（含解析）試題

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、選擇題

1.（文）將正奇數(shù)1,3,5,7,…排成五列（如下表），按此表的排列規(guī)律，89所在的位置

是（）

第第第第第

一二三四五

列列列列列

1357

1513119

17192123

31292725

A.第一列B.第二列

C.第三列D.第四列

［答案］D

［解析］正奇數(shù)從小到大排，則89位居第45位，而45=4X11+1,故89位于第四列.

（理）（2014?廣州市綜合測(cè)試）將正偶數(shù)2,4,6,8,…按下表的方式進(jìn)行排列，記a,.,表

示第，行第J列的數(shù)，若a“=2014,則，+J的值為（）

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行2468

第2行16141210

第3彳丁18202224

第4行32302826

第5行34363840

……???…??????

A.257B.256

C.254D.253

［答案］C

［解析］依題意，注意到題中的數(shù)表中，奇數(shù)行空置第1歹偶數(shù)行空置第5歹U；且自

左向右，奇數(shù)行的數(shù)字由小到大排列，偶數(shù)行的數(shù)字由大到小排列；2014是數(shù)列｛2〃｝的第

1007項(xiàng)，且1007=4X251+3,因此2014位于題中的數(shù)表的第252行第2列，于是有，+J

=252+2=254,故選C.

［方法點(diǎn)撥］歸納推理

根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對(duì)象都具有這樣性質(zhì)的推

理，叫做歸納推理，歸納是由特殊到一般的推理.

歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分

個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，使其具有統(tǒng)一的表現(xiàn)形式，便于觀察發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，找出它們之間的

聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論.

2.（2015?廣東文，6）若直線4與4是異面直線，上在平面a內(nèi)，心在平面￡內(nèi)，/

是平面。與平面￡的交線，則下列命題正確的是（）

A.1與h,A都不相交B.7與A,4都相交

C.1至多與4，A中的一條相交D./至少與九A中的一條相交

［答案］D

［解析］考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

若直線A和乙是異面直線，1在平面a內(nèi)，A在平面B內(nèi)，/是平面a與平面0的

交線，假如/與1\、A都不相交，則1//lx,I//I2,：.U/h,與7i>A異面矛盾，因此1

至少與人心中的一條相交，故選D.

［方法點(diǎn)撥］演繹推理

根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊性命題為真的推理叫做演繹推理.演繹推理

是由一般性命題到特殊性命題的推理.

（1）演繹推理的特點(diǎn)

當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真.

（2）演繹推理的一般模式一一“三段論”

①大前提一一已知的一般原理；

②小前提一一所研究的特殊情況；

③結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.

3.（文）若數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，貝！I數(shù)歹1｛4｝（4=』二10廿…,4）也為等差數(shù)歹!1.類比

n

這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，則數(shù)列｛4｝也是等比數(shù)列，則&的表達(dá)式應(yīng)為

（）

,C1+CH------\-Cnc,Cl?C2.............Cn

A.2B.d/i=

nn

…+d；

=

C.dnD.d?=yjci?c2....c?

［答案］D

［解析］通過審題觀察，對(duì)比分析得到:

前〃項(xiàng)和S=a\

nSn

己知等差數(shù)列｛&｝b尸一算術(shù)平均。成等差

n

+/+???+&

等比數(shù)前n項(xiàng)積%=幾何

類比項(xiàng)必成等比

dn=y[Tn

列｛以｝…G?平均

故選D.

［方法點(diǎn)撥］類比推理

根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性，推測(cè)其中一類事物具有與另一類事物

類似(或相同)的性質(zhì)的推理叫做類比推理，類比推理是由特殊到特殊的推理.

進(jìn)行類比推理時(shí)，要抓住類比對(duì)象之間相似的性質(zhì)，如等差數(shù)列的和對(duì)應(yīng)的可能是等比

數(shù)列的和，更可能是等比數(shù)列的積，再結(jié)合其他要求進(jìn)一步確定類比項(xiàng).

(理)記等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S,利用倒序求和的方法，可將S表示成首項(xiàng)國、末

項(xiàng)當(dāng)與項(xiàng)數(shù)n的一個(gè)關(guān)系式，即公式$二〃"一&；類似地，記等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積

為北，且4>0(〃WN’)，試類比等差數(shù)列求和的方法，可將。表示成首項(xiàng)山、末項(xiàng)A與項(xiàng)數(shù)

〃的一個(gè)關(guān)系式，即公式方=()

A2土乙R，型」

C.yjbibnD.

［答案］D

［解析］利用等比數(shù)列的性質(zhì)：若勿+〃=夕+5則"?兒=a?九，利用倒序求積方法

Tn—b\bi....bn,

Tn=bnbn-\....從,

兩式相乘得Tn=(b\bM，即Tn=(b\b。\

4.觀察下圖：

1

234

34567

45678910

則第()行的各數(shù)之和等于201E()

A.2010B.2009

C.1006D.1005

［答案］C

［解析］由題設(shè)圖知I,第一行各數(shù)和為1;第二行各數(shù)和為9=3*第三行各數(shù)和為25

=52；第四行各數(shù)和為49=7?；…，.?.第〃行各數(shù)和為(2〃-1)2,令2〃-1=2011,解得〃

=1006.

［點(diǎn)評(píng)］觀察可見，第1行有1個(gè)數(shù)，第2行從2開始有3個(gè)數(shù)，第3行從3開始有5

個(gè)數(shù)，第4行從4開始有7個(gè)數(shù)，…，第"行從〃開始，有2〃一1個(gè)數(shù)，因此第"行各數(shù)的

和為〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3/?-2)=~~~~■—~~~~=(2/7—1)\

5.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是其高的;，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)

論是()

A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的3

B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的J

C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的：

D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的《

5

［答案］C

［解析］原問題的解法為等面積法，即SufExgamr斗，類比問題的解法應(yīng)為

等體積法，/=4S方=4xjs—r=%,即正四面體的內(nèi)切球的半徑是其高的所以應(yīng)選C.

6.(文)用反證法證明命題“設(shè)a、6為實(shí)數(shù)，則方程f+ax+方=0至少有一個(gè)實(shí)根”

時(shí)，要做的假設(shè)是()

A.方程/+@矛+6=0沒有實(shí)根

B.方程x：'+ax+8=0至多有一個(gè)實(shí)根

C.方程f+ax+6=0至多有兩個(gè)實(shí)根

D.方程f+a*+6=0恰好有兩個(gè)實(shí)根

［答案］A

［解析］至少有一個(gè)實(shí)根的否定為：沒有實(shí)根.

(理)①已知/+/=2,求證p+qW2,用反證法證明時(shí)，可假設(shè)0+。》2,②已知a、b

6R,|a|+|引<1,求證方程f+ax+6=0的兩根的絕對(duì)值都小于1.用反證法證明時(shí)可假設(shè)

方程有一根小的絕對(duì)值大于或等于1,即假設(shè)b/.以下結(jié)論正確的是()

A.①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤

B.①與②的假設(shè)都正確

C.①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤

D.①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確

［答案］D

［解析］反證法的實(shí)質(zhì)是命題的等價(jià)性，因?yàn)槊}p與命題的否定W真假相對(duì)，故直

接證明困難時(shí)，可用反證法.故選D.

［方法點(diǎn)撥］L反證法的定義

一般地，由證明A9轉(zhuǎn)向證明t與假設(shè)矛盾,或與某個(gè)真命題矛盾.從

而判斷㈱<7為假，推出g為真的方法，叫做反證法.

2.反證法的特點(diǎn)

先假設(shè)原命題不成立，再在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，

或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、公式或已被證明了的結(jié)論，或與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)等

矛盾.

7.(文)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)△49C的頂點(diǎn)分別為/(O,a)、B(b,O)、C(c,O),點(diǎn)

P(0,p)在線段｛。上(異于端點(diǎn))，設(shè)a、b、c、。均為非零實(shí)數(shù)，直線BP、"分別交4C、

四于點(diǎn)E、F,一同學(xué)已正確算出應(yīng)1的方程：(；」)x+d」)y=O,則冰'的方程為：

bcpa

()x+(~—~)y=0.()

Pa

111I

--X

----

8ca

R.

1D.11

-1

1--

6ca

［答案］c

［分析］觀察反尸兩點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，E、尸兩點(diǎn)的特征類似，￡■是露與力。的交點(diǎn)，戶是

貨與的交點(diǎn)，故直線應(yīng)1與辦的方程應(yīng)具有類似的特征，而y的系數(shù)相同，故只有x的

系數(shù)滿足某種“對(duì)稱性”，據(jù)此可作猜測(cè).

［解析］方法1：類比法

￡在〃'上，宦的方程為

1、,11、

(T—)x+(Z----)y=0.

bcpa

尸在4?上，它們的區(qū)別在于反，互換.

因而如的方程應(yīng)為

A1、,11、

(-7)x+(Z----)y=0.

cbpa

括號(hào)內(nèi)應(yīng)填：

cb

方法2：畫草圖如右，由對(duì)稱性可猜想填工一；.事實(shí)上，由截距“

°b￡

式可得直線心方+?=1，直線仍兩式相減得(%3

?1B0\C*

+(41)尸0,|

顯然直線與b的交點(diǎn)尸滿足此方程，又原點(diǎn)。也滿足此方程，故為所求直線〃的

方程.

［方法點(diǎn)撥］類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩類類似的對(duì)象之間的推理，其中一

個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì).在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)

象性質(zhì)的推理過程，然后仿照推導(dǎo)類比對(duì)象的性質(zhì).

(理)在中，CALCB,斜邊四上的高為才則《=與+4；類比此性質(zhì)，如圖，

/?1LACD

在四面體？一4兆1中，若為、PB、"'兩兩垂直，底面46C上的高為力，則得到的正確結(jié)論為

()

B

.1_A,J_,A.

A，F(xiàn)A肝A（^BEB.!T=P#+PE+PG

r1J_J__L__1_11

=++D，

/J'ACBd產(chǎn)麗+麗+記

［答案］D

［解析］本題考查了合情推理的能力.

連接C。并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)〃，連接加，

B

由已知可得/TJ_月9,在直角三角形W中，DC-h^PD-PC,

則"4+1?h=PD*PC,

1P4+PE

所以￥=祈衣

=J!

-萬十/#

容易知道4區(qū)L平面PDC,

所以相，如，

在直角三角形力心中，AB>PD=PA>PB,

所以<P#+P9?PD=PA?PB,

聚磊=/+/’故"=*+焉+*?（也可以由等體積法得到）?

［點(diǎn)評(píng)］上述解答完整的給出了結(jié)論/=卷+焉的證明過程，如果注意到所給結(jié)

論是一個(gè)真命題，可直接用作條件，則在Rt△為8中，有*=*+焉，在Rt△加C中，有

齊表+晟即可得出結(jié)論.

8.（文）正方形力驅(qū)的邊長(zhǎng)是a,依次連接正方形4式。各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的正方形,

再依次連接新正方形各邊中點(diǎn)又得到一個(gè)新的正方形，依次得到一系列的正方形，如圖所

示.現(xiàn)有一只小蟲從/點(diǎn)出發(fā)，沿正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，每遇到新正方形的頂點(diǎn)時(shí)，

沿這個(gè)正方形的邊逆時(shí)針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段.則這10條線段的長(zhǎng)度的

平方和是（）

1023210232

A，2048aB,768a

C

-能D-4096

（答案］A

［解析］由題可知，這只小蟲爬行的第一段長(zhǎng)度的平方為4=（5?）2=1才，第二段長(zhǎng)度

的平方為式=（半a）?：，］,…，從而可知，小蟲爬行的線段長(zhǎng)度的平方可以構(gòu)成以#=；/

1%口-31023a2

為首項(xiàng)，￡為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為S°=--------;——=琮苦—

Z1ZU4o

1--

2

3

（理）對(duì)于大于1的自然數(shù)加的三次幕可以用技術(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂"：2，=

ri3

f7

15

33=，9,43=j,…，仿此，若方的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是59,則%=（）

11

119

A.7B.8

C.9D.10

［答案］B

［解析］由2'3比43的“分裂”規(guī)律可知”的分裂共有"項(xiàng)，它們都是連續(xù)的奇數(shù)，其

第一個(gè)奇數(shù)為（卬-2）5+1）+3,當(dāng)勿=8時(shí)，第一個(gè)奇數(shù)為57,故勿=8,此時(shí)屋=57+59

+61+63+65+67+69+71.

二、填空題

9.（文）（2015?南昌市二模）觀察下面數(shù)表：

1,

3,5,

7,9,11,13,

15,17,19,21,23,25,27,29.

設(shè)1027是該表第勿行的第〃個(gè)數(shù)，則等于一

［答案］13

［解析］由數(shù)表知第?行最后一個(gè)數(shù)為第S，個(gè)奇數(shù)，其中6=1+2+22+…+2~'=2,

-1,易得第9行最后一個(gè)奇數(shù)為2（2'—1）-1=1021,故1027為第10行的第3個(gè)數(shù)，.?.必

+77=13.

（理）（2015?河南八市質(zhì)量監(jiān)測(cè)）己知不等式l+；+Hl+?+W…,

444丫J4y104

照此規(guī)律，總結(jié)出第〃（〃GN*）個(gè)不等式為...

［答案］i+州+H“+J.1

［解析］由于i+J〈*i+；+9l，i+；+J+J4所以可以寫為i+京小1~1

勺乙a3jT：u1oT：乙乙

+^+^2<-^—1—1+4+—照此規(guī)律,所以第〃個(gè)不等式為1+J+J+3+…

+-1—<^±1

+n+1

99QQ44hh

10.（文）已知2+w=2"Xw，3+^=3"X-,4+—=42X—,,,,,若9H■-=9，X-（a、b

33881515aa

為正整數(shù)），則a+6=____.

［答案］89

［解析］觀察前三式的特點(diǎn)可知，3=22-1,8=32-1,15=42-1,故其一般規(guī)律為〃+

nn99

~~~~=?X——7■，此式顯然對(duì)任意都成立，故當(dāng)〃=9時(shí),此式為9+正=81X正，

n—1n—18080

a=80,6=9,a+6=89.

（理）觀察下列等式

12-1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此規(guī)律，第〃個(gè)等式可為.

［答案］12-22+32-42+-+(-l)"+,n2=(-l),,+l-n(nebT)

［解析］觀察上述各式等號(hào)左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左邊的項(xiàng)數(shù)每次加1,故第〃個(gè)等式左邊

有〃項(xiàng)，每項(xiàng)所含的底數(shù)的絕對(duì)值也增加1,依次為1,2,3,…，n,指數(shù)都是2,符號(hào)成正

負(fù)交替出現(xiàn)可以用(-1)用表示，等式的右邊數(shù)的絕對(duì)值是左邊項(xiàng)的底數(shù)的和，故等式的右

邊可以表示為

H2222n+l2+

(-1產(chǎn)?〃”2,所以第"個(gè)式子可為1-2+3-4+-+(-l)/7=(-1)"

nc+1

2

三、解答題

11.(文)(2015?江蘇，16)如圖，在直三棱柱［a'-45G中，已知4LL

BC,a'=3；.設(shè)力4的中點(diǎn)為〃，&CCBC\=E.

求證：(1)〃￡、〃平面44GG

(2)8GJ_4反

分析］考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理.

(1)由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面班GC為平行四邊形，因此點(diǎn)￡為8c的中點(diǎn)，從而由三角形

中位線性質(zhì)得瓦〃4C,再由線面平行的判定定理得比1〃平面44GC；(2)因?yàn)橹比庵?JC

一4AG中式一制，所以側(cè)面煙GC為正方形，因此又AC1,BC,4C1.CG(可由直

三棱柱推導(dǎo))，因此由線面垂直的判定定理得/入平面防GC,從而再由線面垂直

的判定定理得6G，平面ABC進(jìn)而可得BGLAB^.

［證明］(1)由題意知，后為5c的中點(diǎn)，

又〃為4s的中點(diǎn)，因此應(yīng)、〃4C

又因?yàn)橘|(zhì)平面44GC,平面A44C,

所以DE//平面/4GC.

(2)因?yàn)槔庵?8C—46G是直三棱柱，

所以平面ABC.

因?yàn)?比平面/8G所以

又因?yàn)?C」一式；CGu平面比匕5,收平面比匕兒BCCCC、=C,

所以力入平面BCCB.

又因?yàn)殚唘平面BCC^Bx，所以8UL4C

因?yàn)?C=CG,所以矩形8CC心是正方形，因此8c.

因?yàn)锳C,B\Cu平面BxAC,ACnBxC=C,所以6G_L平面RAC.

又因?yàn)槠矫鍮iAC,所以BGLAB、.

(理)(2015?商丘市二模)如圖，已知四棱錐尸一4龐》的底面為菱形，NBCD=120°,AS

=PC=2,A—BP=?

(1)求證：ABIPC；

(2)求二面角6—PC—。的余弦值.

［解析］⑴證明：取用的中點(diǎn)0,連接AO,CO,AC.

"：AP=BP,:.POLAB.

又四邊形/版是菱形，且/況9=120°,

...△4%是等邊三角形，；.CO_LA8

又。0nPO=0,：.ABL平面PCO,

又旌:平面/TO,：.ABVPC.

(2)由49=/T=2,AP=B-R易求得出=1,0C=木,

:.o戶+od=pC,OPVOC.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以%,OB,。分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系號(hào)-xyz,

則8(0,1,0),以小，0,0),P(0,0,1),。(小，一2,0),

:.反=淄,-1,0),1=(4,0,-1),DC=(0,2,0).

設(shè)平面%0的一個(gè)法向量為m=(1,y,z),則m_L南G慶,

n\"PC=y[i-z=0

*'?z=yf3ry=OfZ2i=(1,0,，^3).

、/7i?DC=2y=0

設(shè)平面好的一個(gè)法向量為幾=(1,b,。)，則CBC,

m?PC=y[^-c=O

，；.c=小,b=小,

也?衣=木一b=0

???生=（1,小,?。?

m?m______42布

cos<z?i,ni）

~\n,?m12義巾―7

?..二面角B—PC—D為鈍角,

二二面角8—A”。的余弦值為一綃

12.(文)(2015?昆明質(zhì)檢)已知數(shù)列｛a｝滿足科=0,“1=a+-----匕一+1.

nn+1

⑴證明：數(shù)列卜十)是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)歹的前〃項(xiàng)和為S”證明：SK±.

［解析］⑴丁(&+:+日—(a+力

=&+----二一+1+—TT—品」

n〃十1〃十1n

~n〃+1n〃+1+1-L

.?.數(shù)列上,+%是公差為1的等差數(shù)列.

又a+l=l,故&+'=〃.

n

即數(shù)列⑸的通項(xiàng)公式為a,=/?--.

n

(2)由(1)知&=〃一,，則色=1一二，

nnn

數(shù)歹的前〃項(xiàng)和5=〃一?+"_1----

1111

.Tn>-n-----/?T+11-=—nT〃H十"1.

/./?-(Y2+AH----F口<〃-(1------bf--—T7)=/2-

U2nJI2)123J\nn+\)n+1n+1

.?.對(duì)VcWN',成立.

刀十1

(理)(2015?湖南文，19)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.已知&=1,生=2,且為+2=35

—Sfl+1+3,

(1)證明：&+2=3a〃；

(2)求S.

［分析］(1)依據(jù)已知等式利用a〃=S—S-(〃22)用構(gòu)造法求解，然后驗(yàn)證當(dāng)〃=1時(shí)，

命題成立即可；(2)利用⑴中的結(jié)論先求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，然后通過求解數(shù)列｛a｝

的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和即可得到其對(duì)應(yīng)前刀項(xiàng)和的通項(xiàng)公式.

［解析］⑴由條件，對(duì)任意有為+2=35—5^+3,(〃￡2)，

因而對(duì)任意〃WN*，〃，2,有A+1=3SLI—S+3,(〃WN*),兩式相減，得a+2-&rH=

3品一dn+\9即3+2=3&,(〃22),

又ai=l,52=2,所以a=3S—S+3=3a—(己+/)+3=3多,

故對(duì)一切〃￡N*,4+2=3&.

⑵由(1)知,aW0,所以」上=3,于是數(shù)列｛&-｝是首項(xiàng)a=1,公比為3的等比數(shù)列,

an

數(shù)列｛甌｝是首項(xiàng)/=2,公比為3的等比數(shù)列，所以劭1=3",的=2X3",

于是S”=Hl+a2+j?+d2”=(51+53+,?,+Qin-1)+(/+&+…+&〃)

=(1+3+…+3'1)+2(1+3+???+3'1)

qq”-1

=3(1+3+???+3〃T)——

R彳“一13〃

從而Szrr-1=Sin—Q,ln)--2X3L*(5X3T—1),

5X3———1,n=2k+l,MN*

2

綜上所述，S,=j

O3^—1,n=2k,AGN*

［方法點(diǎn)撥］直接證明

從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)己知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性的證

明稱為直接證明.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種方法，也是解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常

用的思維方法.

(1)綜合法

從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，經(jīng)過逐步的推理論證，最后達(dá)到待證

的結(jié)論，這種證明方法叫綜合法.也叫順推證法或由因?qū)Ч?

(2)分析法

從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)

為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知的條件、定理、定義、公理等)為止.這種證明方法叫分析

法.也叫逆推證法或執(zhí)果索因法.

13.(文)(2015?邯鄲市二模)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx—a(x—2),g(x)=e：

(1)求/'(*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)過原點(diǎn)分別作曲線y=f(x)與y=g(x)的切線入，12,且4,&的斜率互為倒數(shù)，試

證明：a=0或4」<水1一±(附：ln2=0.693).

2ee

［解析］⑴f(X)=(—

①當(dāng)aWO時(shí)，對(duì)一切x>0,恒有f(x)>0,/tr)的單增區(qū)間為(0,+°°)；

②當(dāng)a>0時(shí),xG(0,加,f(%)>0；xeR+8)時(shí),f

(x)<0.

；.F(x)的增區(qū)間為(0,[J,減區(qū)間為g，+8).

(2)設(shè)過原點(diǎn)與函數(shù)/'(*),g(x)相切的直線分別為人尸hx,J2：y=Lx,

切點(diǎn)分別為力(小，Inm—ax+2a),B'x?,ex2)?

?g(x)-e,??A2—ex2―,??Xi—1rkz-e,??k\一

x-ie

▼e/、1,,1Inxi-axi+2a1

又f(x)-a,:.k\-a--,

xX\X\e

311v,\nx\—ax\+2a1,

得a—,并將它代入一中，

x\ex\e

22

可得Inxi—1+——=0

x\e

2212>—2

1

設(shè)方(x)—Inx1+,則方'(x)—2—2

xexxx

???/?(x)在(0,2]上單減，在(2,+8)上單增

222

若為e(0,2],V/?(l)=l—>0,A(2)=ln2—^0.693—<(),，汨￡(1,2)

eee

而a=‘一’在XiG(1,2)上單減，??.〈一,〈水1一士

X\e2ee

若小￡(2,+°°),A(x)在(2,+8)上單增，且力(e)=0,即矛i=e,得a=0,

綜上所述：a=0或水1一1

Zee

(理)(2015?安徽理，18)設(shè)“WN*,X”是曲線y=x"+2+l在點(diǎn)(1,2)處的切線與x軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)求數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記成…息-1,證明：

［分析］考查1.曲線的切線方程；2.數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.放縮法證明不等式；4.考查

運(yùn)算求解能力和推理論證能力，分析和解決問題的能力.解答本題(1)可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意

義求解，(2)根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式用放縮法證明不等式.

［解析］(1)/=(/+2+i)'=(2〃+2)ff,曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線斜

率為2/7+2.從而切線方程為y—2=(2〃+2)(x—1).令y=0.解得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

1n

X/,=1-7+T=7+T-

(2)由題設(shè)和(i)中的計(jì)算結(jié)果知北=/》“總1

=針鏟…(鋁廣

當(dāng)〃=i時(shí)，方=:.

4r-i22n_1.2n-122n—1J-1n—1.L1

=22

當(dāng)〃22時(shí)，因?yàn)閄2n-1(-o)=o~-〉Q2=，所以7>(3)~義5

2/72/72z?n22

2n-11

x-x-x----=—

3n4/2

綜上可得對(duì)任意的"GN*,均有

4〃

14.(2015?新課標(biāo)I［文，20)已知橢圓aj+%=l(a>6>0)的離心率為半，點(diǎn)⑵啦)

在。上.

(1)求C的方程；

(2)直線/不過原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個(gè)交點(diǎn)4B,線段46的中點(diǎn)為

M.證明：直線QV的斜率與直線1的斜率的乘積為定值.

［解析］⑴由題意有“下憶乎，4+1=1,解得才=8,4=4,所以橢圓C的方程

(2)設(shè)直線/：y=4x+6(AW0,6W0),A(xifyj,Blx?,y》，M(xa,%),把y=4x+6

代入會(huì)+?=l得，

o4

(2A2+1)%2+4A^+262-8=0.

故.=乂；左=2%，：,jv=-+b=2；*\'于是直線〃區(qū)的斜率兒尸三=一/，即局?女

=-1,所以直線〃"的斜率與直線1的斜率乘積為定值.

15.(文)已知點(diǎn)尸為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)—1,0)為定點(diǎn)，且滿足而

+3加0,PM-/=0.

(1)求動(dòng)點(diǎn)A'的軌跡6的方程；

(2)過點(diǎn)尸且斜率為4的直線/與曲線￡交于兩點(diǎn)力、B,試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)C,

使得|。/+|陽2=］初2成立,請(qǐng)說明理由.

［解析］(1)設(shè)Mx,y),則由曲葉自小0,得P為助V的中點(diǎn).

.?.一(0,6，材(一工,0).

.?.而=(-x,一合，赤=3一合.

2

PM?/F=—x+：=0,即/=4%

???動(dòng)點(diǎn)4的軌跡后的方程為/=4%

(2)設(shè)直線1的方程為尸女5一1),

\y=k%—1，,4

由《2、消去x得/—>—4=0.

［y=4xK

4

設(shè)力(E,yi)>B(X2，,㈤，則'+%=7，71y2=-4.

假設(shè)存在點(diǎn)C(加,0)滿足條件，則O=(xi—力，力)，

CB=(XL叫y2),

/.CA?CB=X\X2-m{x\+Xi)+ni+y\y2

=(竿)2—/〃(中)+/—4

=一拿(力+度)2—2力同|+力3

4

=方一)(7+2)—3=0.

k

4

VA=(-2+2)2+12>0,

K

4

，