遼寧省大連市高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試題

大連市2021-2022學(xué)年度上學(xué)期高二期中考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題（共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.已知直線4：岳+3y—1=0,4：?一歹=1，若4丄‘2,則4的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.m=3是直線4：（加一2）x—y—l=0與直線3x-叩=0互相平行的（）條件

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.過點（0,2）作與圓/+/一2》=0相切的直線L,則直線L的方程為（）

A.3x-4y+8=0B.3x+4y-8=0

C.x=0或3x+4y-8=0D.x=0或3x-4尸8=0

4.如圖，在三棱柱/6C-中，”為4c的中點，若而=落石;=心阮=5,則下

列向量與兩相等的是（）

11F—

A.—a一——。+。B.-a+—b+c

2222

1_1r_1_1r_

C.——a——b+cDn.——a+—b+c

2222

5.嫦娥四號月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號乙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)

射.12日下午4點43分左右，嫦娥四號順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，如圖

中軌道③所示，其近月點與月球表面距離為100公里，遠月點與月球表面距離為400公里，已

知月球的直徑約為3476公里，對該橢圓下述四個結(jié)論正確的是（）

第1頁供6頁）

A.焦距長約為150公里B.長軸長約為3988公里

C.兩焦點坐標約為（±150,0）D.離心率約為詰

6.0A、0B、0C是由點0出發(fā)的三條射線，兩兩夾角為60°,則0C與平面0AB所成角的余弦值

為（）

1mlA/3

A.~B.C.5D.%

jj乙乙

7.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.詩中

隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),

先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域

為若將軍從點4（3,1）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=5,并假定將軍只

要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.B.275C.回D.2回

Y22

8.己知橢圓C：?+J=l（a〉6>0）的左、右焦點分別為用，點尸（玉,必）,

。（一七,一切）在橢圓。上，其中%>0,乂>0,若|P。|=2|06|空正，則橢圓C

PF13

的離心率的取值范圍為（）

C.(0,73-1]

第2頁（共6頁）

二、多項選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求?全選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）

9.下列說法正確的是（）

A.坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角.

B.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程±+。=1表示.

ah

C.直線厶：2x+j-4=0,/2：2x+y+2=0,則與直線厶與厶距離相等的直線方程為

2x+^-l=0

I）.已知圓C:f+y2-4y=0,圓心為C,P為直線2x+y+3=0上一動點，過點P向圓。

引兩條切線PA和PB,A、B為切點，則四邊形PACB的面積的最小值為1

10.已知正方體Z8CD-44GA的棱長為I,點區(qū)。分別是44，4G的中點，p在正方

體內(nèi)部且滿足/=；君+?而+|怒，則下列說法正確的是（）

A.直線AC[丄平面A]BDB.直線BBi與平面AiBCDi所成的角為:

C.直線OE與平面AiBCDi的距離為遅D.點尸到直線ZO的距離為』

26

11.已知橢圓c的中心在原點，焦點片，鳥在y軸上，且短軸長為2,離心率為手，過焦點

耳作歹軸的垂線，交橢圓。于尸，。兩點，則下列說法正確的是（）

A.橢圓方程為工+必=1B.橢圓方程為匕+犬=1

33

。|尸。|=苧D.APE。的周長為4厶

12.在平面直角坐標系xOy中，點4（0,3）,直線/:y=2x—4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在/

上，若圓C上存在點“，使|M4|=2|Mq,則圓心。的橫坐標。的值可以是（）

第3頁（共6頁）

A.0B.1C.2D.3

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知直二面角仁一/一夕的棱/上有4,8兩個點，ACcza,AC11,BDuB,

BDLl,若/B=4,AC=3,BD=5,則CD的長是.

14.設(shè)直線x+沖+1=0過定點A,直線mx—y—2機+3=0過定點8,直線L經(jīng)過

點C（2,-1）,并且以方為法向量，則直線L的方程為.

15.已知四面體N8C。的每條棱長都等于2,點、E,F,G分別是棱AD,OC的中

點，則歷.不等于,

22

16.在平面直角坐標系X0中，已知橢圓。：匕+-^=1（加〉4）,點力（一2,2）是橢圓內(nèi)

一點，5（0,-2）,若橢圓上存在一點尸，使得|/訓(xùn)+|尸4=8,則根的范圍是；

當加取得最大值時，設(shè)Q為橢圓上任意一點，C（0,2）,則|QB『+|QC『的最小值為。

（第一個空3分，第二個空2分）

三、解答題（本題共6小題，共70分.第17題滿分10分，第18—22題每題滿分12分.解答

應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（本題滿分10分）

已知d=（1,1,0）,b=（-1,0,2）.

（1）若舊=3,且?！ǎ╠-J）,求普

（2）若k蒼+b^ka-2仮互相垂直,求實數(shù)k.

第4頁（共6頁）

18.(本題滿分12分)

如圖，已知三棱錐O—ABC的側(cè)棱。4,0民。。兩兩垂直，且OA=1,0B=0C=2,E

是0C的中點.

(1)求異面直線8E與4C所成角的余弦值；

(2)求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值.

19.(本題滿分12分)

已知圓C經(jīng)過點4(3,—2)和8(1,0),且圓心在直線x+y+l=0上.

(1)求圓C的方程；

(2)直線L經(jīng)過(2,0),并且被圓C截得的弦長為2后，求直線L的方程.

20.(本題滿分12分)

如圖，三棱柱力6。一同用G的所有棱長都是2,4%丄平面Z8C,D,￡分別是NC,CG

的中點.

(1)求證：平面丄平面4/。：

(2)求平面05%和平面從I4夾角的余弦值；

(3)在線段(含端點)上是否存在點M,使點M到平面45。的距離為竽？請說明

理由.

第5頁(共6頁)

21.(本題滿分12分)

己知圓/：(》+1)2+;?=16的圓心為厶，過點8(1,0)作直線與圓A交于點C、D,連接/C、

AD,過點B作/C的平行線交于點E；

(1)求點E的軌跡方程；

(2)己知點H(2,0),對于x軸上的點P(t,0),點E的軌跡上存在點M,使得MP丄MH,求實

數(shù)t的取值范圍.

22.(本題滿分12分)

如圖，正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點.在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE

的中點，平面ABF與棱PD,PC分別交于點G,H.

(1)求證：G是棱PD的中點

(2)若PA丄底面ABCDE,且二面角P-DE-A的大小為45°,求直線BC與平面ABF所成角的大小,

并求線段PH的長.

第6頁(共6頁)

2021-2022學(xué)年度上學(xué)期高二期中考試

數(shù)學(xué)試卷答案及評分標準

1.B2.A3.C4.D5.D6B.7.A8.D9.AC10.ABD11.BCD12.ABC

13.57214.x+y-l=o15.116.(1).(6+275,25](2),50

17.解：(l)a-b=(2,1,-2).】c〃(a-b),設(shè)c=A(a-b),

即c=入(2,1,—2)=(2入，入，—2X),/.|c|--\]4X"+X'+4X2=31A.|=3,入=±1,

；.c=(2,1,—2)或c=(-2,-1,2).5分

(2)Vka+b=(k-l,k,2),ka—2b=(k+2,k,-4).

又；(ka+b)丄(ka-2b),/.(ka+b),(ka—2b)=0.

即(k—l,k,2)?(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.

解得k=2或k=-|,故所求k的值為2或10分

18解：(1)以0為原點，OB、0C、0A分另IJ為X、Y、Z軸建立空間直角坐標系.

則有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0)

_________22

AEB=(2,-L0),AC=(O,2,-l)ACOS<<EB,AC>>==一一

>/5,v55

2

所以異面直線BE與AC所成角的余弦為《6分

(2)設(shè)平面ABC的法向量為“=(x,y9z)則

勺丄AB知n}-AB=2x-z=0

勺丄AC知馬-AC=2y-z=0取4=(1,1,2),

/an

則sin<EB,n,>=------

130

故BE和平面ABC的所成角的正弦值為叵

12分

30

第1頁(共5頁)

19.解：(1)設(shè)圓C的方程為/+/+取+與+尸=0

9+4+3D-2￡+F=0

依題意得〈l+D+F=0解之得O=-2,E=4,F=1

生+1=0

22

.?.圓C的方程為d+丁-2x+4y+l=05分

(2)圓d+y2-2x+4y+l=0可化為(x-iy+(y+2)2=4,

所以圓心到直線的距離為4=^22-=1

6分

當直線1的斜率不存在時，直線1的方程為九=2,

此時直線1被圓C截得的弦長為26,符合題意8分

當直線1的斜率k存在時，設(shè)直線1的方程為y=Mx-2),即云-^一2斤=()

\k+2-2k\3

山題意得=1解得“二，直線的方程為3x—4y—6=011分

綜上所述，直線1的方程為x=2或3x—4y—6=012分

20.解：(1)取AG的中點。，連接耳。,8，則。耳丄AG，

又A4,丄平面ABC,所以QD丄平面ABC,所以。4,,。。,。旦

兩兩垂直，如圖，以。為原點，片所在直線分別為x

軸，》軸，z軸建立空間直角坐標系，

則A(l,2,0),5(0,2,6),0(0,2,0),4(1,0,0),E(-1,1,0),

AD=(-1,2,0),\B=(-1,2,73)，BA=(1,0,-73),BE=(-1,-1,-73)，

設(shè)［=(%,y,zj,3=(%,為，Z2)分別為平面43。和平面BAE的法向量,

第2頁(共5頁)

-%+2yl=0,

由泰?[=(),&?[=0,得'%2y+岳=0,'”=1'則寸2，1。，

=(2,1,0)是平面48。的一個法向量,由康=°，蜃=0,得

,“"z，:，令z?=1,則x2=A/3,y2=-2y/3,

一%2—%一gz2=0,

4=（G,—2G,1）是平面BAE的一個法向量,

.,.%?勺=2x6—2>/§+0=0，,平血BAE丄平血\BD.6分

（2）4A=（0,2,0），設(shè)平血的法向量為m=（x,y,z）?

'2y=0,

由AA.m=0,4"機=0，r+2y+Gz=。,'令z=l'則x=5>=°'

；?/；=（6,0,1）是平面AA8的一個法向量,

設(shè)平面和平面8AA的夾角為8,由圖可知。為銳角,

n]-m

=專5=半，即平面和平面84A夾角的余弦值為孚.

則cos6=1--9分

〃1m

（3）假設(shè)在線段8乃（含端點）上存在點M,使點M到平面A3。的距離為讐，

-2加BMn,

設(shè)"（0,。,6）（0＜。＜2），則俞=（0,q-2,0），由~^~=一=一=靑,

解得：。=4（舍去）或。=（）,

故在線段上存在點M（端點處），使點M到平面的距離為平.12分

（注：如果第（1）問用立體幾何方法證明，第（2）問建立坐標系那就是（1）給4分，

（2）給5分）

第3頁（共5頁）

BEDE

21.解：(1)由題意：圓心A(-1,0),半徑r=4,由8E〃AC,可得會=胃，

ACAD

由4c=40,所以BE=Z)E,則E4+EB=E4+E￡>=4)=4為定值,

所以E在以A,B為焦點的橢圓上，且2。=4,即。=2,c=l,貝=Jq2_c2=6

則點E的軌跡方程的方程為三+二=1。彳0)；6分

43

22

(2)設(shè)M(xo,yo)(x°W±2),則二;①①

4+3T

又由P(t,0),II(2,0).則而二(t-x0，-y0),MH=(2-x0，-y0)

由MP丄MH可得而?而二0,即(t-xo,-y0)?(2-x0,-yo)二

2

(t-X。)'(2-XO)+yo=O

由①②消去y。，整理得t(2-Xn)=-入，+2乂「一3②

u4uu

13

Vx0^2,t=^x0???一2<xo<2,-2<t<-1

故實數(shù)t的取值范圍為(-2,-1).12分

22.(1)證明：在正方形AMDE中，因為B是AM的中點，所以AB〃DE.

又因為ABC平面PDE,所以AB〃平面PDE.因為ABu平面ABF,

且平面ABFA平面PDE=FG,所以AB//FG.,所以FG〃DE,,

因為F為棱PE的中點，所以G是棱PD的中點。