福建省海濱學(xué)校、港尾中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

福建省海濱學(xué)校、港尾中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若數(shù)列｛4｝滿足（"T）%=2,則％=（）

A.2B.6

C.12D.20

,、111

2.數(shù)列｛4｝滿足％=1,對任意“eN*，都有。用=1+4+”,則一+一+——=（）

99

A.—B.2

98

9999

C.—D.-----

50100

2222

3.已知橢圓G：T+A=i（ai>4>°）與雙曲線。2：*—*=1（%>0也>°）有相同的焦點片、B，橢圓G的

離心率為6,雙曲線的離心率為e,,點尸為橢圓G與雙曲線C的交點，且""=三，則當(dāng)工+且取最大值

3G02

時G+02的值為（）

4.在區(qū)間［1,5］內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)加，則方程根27+4y2=i表示焦點在y軸上的橢圓的概率是

31

A.-B.-

55

13

C.一D.-

44

v2y2

5.過雙曲線當(dāng)一=1(a>0,%>0)的左焦點F(—c,0)作圓O：必+72=層的切線，切點為E,延長FE交雙曲線于

a~b2

點P,若E為線段尸尸的中點，則雙曲線的離心率為()

D.若上1

C忑+1

2

6.若雙曲線經(jīng)過點(-百,6),且它的兩條漸近線方程是丁=土3無，則雙曲線的方程是()

2

y2

A.±--x2=lB.--J2=1

99

2222

cl-土=1D.土-匕=1

273273

7.“國=計'是"=y"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線必=一8》,已知水利人員在某個時刻測得水面寬|AB|=8m,則此時

C.4mD.2m

9.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之栗五斗?羊主曰：“我羊食

半馬?”馬主曰：“我馬食半牛?”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾

苗的主人要求賠償5斗栗?羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半?”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半

■”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，6升，c升，1斗為10升，則下

列判斷正確的是(

A.a,b,。依次成公比為2的等比數(shù)列，且〃=—

7

B.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列，且。=竺

7

C.a,b,c依次成公比為工的等比數(shù)列，且。=笆

27

D.a,b,c依次成公比為工的等比數(shù)列，且。=笆

27

10.在ABC中，內(nèi)角A,3,C所對的邊為a,4c,若a=2,cosA=-,sinB=3sinC,則。=()

3

A-B.叵

22

C.逑D.2A/2

11.過兩點(—2,4)和(4,-1)的直線的斜率為()

65

A.-B.-

56

65

D.----

56

12.直線4：%-如一2=0與直線心如+y+2=0交于點。，機(jī)是實數(shù)，。為坐標(biāo)原點，貝！的最大值是。

A.2B.2加

C.2A/3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

Y2y2

13.已知橢圓C：T+=l(a〉6〉0)的離心率為娓

ab2

(1)證明：a=yf3b;

9V3

(2)若點“—在橢圓C的內(nèi)部，過點”的直線/交橢圓。于P、。兩點，”為線段PQ的中點，且

OP±OQ.

①求直線/的方程；

②求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

14.已知某地區(qū)內(nèi)貓的壽命超過10歲的概率為0.9,超過12歲的概率為0.6,那么該地區(qū)內(nèi)，一只壽命超過10歲的貓

的壽命超過12歲的概率為.

15.已知點P是橢圓0+4=1（。〉6〉0）上的一點，片,月分別為橢圓的左、右焦點，已知N￡P(guān)鳥=120。，且

ab

\PF{\=3\PF2\9則橢圓的離心率為.

16.隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,若尸（X=0）=g,EX=1,則。X=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”

者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為050.6,在面試中“通過”的概率依次為

0.4,0.3,筆試和面試是否“通過”是獨立的，那么

（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？

（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.

18.（12分）設(shè)橢圓C：?+#=1（?！?〉0）的左，右焦點分別為4,B，其離心率為乎，且點（2,J5）在。上.

（1）求C的方程；

（2）。為坐標(biāo)原點，尸為C上任意一點.若M為。工的中點，過M且平行于0P的直線/交橢圓C于A,B兩點,是

否存在實數(shù)X,使得/l|OP|2=|MA|-|M3|?若存在，求彳值；若不存在，說明理由.

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：￡+*.=1（a＞方＞0）的左、右焦點分別為耳，耳，其離心率e=逑，

a2b23

且橢圓C經(jīng)過點M（30,、歷）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A,B（均異于點M）.若的角平分線與y軸平行，試探究

直線A3的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.

20.（12分）在直角坐標(biāo)系中，點P到兩點M（0,一0）、N（0,6）的距離之和等于4,設(shè)點尸的軌跡為C,直線

y=Ax+l與。交于A、3兩點

（1）求曲線。的方程；

（2）若0A_L03，求左的值

21.（12分）如圖，在四棱錐A—BCDE中，四邊形BCDE為平行四邊形，且BC=2,ZCBE=45°,三角形ABE

為等腰直角三角形，且A5=2,ZBAE=90°.

（1）若點。為棱比的中點，證明：平面ACD，平面AOC；

（2）若平面ABE，平面3CDE,點R為棱8C的中點，求直線■與平面AD石所成角的正弦值.

22.（10分）已知｛4｝是等差數(shù)列，｛〃｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，%=%=1,再從①4+%=10；②與4=4；

③4=%這三個條件中選擇，兩個作為已知.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）求數(shù)列出｝的前八項和.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

〃+1

【解析】由已知條件變形可得<二-7,然后累乘法可得與，即可求出〃4

n-1

/、/、4〃〃+1

詳解】由（"T）%=5+1）?！?1得丁=；^7,

an-\兒L

a.a^345〃+lz

cin—%,—,—xx------=2x—x—x—xx-------=〃（〃+1）（幾>2）,

%a2an_x123n-1

...〃4=4（4+1）=20.

故選：D

2、C

〃5+1）1222

【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得％+1-q=〃+1,然后利用累加法可得冊=，所以一二（=———

最后利用裂項相消法求和即可.

【詳解】由％+1=1+?！?〃，得=〃+1,則

/\/\/\/xn（n+l）

an=（?！╛。-1）+（。〃一1一%一2）++（。2_%）+〃1=〃+（〃_1）++1=-，

122_2

所以莉而

ZTn〃+1

99

ClyCL?55

故選：C.

【點睛】本題考查累加法求數(shù)列通項，考查利用錯位相減法求數(shù)列的前〃項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于

?？碱}.

3^D

13,

【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得為,電，c的關(guān)系，由此可得？+?=4,再利用重要不

qe2

等式求最值，并求此時的G+G的值?

【詳解】設(shè)尸為第一象限的交點，|尸片|=加、\PF2\=nf

則加+〃=2。］、m-n=2a2,解得m=ax+a2>n=ax-a29

m2+/_4c2i

在尸耳月中，由余弦定理得：cosN4P鳥=整型——

122mn2

222222

***m+n—mn=4c，；?(％+^z2)+(%—a2)—(%+a2)(%-%)=4c,

即,+立<2>/2,當(dāng)且僅當(dāng)工=正，即c=正，62=逅時等號成立,

ex%exe222

此時G+e2=正產(chǎn)

故選：D

4、D

【解析】若方程加2—+4/=1表示焦點在y軸上的橢圓，貝!b/>4,解得機(jī)>2,2<m<5，故方程

5-93

+4/=1表示焦點在y軸上的橢圓的概率是P=--=-,故選D.

5—14

5、A

【解析】設(shè)歹,為雙曲線的右焦點，連接。E,PF',根據(jù)圓的切線性質(zhì)和三角形中位線得到|OE|=a,\PF'\=2a,利用

雙曲線的定義求得|PR=4a,得到|E尸|=2a,在RSOE尸中，利用勾股定理建立關(guān)系即可求得離心率的值.

【詳解】不妨設(shè)E在x軸上方，尸為雙曲線的右焦點，連接OE,PF',如圖所示：

因為尸尸是圓。的切線，所以。ELPE,

又E,。分別為尸尸，尸尸，的中點，所以|OE|=；|PP|,

又|OE|=a,所以|PF[=2a,

根據(jù)雙曲線的定義，\PF\-\PF'\^2a,

所以|P*=4"，所以|EF|=2a,

在RtAOEF中,|OEF+囚尸F(xiàn)=|o尸|2,

即層+4層=,2,所以e=6,

故選A.

【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯(lián)想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率

問題的有效方法.

6、A

【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點即可求解.

【詳解】漸近線方程是丁=土3%,設(shè)雙曲線方程為V—9x2=%,

又因為雙曲線經(jīng)過點（—石,6）,所以有6z—9x（-廚=9=2,

2

所以雙曲線方程為V—9^=9,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為5-丁=1.

故選：A

7、B

【解析】因W=%=y但％=V=國=可

8、D

【解析】代入計算即可.

42

【詳解】設(shè)〃點的坐標(biāo)為（4,y）,由拋物線方程j?=-8y得y=t=—2,則此時刻拱橋的最高點到水面的距離

—8

為2米.

故選：D

9、D

【解析】由條件知。，b,C依次成公比為工的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前"項和，即

2

c+2c+4c=50n。=笆.故答案為D.

7

10、B

【解析】利用正弦定理角化邊得到匕=3c,再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】sinB=3sinC,:.b=3c,

由余弦定理得：a2=b2+c2—2Z?ccosA-8c2=4，-?=~?:.c=?

22

故選：B.

11、D

【解析】應(yīng)用兩點式求直線斜率即可.

4-（-1）5

【詳解】由已知坐標(biāo)，直線的斜率為左二—3二-二.

—2—46

故選：D

12、B

【解析】求出兩直線的交點坐標(biāo)，結(jié)合兩點間的距離公式得到1001=^^,進(jìn)而可以求出結(jié)果.

2-2m-2-2m

【詳解】因為/1：%一如一2=0與/2：如+丁+2=0的交點坐標(biāo)為。

1+機(jī)2'1+m2

2

2—2mVf—2—2m8（l+m）2A/2

所以|。。|=

1+m2JI1+m2（1+*J1+m2

當(dāng)相=0時，=20,

QIQ|Imax

所以|Q21的最大值是2&，

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

LLf

13、（1）證明見解析；（2）①氐—y—6=0；②事+丁=1.

【解析】（1）由2=爐？可證得結(jié)論成立；

a

（2）①設(shè)點P（玉,%）、Q（x2,y2）,利用點差法可求得直線/的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程；

②將直線/的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由OPLOQ可得出OP-OQ=0,利用平面向量數(shù)量積的坐

標(biāo)運算可得出關(guān)于/的等式，可求出尸的值，即可得出橢圓。的方程.

a2-b1等?一冬因此，”后

【詳解】（1）e=-

a2a2

22

（2）①由（1）知，橢圓。的方程為*+￡=1,即/+3/=3/,

、2

當(dāng)?shù)?<3/,可得"述.

”15）在橢圓C的內(nèi)部時,+3-

10710

再+%2_9

丁?廠，所以，4.心,

設(shè)點P（WK）、。（尤2,%），則，

%+%=13再+々9

-記

尤2+3y2=3b2

由已知可得＜J+3,=3必，兩式作差得（％+々）（％_/）+3（%+%）（%_%）=°，

肝以M—%/+%_l

==x=G,

XL?3（%+%）3

所以，直線/方程為y-,即y=6x-y/3.

I1°

所以，直線/的方程為氐-y-G=0；

x2+3y2=3bl

②聯(lián)立廠/.,消去》可得10f—18X+9—3尸=0.

y=V3（x-l）

A=182-40（9-3Z?2）=120Z22-36>0,

99-3b-

由韋達(dá)定理可得石+x2=—,

10

又OPA.OQ,而OP=（&yJ,OQ=（x2,y2）,

一）

:.OPOQ=xlx2+%%=%/+6（%-1）-A/3（x2-1）=4x^23（%+X2+3

2（9—3必）—27+156—6必八

55

解得廿=1合乎題意，故儲=3^=3，

因此，橢圓。的方程為二+y2=i.

3-

【解析】根據(jù)條件概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)事件A：貓的壽命超過10歲，事件已貓的壽命超過12歲.

依題意有P（A）=O9,P（B）=P（BoA）=0.6,

則一只壽命超過10歲貓的壽命超過12歲的概率P（B\A）=用;=^|=|

、2

故答案為：I

15、叵

4

【解析】設(shè)|PM|=x,|W|=3x,2a=4x,由余弦定理知（2。-=13必，所以工=巫，故填史.

a44

2

16、-##0.4

5

【解析】設(shè)出概率，利用期望求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而利用求方差公式進(jìn)行求解.

14/4183

[詳解]設(shè)P(X=l)=a,則p(X=2)=]——a=――a,從而EX=a+2R—a=三―a=1,解得：tz=-,

5515J55

,i,3,io

所以DX=(O_l)

2

故答案為：!

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)甲獲得錄取的可能性大；

(2)0.308

【解析】(1)利用獨立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.

(2)應(yīng)用對立事件、獨立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.

【小問1詳解】

記“甲通過筆試”為事件A,“甲通過面試”為事件為,“甲獲得錄取”為事件4,“乙通過筆試”為事件與，“乙通過面試”

為事件52,“乙獲得錄取，，為事件5,則

P(A)=p(A)P(4)=0.5X0.4=0.2,P(B)=P(B])P(B2)=0.6x0.3=0.18,即P(A)>P(B),

所以甲獲得錄取的可能性大.

【小問2詳解】

記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C,則

P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(5)+P(A)P(5)=0.2x0.82+0.8x0.18=0.308.

22

18、(1)上+上=1；

84

7

(2)A=—.

8

【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；

⑵直線/斜率不存在時，易得4的值；斜率存在時，設(shè)/方程為丁=左。—1),A(玉聯(lián)立直線/與橢圓

C的方程，求出|吊4|?|〃3|；求出。尸方程，聯(lián)立。尸方程與橢圓C的方程，求出|OP『；代入210Pl2=|.|M3|

即可求得九

【小問1詳解】

42

——+——=1

“b2

cA/2

由已知可得＜e=—=——

a2

a2=b2+c2

22

解得。=2近力=c=2,.?.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+±=1.

84

【小問2詳解】

若直線的斜率不存在時，10Pl=2,11=1M31=半,

77

/.|MA||MB|=—=44=>X=一；

28

當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線/的方程為丁=左(％-1),人(%,％),5(%2，%)-

y=k{x-V)

2y22%+

聯(lián)立直線/與橢圓方程x,消去y,得(2產(chǎn)+1)爐一4左2/—8=0,

T+T-

4k2

2左2—8

x.x=--——

122k2+1

'：OP//1,設(shè)直線0P的方程為丁=日,

y=kx

聯(lián)立直線0P與橢圓方程x2y2_>消去y，得(2左2+1)尤2=8,

184

8

解得9

.WOP^x2+y2=(1+

:.IMA|={(%-行+或=y/l+k2(A,-1|,

2

同理|加8|=，1+向尤2-小.,?|M4|-|Affi|=(l+Z:)|(x1-l)(x2-l)|,

7

V(l-x1)-(x2-l)=-[x1x2_(%+冗2)+1]=27+1'

777

.?.|M4|-|MB|=(l+fc2)——,故G|0P『=|朋存在滿足條件,

2kl+1oo

7

綜上可得，存在4=石滿足條件.

8

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于弦長公式的運用，A8斜率為怎4（%,%）,5（%2，%），M（l,0）,貝!J

*23

|MB|=Jl+k|x2—1|?|MA|=J1+42上一,|^￡4卜眼目=（1+左2）|（王—1）（尤2—1）|=（1+左，卜%—（%i+/）+1|,

將弦長之積轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理求解.

22

19、（1）—+^=1

364

（2）是，證明見解析

【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點可求解；

（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線M4、MB,與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點的坐標(biāo)，再通過斜率公式計算即可證明.

【小問1詳解】

由e=2，Z,得=號，所以層=9"①，

3cra29

1Q2

又橢圓過點M（30,0）,則二+77=1②'

由①②解得a=6,b=2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1

364

【小問2詳解】

設(shè)直線MA的斜率為展點4（七,％）,3（々；%），因為NAM3的平分線與y軸平行，所以直線M4與"的斜率互為

相反數(shù)，則直線MB的斜率為幾

y=kx+^2-3^k

聯(lián)立直線M4與橢圓方程，得

364

2

整理,得(9/+1)X+18亞kQ-3k)x+162/一順一=L8=0,

鵬同理可得"駕答幺3板,

所以「心翳產(chǎn)

36亞k

--------->X,+X]=

91c+121IC

又M=—kx、+A/2+3y[o.k—(kxy+^2—3A/^左)=—k(x,+/)+6\[^k

12岳

乂—%.94+1=』為定值

所以^AB=36同3為定值.

942+1

2]

20、(1)必+1_=1；(2)k=±L

42

【解析】（1）本題可根據(jù)橢圓的定義求出點P的軌跡

（2）本題首先可設(shè)A（玉,%）、3（%，%），然后聯(lián)立橢圓與直線方程，通過韋達(dá)定理得出菁尤2=

4十￡

-2k

Xi+x=-一丁,最后通過OA_LOB得出演%2+%%二°，代入玉/、為+%2的值并計算，即可得出結(jié)果.

2q十/c

【詳解】（1）因為點P到兩點M（0,-0）、N（o,6）的距離之和等于4,

所以結(jié)合橢圓定義易知，點P的軌跡是以點河、N為焦點且2。=4的橢圓,

—_________2

則a=2,c=G，b=Ja2-c2=1'點P的軌跡。：父+乙=1.

4

(2)設(shè)A(玉，yj,5(無2,%)，

2

r2，z_=1,、

聯(lián)立■4一，整理得(4+左2)尤2+2區(qū)一3=0,

y=kx+1

-3-2k

則占W=石正，…2二石下

因為。4_L03，所以石々+%%=0,

即/為2+(區(qū)1+1)(如+1)=0，整理得(K+1)為%2+4(%+X2)+1=0,

則（"?屋找禍1=。，整理得—1,解得T.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)橢圓定義求動點軌跡以及直線與拋物線相關(guān)問題的求解，橢圓的定義為動點到兩

個定點的距離為一個固定的常數(shù)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計算能力，是難題.

21、(1)證明見解析

⑵述

3

【解析】(1)先證明AOLHE,COLBE,進(jìn)而證明跖1平面AOC,即可證明平面AOC,從而證明平

面ACD,平面AOC.

(2)以。點為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)C,OE,0A所在直線為左軸，V軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

用向量法求解即可

【小問1詳解】

因為八45￡為等腰直角三角形，點。為棱的中點，

所以

又因為AB=2,ZBAE=9Q0,所以30=0，

又因為在BOC中B0=e，BC=2,NCBO=45°,

所以CO=7BO2+BC--2BO-BC-cosZCBO=叵>

所以8。2+。。2=8。2,所以COLBE,

又因為AOCO=O,所以班1平面AOC,

又因為3C￡>￡為平行四邊形，所以BE"CD,

所以CD,平面AOC,

又因為CDu平面AC。，

所以平面ACD±平面AOC.

【小問2詳解】

因為平面平面BCZJE,平面ABE平面BCDE=BE,AO±BE,

所以49