全等三角形問題中常見種輔助線作法有復(fù)習(xí)資料

第頁全等三角形問題中常見的協(xié)助線的作法(有答案)總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個角之間的相等1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2.倍長中線：倍長中線，使延長線段及原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添協(xié)助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用“截長法”或“補短法”：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.圖形補全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30,60度的作垂線法：遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特別直角三角形，然后計算邊的長度及角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創(chuàng)建邊,角之間的相等條件。8.計算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特別直角三角形，或40-60-80的特別直角三角形,常計算邊的長度及角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個角，從而為證明全等三角形創(chuàng)建邊,角之間的相等條件。常見協(xié)助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段及原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形．遇到角平分線在三種添協(xié)助線的方法，（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點經(jīng)常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線及角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”截長法及補短法，詳細(xì)做法是在某條線段上截取一條線段及特定線段相等，或是將某條線段延長，是之及特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和,差,倍,分等類的題目．已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，出一對全等三角形。特別方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答．一,倍長中線（線段）造全等例1,（“盼望杯”試題）已知，如圖△中，5，3，則中線的取值范圍是.例2,如圖，△中，E,F分別在,上，⊥，D是中點，試比較及的大小.例3,如圖，△中，，E是的中點，求證：平分∠.應(yīng)用：1,（09崇文二模）以的兩邊,為腰分別向外作等腰和等腰，連接，M,N分別是,的中點．探究：及的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時，及的位置關(guān)系是，線段及的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二,截長補短1,如圖，中，2，平分，且，求證：⊥2,如圖，∥，分別平分∠,∠，過點E，求證＝。3,如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在，上，并且，分別是，的角平分線。求證：4,如圖，在四邊形中，＞＝，平分，求證：5,如圖在△中，＞，∠1＝∠2，P為上隨意一點，求證＞應(yīng)用：三,平移變換例1為△的角平分線，直線⊥于為上一點，△周長記為，△周長記為.求證＞.例2如圖，在△的邊上取兩點D,E，且，求證：>.四,借助角平分線造全等1,如圖，已知在△中，∠60°，△的角平分線相交于點O，求證：2,如圖，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于E，⊥于F.（1）說明的理由；（2）假如，，求,的長.應(yīng)用：1,如圖①，是∠的平分線，請你利用該圖形畫一對以所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△中，∠是直角，∠60°，,分別是∠,∠的平分線，,相交于點F。請你推斷并寫出及之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPA(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五,旋轉(zhuǎn)例1正方形中，E為上的一點，F(xiàn)為上的一點，，求∠的度數(shù).例2D為等腰斜邊的中點，⊥分別交于點。當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證。若2，求四邊形的面積。例3如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交于點M，交于點N，連接，則的周長為；應(yīng)用：1,已知四邊形中，，，，，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種狀況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請賜予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．（圖（圖1）（圖2）（圖3）2,（西城09年一模）已知4,以為一邊作正方形,使P,D兩點落在直線的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠45°時,求及的長;(2)當(dāng)∠變化,且其它條件不變時,求的最大值,及相應(yīng)∠的大小.3,在等邊的兩邊,所在直線上分別有兩點M,N，D為外一點，且EMBEDEquation.3.探究：當(dāng)M,N分別在直線,上移動時，,,之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q及等邊的周長L的關(guān)系．圖1圖2圖3（=1\*I）如圖1，當(dāng)點M,N邊,上，且時，,,之間的數(shù)量關(guān)系是；此時；（=2\*）如圖2，點M,N邊,上，且當(dāng)時，猜想（=1\*I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（=3\*）如圖3，當(dāng)M,N分別在邊,的延長線上時，若，則（用,L表示）．參考答案及提示一,倍長中線（線段）造全等例1,（“盼望杯”試題）已知，如圖△中，5，3，則中線的取值范圍是.解：延長至E使＝2，連，由三角形性質(zhì)知<2<故的取值范圍是1<<4例2,如圖，△中，E,F分別在,上，⊥，D是中點，試比較及的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一”法)延長至G使＝2，連，,明顯＝，在△中，留意到⊥，由等腰三角形的三線合一知在△中，由三角形性質(zhì)知故：<例3,如圖，△中，，E是的中點，求證：平分∠.解：延長至G使＝2，連，,明顯＝，∠∠由于，故∠∠在△及△中，故△≌△，故有∠∠，即平分∠應(yīng)用：1,（09崇文二模）以的兩邊,為腰分別向外作等腰和等腰，連接，M,N分別是,的中點．探究：及的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時，及的位置關(guān)系是，線段及的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二,截長補短1,如圖，中，2，平分，且，求證：⊥解：（截長法）在上取中點F，連△是等腰三角形，F(xiàn)是底中點，由三線合一知⊥，故∠＝90°∠＝∠＝90°即：⊥2,如圖，∥，分別平分∠,∠，過點E，求證＝解：（截長法）在上取點F，使＝，連∠∠＝180°∠∠＝180°故∠＝∠故有＝從而＝3,如圖，已知在△內(nèi)，，，P，Q分別在，上，并且，分別是，的角平分線。求證：解：（補短法,計算數(shù)值法）延長至D，使＝，連在等腰△中，可得∠＝40°從而∠＝40°＝∠故＝又∠＝40°＝∠故＝從而4,如圖，在四邊形中，＞＝，平分，求證：解：（補短法）延長至F，使＝，連故∠＝∠，＝又＝故在等腰△中故有∠∠＝180°5,如圖在△中，＞，∠1＝∠2，P為上隨意一點，求證＞解：（補短法）延長至F，使＝，連故＝由三角形性質(zhì)知應(yīng)用：三,平移變換例1為△的角平分線，直線⊥于為上一點，△周長記為，△周長記為.求證＞.解：（鏡面反射法）延長至F，使＝，連為△的角平分線,⊥知∠＝∠故有故＝在△中有：>從而>例2如圖，在△的邊上取兩點D,E，且，求證：>.證明：取中點M,連并延長至N,使,連.同理.延長交于P,則>>,相加得>,各減去,得>,四,借助角平分線造全等1,如圖，已知在△中，∠60°，△的角平分線相交于點O，求證：，證明(角平分線在三種添協(xié)助線,計算數(shù)值法)∠60度,則∠∠120度;均為角平分線,則∠∠60度=∠∠;∠120度.在上截取線段,連接.又;∠∠.則⊿≌Δ(),∠∠60度.則∠∠∠60度=∠;又;∠∠.故⊿≌Δ(),2,如圖，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于E，⊥于F.（1）說明的理由；（2）假如，，求,的長.解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接，垂直平分，故＝由于平分∠，⊥于E，⊥于F，故有故△≌△（）故有＝。＝2＝（）/2()/2應(yīng)用：1,如圖①，是∠的平分線，請你利用該圖形畫一對以所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△中，∠是直角，∠60°，,分別是∠,∠的平分線，,相交于點F。請你推斷并寫出及之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPA(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五,旋轉(zhuǎn)例1正方形中，E為上的一點，F(xiàn)為上的一點，，求∠的度數(shù).證明：將三角形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形則又，，所以三角形全等于所以∠∠∠∠∠∠又∠∠∠90所以∠45度例2D為等腰斜邊的中點，⊥分別交于點。(1)當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證。(2)若2，求四邊形的面積。解：(計算數(shù)值法)（1）連接，D為等腰斜邊的中點，故有⊥，＝平分∠＝90°，∠＝∠＝45°由于⊥，有∠＝90°由于⊥，有∠＝90°從而∠＝∠＝故有△≌△（）故有（2）S△2,S四S△1例3如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交于點M，交于點N，連接，則的周長為；解：(圖形補全法,“截長法”或“補短法”,計算數(shù)值法)的延長線及的延長線交于點F，在線段上取點E，使＝∵△為等邊三角形，△為等腰三角形，且∠120°，

∴∠∠∠60°+30°=90°，

∠180°-∠180°-∠90°，

又∵，，

∴△≌△，

∴∠∠，，

∠∠∠∠∠∠∠120°-60°=60°，

∵在△和△中，

∠∠60°∵在△和△中，

∠60°-

∠60°-

∠∠(∠∠)

∠∠30°的周長為6應(yīng)用：1,已知四邊形中，，，，，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種狀況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請賜予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．（圖（圖1）（圖2）（圖3）2,（西城09年一模）已知4,以為一邊作正方形,使P,D兩點落在直線的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠45°時,求及的長;(2)當(dāng)∠變化,且其它條件不變時,求的最大值,及相應(yīng)∠的大小.3,在等邊的兩邊,所在直線上分別有兩點M,N，D為外一點，且EMBEDEquation.3.探究：當(dāng)M,N分別在直線,上移動時，,,之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q及等邊的周長L的關(guān)系．圖1圖2圖3（=1\*I）如圖1，當(dāng)點M,N邊,上，且時，,,