重慶市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期2月月考試題數(shù)學(xué)

2024年重慶一中高2024屆2月月考數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上．2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B.的虛部為C. D.3.已知直線和直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知數(shù)列滿足，，則的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.5.已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A B. C. D.6.已知雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖所示，一鏡面的軸截面圖是雙曲線的一部分，是它的一條對(duì)稱軸，是它的左焦點(diǎn)，光線從焦點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過鏡面上點(diǎn)，反射光線為，若，，則該雙曲線的離心率為（）A2 B. C. D.7.已知定義在上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.用四種不同顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（）A.120 B.72 C.48 D.24二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.關(guān)于函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)為10.下列說法中，正確的是（）A.若隨機(jī)變量，且，則B.一組數(shù)據(jù)6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位數(shù)為16C.盒子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)黃球和3個(gè)藍(lán)球，從袋中有放回地依次抽取2個(gè)球，第一次抽到藍(lán)球的情況下第二次也抽到藍(lán)球的概率為D.設(shè)隨機(jī)事件，，已知事件發(fā)生的概率為0.3，在發(fā)生的條件下發(fā)生的概率為0.4，在不發(fā)生的條件下發(fā)生的概率為0.2，則發(fā)生的概率為0.2611.已知定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)，，，，則下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.D.函數(shù)有8個(gè)不同零點(diǎn)12.在正方體中，，為中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部一點(diǎn)（不含邊界），則下列說法正確的是（）A.平面平面B.平面內(nèi)存在一條直線與直線成角C.若到邊距離為，且，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分D.以的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)，則______．14.已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為______．15.已知，，，，且，則的最小值為______．16.已知，若在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，，，．（1）若，求的值；（2）若，求的面積．18.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，，，．（1）證明：平面；（2）若四棱錐的體積為4，求直線與平面所成夾角的正弦值．19.已知數(shù)列每一項(xiàng)都不為，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20.當(dāng)前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認(rèn)為是推動(dòng)未來社會(huì)發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個(gè)領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬(wàn)元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表．12345611.53612（1）公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（計(jì)算過程保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）（2）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測(cè)年投入額為百萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的銷售量是多少?經(jīng)驗(yàn)回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，．21.已知，．（1）若在處的切線也與的圖象相切，求的值；（2）若在恒成立，求的取值集合．22.在平面直角坐標(biāo)系中，過直線上任一點(diǎn)作該直線的垂線，，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過向圓引兩條切線，與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．（i）證明：直線與圓也相切；（ii）求周長(zhǎng)的最小值．2024年重慶一中高2024屆2月月考數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上．2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過解不等式求得集合，進(jìn)而判斷出正確答案.【詳解】，解得或，所以或.，解得或，所以或.所以，B選項(xiàng)正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列說法正確的是（）A.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B.的虛部為C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由兩邊乘以得，，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，的虛部為，，，所以C選項(xiàng)正確，ABD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C3.已知直線和直線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行滿足的系數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】若直線和直線平行，則，解得，所以“”是“”的充要條件，故選：A4.已知數(shù)列滿足，，則的前項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷出數(shù)列的周期性，從而求得正確答案.【詳解】依題意，數(shù)列滿足，，，，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，，所以的前項(xiàng)和為.故選：D5.已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量、向量數(shù)量積等知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以為鈍角，且.故選：A6.已知雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖所示，一鏡面的軸截面圖是雙曲線的一部分，是它的一條對(duì)稱軸，是它的左焦點(diǎn)，光線從焦點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過鏡面上點(diǎn)，反射光線為，若，，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡(jiǎn)求得雙曲線的離心率.【詳解】以所在直線為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，依題意可知直線過，依題意，，，則，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)雙曲線的方程為，，由，解得（負(fù)根舍去），由于，所以，，兩邊除以得，解得（負(fù)根舍去）.故選：C7.已知定義在上的函數(shù)，若存在，使得對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)有最小值列不等式來求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，.，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，沒有最小值，不符合題意，所以，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若存在，使得對(duì)任意，都有，則，即.故選：D8.用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（）A.120 B.72 C.48 D.24【答案】A【解析】【分析】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，先分類再分步即可求解．【詳解】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當(dāng),顏色相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，②當(dāng),顏色不相同時(shí)涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.關(guān)于函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)為【答案】ACD【解析】【分析】代入即可驗(yàn)證對(duì)稱中心，即可判斷A，根據(jù)周期公式即可判斷B，根據(jù)整體法即可判斷C，根據(jù)函數(shù)的伸縮平移變換即可求解D.【詳解】由于，所以，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確，函數(shù)的最小正周期為，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故C正確，將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，得到，再把圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)為，D正確，故選：ACD10.下列說法中，正確的是（）A.若隨機(jī)變量，且，則B.一組數(shù)據(jù)6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位數(shù)為16C.盒子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)黃球和3個(gè)藍(lán)球，從袋中有放回地依次抽取2個(gè)球，第一次抽到藍(lán)球的情況下第二次也抽到藍(lán)球的概率為D.設(shè)隨機(jī)事件，，已知事件發(fā)生的概率為0.3，在發(fā)生的條件下發(fā)生的概率為0.4，在不發(fā)生的條件下發(fā)生的概率為0.2，則發(fā)生的概率為0.26【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布、百分位數(shù)、條件概率、全概率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以第百分位數(shù)是，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由于抽取的方式是有放回，所以“第一次抽到藍(lán)球”與“第二次抽到藍(lán)球”是相互獨(dú)立事件，所以第一次抽到藍(lán)球的情況下第二次也抽到藍(lán)球的概率為，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)，，，，則下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.D.函數(shù)有8個(gè)不同零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性、零點(diǎn)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱；是偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于直線對(duì)稱；關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，直線關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱直線為，所以關(guān)于直線對(duì)稱，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤.所以，所以是周期為的周期函數(shù)，A選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.當(dāng)，，，，，解得，所以，，令得，，畫出和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有個(gè)交點(diǎn)，所以有個(gè)零點(diǎn)，所以D選項(xiàng)正確故選：ACD12.在正方體中，，為的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部一點(diǎn)（不含邊界），則下列說法正確的是（）A.平面平面B.平面內(nèi)存在一條直線與直線成角C.若到邊距離為，且，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分D.以的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，到平面的距離的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】A.利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，再結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可證明；B.首先求直線與平面所成角的正弦值，再與臨界值比較，即可判斷；C.結(jié)合幾何關(guān)系，根據(jù)拋物線的定義，即可判斷；D.首先求點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合幾何關(guān)系，求解點(diǎn)到平面距離的最值.【詳解】A.如圖，連結(jié)，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，且平面，所以平面，且平面，所以平面平面，故A正確；B.將正方體中，分離出四棱錐，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，，，即，則與平面所成角的最小值是，，所以，因?yàn)榫€面角是線與平面內(nèi)的線所成的最小角，所以平面內(nèi)不存在一條直線與直線成角，故B錯(cuò)誤；C.如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，平面，作于點(diǎn)，則因?yàn)?，則，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離和點(diǎn)到的距離相等，即可點(diǎn)形成的軌跡是拋物線，故C正確；D.連結(jié)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓，易知，由，知，，且平面，所以平面,平面，所以平面平面，，如圖，與圓的交點(diǎn)分別為，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離分別取得最大值和最小值，且距離的最大值為,距離的最小值為,所以點(diǎn)到平面的距離的取值范圍是，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵是D選項(xiàng)的判斷，而D選項(xiàng)的關(guān)鍵判斷，需結(jié)合線面的位置關(guān)系，首先判斷點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合幾何關(guān)系，判斷點(diǎn)到平面距離的最值.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)，則______．【答案】【解析】【分析】利用賦值法求得正確答案.【詳解】由，令，得，令，得，所以.故答案為：14.已知點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先求得點(diǎn)的軌跡方程，然后根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】設(shè)，由得，即，即，也即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以點(diǎn)和點(diǎn)距離的最小值為.故答案為：15.已知，，，，且，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得，利用基本不等式即可求值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào).所以.故答案為：16.已知，若在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】，要使在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，首先，即；其次由得，由得，，由于在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則，解得.若，則，解得.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：首先需要化簡(jiǎn)的解析式，利用的是三角恒等變換的知識(shí)，將三角函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為的形式，然后由以及三角函數(shù)的性質(zhì)來列不等式來對(duì)問題進(jìn)行求解.四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，，，，．（1）若，求的值；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理等知識(shí)求得.（2）先求得，判斷出三角形是等腰直角三角形，從而求得三角形的面積.【小問1詳解】由和正弦定理得，若，由余弦定理得，即，即.【小問2詳解】若，則，由于，所以,所以為銳角，且，則，所以，所以，三角形是等腰直角三角形，.18.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，，，．（1）證明：平面；（2）若四棱錐的體積為4，求直線與平面所成夾角的正弦值．【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）通過證明，結(jié)合來證得平面.（2）根據(jù)四棱錐的體積求得，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面所成夾角的正弦值．【小問1詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于，所以，所以，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，且直線與直線相交，所以平面.【小問2詳解】過作，垂足為，過作，垂足為，則四邊形是矩形，，所以，依題意，由于平面，平面，所以，則兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則.19.已知數(shù)列每一項(xiàng)都不為，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用進(jìn)行分析，從而求得正確答案.（2）對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)分組求和法求得正確答案.小問1詳解】依題意，，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，①②得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，時(shí)有：，也符合上式.所以.20.當(dāng)前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認(rèn)為是推動(dòng)未來社會(huì)發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個(gè)領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬(wàn)元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表．1234561153612（1）公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請(qǐng)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（計(jì)算過程保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）（2）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測(cè)年投入額為百萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的銷售量是多少?經(jīng)驗(yàn)回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，．【答案】（1），（2）②的擬合效果好，預(yù)測(cè)銷售量是千件【解析】【分析】（1）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法求得正確答案.（2）通過計(jì)算決定系數(shù)確定擬合效果較好的方案，并由此進(jìn)行預(yù)測(cè).【小問1詳解】，所以，所以.由，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得，即，，所以，所以.【小問2詳解】，對(duì)于，；對(duì)于，，所以②的擬合效果好，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)值千件.21.已知，．（1）若在處的切線也與的圖象相切，求的值；（2）若在恒成立，求的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求得在處的切線方程，再根據(jù)直線與的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，求得的值；（2）根據(jù)必要性可求得，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，計(jì)算即可求解.【小問1詳解】由已知，則，又，所以切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程為，又，設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以，解得；【小問2詳解】設(shè)，則，必要性：因?yàn)椋瘮?shù)在的左右均大于等于，所以是極值點(diǎn)，所以，所以；充分性：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，即單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，故實(shí)數(shù)的取值集合為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，利用點(diǎn)斜式表示切線方程，若無切點(diǎn)，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，列出方程即可；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問題，由必要性求得參數(shù)的值，然后證明充分性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值.22.在平面直角坐標(biāo)系中，過直線上任一點(diǎn)作該直線的垂線，，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過向圓引兩條切線，與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．（i）證明：直線與圓也相切；（ii）求周長(zhǎng)最小值．【答案】（1）（2）（i）證明見解析（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得