07（2024新題型）-2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）黃金卷07（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，故，故選：A2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式得或，記，因?yàn)锳B，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A3．已知橢圓：的長軸長是短軸長的3倍，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，所以，則離心率.故選：B.4．已知向量，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在上的投影向量為，故選A5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，所以，故構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，即，故選C6．在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：種；每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型的計(jì)算公式，每個(gè)地區(qū)至少安排1名專家的概率為：.故選：B.7．我圓古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時(shí)介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)大正方形的邊長為，則直角三角形的直角邊分別為，因?yàn)槭侵苯侨切屋^小的銳角，所以，可得，則，即，所以，解得或（舍去），所以，故選C.8．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為e，直線分別與C的左?右兩支交于點(diǎn)M，N.若的面積為，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】D【解析】連接，有對稱性可知：四邊形為平行四邊形，故，，，由面積公式得：，解得：，由雙曲線定義可知：，在三角形中，由余弦定理得：，解得：，所以，解得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A． B．若，則復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．若，則的最大值為2【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)，故，則，，故成立，故A正確，對于B，，，顯然復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故B正確，對于C，易知，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，對于D，若，則，而，易得當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，故D正確.故選：ABD10．將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，下列關(guān)于的說法正確的是（

）A．關(guān)于對稱B．當(dāng)時(shí)，關(guān)于對稱C．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D．若在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABC【解析】，當(dāng)時(shí)，得，，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的最小值，所以關(guān)于對稱，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，得，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；由，得，由于在上有三個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC．11．已知函數(shù)滿足：①對任意，；②若，則.則（

）A．的值為2 B．C．若，則 D．若，則【答案】ABC【解析】對于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但這與②若，則矛盾，所以只能，故A正確；對于B，令，結(jié)合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正確；對于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正確；對于D，取，則且單調(diào)遞增，滿足，但，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】40【解析】依題意，的展開式的通項(xiàng)為，令可得.故常數(shù)項(xiàng)為.13．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為4、6，高為，則正四棱臺的體積為，外接球的半徑為.【答案】【解析】根據(jù)題意易知該棱臺的上、下底面積分別為：，所以正四棱臺的體積為；連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)外接球的球心在線段延長線上，設(shè)，外接球半徑為R，則，因?yàn)椋?、下底面邊長分別為4、6，則，，所以當(dāng)外接球的球心在線段延長線上，顯然不合題意；當(dāng)球心在線段之間時(shí)，則，同上可得，，不符舍去．14．定義：為實(shí)數(shù)中較大的數(shù)．若，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)，則由題意可得，因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，只需考慮，所以，，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；②當(dāng)時(shí)，，只需考慮，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.綜上所述，的最小值為2.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（本小題滿分13分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值．【解】（1）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，令，得，令時(shí)，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.16．（本小題滿分15分）如圖，在五面體中，底面為平行四邊形，平面，為等邊三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【解】（1）不妨設(shè)，則，在平行四邊形中，，，，連接，由余弦定理得，即，，.又，，，平面，又平面.平面平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，，由（1）易知平面，且.如圖，以為原點(diǎn)，分別以射線所在直線為軸，豎直向上為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，所以平面與平面夾角的余弦值.17．（本小題滿分15分）已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實(shí)中隨機(jī)抽取了50個(gè)軟籽石榴，按質(zhì)量（單位：）將它們分成5組：，，，，得到如下頻率分布直方圖.

(1)用樣本估計(jì)總體，求該品種石榴的平均質(zhì)量；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)按分層隨機(jī)抽樣，在樣本中，從質(zhì)量在區(qū)間，，內(nèi)的石榴中抽取7個(gè)石榴進(jìn)行檢測，再從中抽取3個(gè)石榴作進(jìn)一步檢測.（?。┮阎槿〉?個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；（ⅱ）記這3個(gè)石榴中質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解】（1）該品種石榴的平均質(zhì)量為，所以該品種石榴的平均質(zhì)量為.（2）由題可知，這7個(gè)石榴中，質(zhì)量在，，上的頻率比為，所以抽取質(zhì)量在，，上的石榴個(gè)數(shù)分別為2，2，3.（ⅰ）記“抽取的3個(gè)石榴不完全來自同一區(qū)間”，“這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間”，則，，所以，即這3個(gè)石榴恰好來自不同區(qū)間的概率為.（ⅱ）由題意的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123所以.18．（本小題滿分17分）已知拋物線：，直線，且點(diǎn)在拋物線上．(1)若點(diǎn)在直線上，且四點(diǎn)構(gòu)成菱形，求直線的方程；(2)若點(diǎn)為拋物線和直線的交點(diǎn)（位于軸下方），點(diǎn)在直線上，且四點(diǎn)構(gòu)成矩形，求直線的斜率．【解】（1）由題意知，設(shè)直線．聯(lián)立得，則，，則的中點(diǎn)在直線上，代入可解得，，滿足直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線的方程為，即．

（2）當(dāng)直線的斜率為或不存在時(shí)，均不滿足題意．由得或（舍去），故．方法一：當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線．聯(lián)立得，所以．所以．同理得．由的中點(diǎn)在直線上，得，即．令，則，解得或．當(dāng)時(shí)，直線的斜率；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．所以直線的斜率為．方法二：設(shè)，線段的中點(diǎn)，則．由，得，即．所以．又，故可轉(zhuǎn)化為，即．解得或．所以直線的斜率．當(dāng)時(shí)，斜率不存在；當(dāng)時(shí)，斜率．所以直線的斜率為．

19．（本小題滿分17分）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用．設(shè)，，，是直線上互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn)，則稱（分式中各項(xiàng)均為有向線段長度，例如）為，，，四點(diǎn)的交比，記為．(1)證明：；(2)若，，，為平面上過定點(diǎn)且互異的四條直線，，為不過點(diǎn)且互異的兩條直線，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，與，，，的交點(diǎn)分別為，，，，證明：；(3)已知第（2）問的逆命題成