2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識點分類）分式方程的應(yīng)用

分式方程的應(yīng)用22．（2023?通遼）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數(shù)相同．（1）求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．【答案】（1）每臺A型機器人每天搬運貨物90噸，每臺B型機器人每天搬運貨物100噸；（2）購買A型機器人12臺，B型機器人18臺時，購買總金額最低是50.4萬元．【分析】（1）設(shè)每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x＋10）噸，根據(jù)“A型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器人每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同”列方程即可得解；（2）先根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再根據(jù)題意列出一次函數(shù)解析式，利用次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【解答】解：（1）設(shè)每臺A型機器人每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器人每天搬運貨物（x＋10）噸，由題意得：450x解得：x＝90，當(dāng)x＝90時，x（x＋10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x＋10＝90＋10＝100，答：每臺A型機器人每天搬運貨物90噸，每臺B型機器人每天搬運貨物100噸；（2）設(shè)購買A型機器人m臺，購買總金額為w萬元，由題意得：90m＋100(30?m)≥28801.5m＋2(30?m)≤55解得：10≤m≤12，w＝1.2m＋2（30－m）＝－0.8m＋60；∵－0.8＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝12時，w最小，此時w＝－0.8×12＋60＝50.4，∴購買A型機器人12臺，B型機器人18臺時，購買總金額最低是50.4萬元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出題目中的相等關(guān)系，不等關(guān)系列出分式方程，一元一次不等式組及列出一次函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．分式方程的應(yīng)用19．（2023?長春）隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作3000個“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實際平均每天完成的數(shù)量是原計劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，問原計劃平均每大制作多少個擺件？【答案】200個擺件．【分析】設(shè)原計劃平均每天制作x個擺件，根據(jù)“結(jié)果提前5天完成任務(wù)”列分式方程，求解即可．【解答】解：設(shè)原計劃平均每天制作x個擺件，根據(jù)題意，得3000x解得x＝200，經(jīng)檢驗，x＝200是原方程的根，且符合題意，答：原計劃平均每天制作200個擺件．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意并能根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．分式方程的應(yīng)用21．（2023?宜昌）某校學(xué)生去距離學(xué)校12km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，汽車的速度是（）A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min【答案】D【分析】設(shè)學(xué)生的速度為xkm/min，根據(jù)一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達．列出方程，即可求解．【解答】解：設(shè)學(xué)生的速度為xkm/min，由題意可得：12x?20解得：x＝0.3，經(jīng)檢驗：x＝0.3是原方程的解，且符合題意；∴2x＝0.6（km/min），故選：D．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．分式方程的應(yīng)用13．（2023?廣東）某學(xué)校開展了社會實踐活動，活動地點距離學(xué)校12km，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10min，求乙同學(xué)騎自行車的速度．【答案】乙騎自行車的速度為0.2km/分．【分析】設(shè)乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，根據(jù)題意得12x?10解得x=1經(jīng)檢驗，x=1答：乙騎自行車的速度為0.2km/分．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．14．（2023?荊州）荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進A，B兩種文創(chuàng)飾品對游客銷售．已知1400元采購A種的件數(shù)是630元采購B種件數(shù)的2倍，A種的進價比B種的進價每件多1元，兩種飾品的售價均為每件15元；計劃采購這兩種飾品共600件，采購B種的件數(shù)不低于390件，不超過A種件數(shù)的4倍．（1）求A，B飾品每件的進價分別為多少元？（2）若采購這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購A種超過150件時，A種超過的部分按進價打6折．設(shè)購進A種飾品x件，①求x的取值范圍；②設(shè)計能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤．【答案】（1）A種飾品每件的進價為10元，則B種飾品每件的進價為9元；（2）①120≤x≤210，且x為整數(shù)；②當(dāng)采購A種飾品210件，B種飾品390件，商鋪獲利最大，最大利潤為3630元．【分析】（1）設(shè)A種飾品每件的進價為a元，則B種飾品每件的進價為（a﹣1）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合用1400元采購A種的件數(shù)是630元采購B種件數(shù)的2倍，即可得出關(guān)于a的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出每臺A種電器的進價，再將其代入（a﹣1）中即可求出每臺B種電器的進價；（2）①利用“計劃采購這兩種飾品共600件，采購B種的件數(shù)不低于390件，不超過A種件數(shù)的4倍“列不等式組可得結(jié)論；②設(shè)采購A種飾品x件時的總利潤為w元，分兩種情況：當(dāng)120≤x≤150時，當(dāng)150＜x≤210時，分別表示w與x的關(guān)系式根據(jù)增減性可解答．【解答】解：（1）設(shè)A種飾品每件的進價為a元，則B種飾品每件的進價為（a﹣1）元，由題意得：1400a解得：a＝10，經(jīng)檢驗，a＝10是所列方程的解，且符合題意，a﹣1＝9，答：A種飾品每件的進價為10元，則B種飾品每件的進價為9元；（2）①由題意得：600?解得：120≤x≤210，∴購進A種飾品件數(shù)x的取值范圍為：120≤x≤210，且x為整數(shù)；②設(shè)采購A種飾品x件時的總利潤為w元，當(dāng)120≤x≤150時，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，∵﹣1＜0，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝120時，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，當(dāng)150＜x≤210時，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，∵3＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝210時，w有最大值是：3×210+3000＝3630，∵3630＞3480，∴w的最大值是3630，此時600﹣x＝600﹣210＝390，即當(dāng)采購A種飾品210件，B種飾品390件，商鋪獲利最大，最大利潤為3630元．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．15．（2023?岳陽）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產(chǎn)業(yè)已經(jīng)成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產(chǎn)量是4800kg，今年龍蝦的總產(chǎn)量是6000kg，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產(chǎn)量去年比今年少60kg，求今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量．【答案】300kg．【分析】設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為xkg，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為（x﹣60）kg，利用養(yǎng)殖面積＝總產(chǎn)量÷平均畝產(chǎn)量，結(jié)合去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為xkg，則去年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為（x﹣60）kg，根據(jù)題意得：6000x解得：x＝300，經(jīng)檢驗，x＝300是所列方程的解，且符合題意．答：今年龍蝦的平均畝產(chǎn)量為300kg．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．分式方程的應(yīng)用13．（2023?樂山）為了踐行習(xí)近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計劃在規(guī)定時間內(nèi)種植梨樹6000棵．開始種植時，由于志愿者的加入，實際每天種植梨樹的數(shù)量比原計劃增加了20%，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．問原計劃每天種植梨樹多少棵？【答案】原計劃每天種植梨樹500棵．【分析】設(shè)原計劃每天種植梨樹x棵，則實際每天種植梨樹（1+20%）x棵，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合實際比原計劃提前2天完成任務(wù)，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)原計劃每天種植梨樹x棵，則實際每天種植梨樹（1+20%）x棵，根據(jù)題意得：6000x解得：x＝500，經(jīng)檢驗，x＝500是所列方程的解，且符合題意．答：原計劃每天種植梨樹500棵．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．分式方程的應(yīng)用23．（2023?濟寧）為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等．（1）A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？（2）該停車場計劃共購買25個A，B型充電樁，購買總費用不超過26萬元，且B型充電樁的購買數(shù)量不少于A型充電樁購買數(shù)量的12【答案】（1）A型充電樁的單價為0.9萬元，則B型充電樁的單價為1.2萬元；（2）購買方案三總費用最少．【分析】（1）設(shè)A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少（x+0.3）萬元，根據(jù)“用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等”列出分式方程，求解即可；（2）設(shè)購買A型充電樁m個，則購買B型充電樁（25﹣m）個，根據(jù)購買總費用不超過26萬元且且B型充電樁的購買數(shù)量不少于A型充電樁購買數(shù)量的12，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m【解答】解：（1）設(shè)A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少（x+0.3）萬元，根據(jù)題意得15x=20x+0.3，解得x＝0.9，經(jīng)檢驗答：A型充電樁的單價為0.9萬元，則B型充電樁的單價為1.2萬元；（2）設(shè)購買A型充電樁m個，則購買B型充電樁（25﹣m）個，根據(jù)題意，得：0.9m+1.2(25?解得：403≤m∵m為整數(shù)，∴m＝14，15，16．∴該停車場有3種購買機床方案，方案一：購買14個A型充電樁、36個B型充電樁；方案二：購買15個A型充電樁、35個B型充電樁；方案三：購買16個A型充電樁、34個B型充電樁．∵A型機床的單價低于B型機床的單價，∴購買方案三總費用最少，最少費用＝16×0.9+1.2×34＝55.2（萬元）．【點評】本題考查了分式的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．分式方程的應(yīng)用18．（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點31分，神州十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6種購買方案；（3）m＝5．【分析】（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出B款文化衫的單價，再將其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的單價；（2）設(shè)購買y件A款文化衫，則購買（300﹣y）件B款文化衫，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不多于14800元且不少于14750元，可列出關(guān)于y的一元一次不等式組，解之可得出y的取值范圍，再結(jié)合y為正整數(shù)，即可得出共有6種購買方案；（3）設(shè)購買300件兩款文化衫所需總費用為w元，利用總價＝單價×數(shù)量，可得出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式，由（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同（即w的值與y值無關(guān)），利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，根據(jù)題意得：500x+10解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）設(shè)購買y件A款文化衫，則購買（300﹣y）件B款文化衫，根據(jù)題意得：50y+40(300?解得：275≤y≤280，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為275，276，277，278，279，280，∴共有6種購買方案；（3）設(shè)購買300件兩款文化衫所需總費用為w元，則w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，∴w的值與y值無關(guān)，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值為5．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于y的函數(shù)關(guān)系式．分式方程的應(yīng)用25．（2023?常德）“六一”兒童節(jié)將至，張老板計劃購買A型玩具和B型玩具進行銷售，若用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，且一個B型玩具的進價是一個A型玩具進價的1.5倍．（1）求A型玩具和B型玩具的進價分別是多少？（2）若A型玩具的售價為12元/個，B型玩具的售價為20元/個，張老板購進A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，則A型玩具最多購進多少個？【答案】（1）A型玩具的進價是10元/個，B型玩具的進價是15元/個．（2）最多可購進A型玩具25個．【分析】（1）設(shè)A型玩具的單價為x元/件．根據(jù)用1200元購買A型玩具的數(shù)量比用1500元購買B型玩具的數(shù)量多20個，列方程即可得到結(jié)論；（2）設(shè)購買A型玩具m個．根據(jù)張老板購進A，B型玩具共75個，要使總利潤不低于300元，列不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)A型玩具的進價為x元/個，則B型玩具的進價是1.5x元/個．由題意得：1200x解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，∴B型玩具的進價為10×1.5＝15（元/個），答：A型玩具的進價是10元/個，B型玩具的進價是15元/個．（2）設(shè)購買A型玩具m個，則購進B型玩具（75﹣m）個．根據(jù)題意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，解得：m≤25，答：最多可購進A型玩具25個．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．分式方程的應(yīng)用2．（2023?煙臺）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠流長，是中華文明的智慧結(jié)晶．《孫子算經(jīng)》、《周髀算經(jīng)》是我國古代較為普及的算書，許多問題淺顯有趣．某書店的《孫子算經(jīng)》單價是《周髀算經(jīng)》單價的34（1）求兩種圖書的單價分別為多少元？（2）為等備“3.14數(shù)學(xué)節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半．由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售，求兩種圖書分別購買多少本時費用最少？【考點】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價是x元，則《孫子算經(jīng)》的單價是34x元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合用600元購買《孫子算經(jīng)》比購買《周髀算經(jīng)》多買5本，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出《周髀算經(jīng)》的單價，再將其代入34（2）設(shè)購買m本《孫子算經(jīng)》，則購買（80﹣m）本《周髀算經(jīng)》，根據(jù)購買的《周髀算經(jīng)》數(shù)量不少于《孫子算經(jīng)》數(shù)量的一半，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)購買這兩種圖書共花費w元，利用總費用＝單價×數(shù)量，可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．【解答】解：（1）設(shè)《周髀算經(jīng)》的單價是x元，則《孫子算經(jīng)》的單價是34x根據(jù)題意得：6003解得：x＝40，經(jīng)檢驗，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴34x=答：《孫子算經(jīng)》的單價是30元，《周髀算經(jīng)》的單價是40元；（2）設(shè)購買m本《孫子算經(jīng)》，則購買（80﹣m）本《周髀算經(jīng)》，根據(jù)題意得：80﹣m≥12解得：m≤160設(shè)購買這兩種圖書共花費w元，則w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），∴w＝﹣8m+2560，∵﹣8＜0，∴w隨m的增大而減小，又∵m≤1603，且∴當(dāng)m＝53時，w取得最小值，此時80﹣m＝80﹣53＝27．答：當(dāng)購買53本《孫子算經(jīng)》、27本《周髀算經(jīng)》時，總費用最少．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)