理論力學-拉格朗日方程

穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束不可解約束可解約束（完整約束）幾何約束運動約束（微分約束）可積不可積非完整約束在一個力學體系中常存在著一些限制各質(zhì)點自由運動的條件，我們把這些條件叫做約束。約束對各質(zhì)點位置限制的條件通?？梢员硎緸榱W體系中質(zhì)點的坐標、速度和時間的方程。5.1.2廣義坐標對于n個質(zhì)點所形成的力學體系，如果有k個幾何約束那么獨立坐標就減小為個。這些獨立坐標的數(shù)目叫做力學體系的自由度。把3n個坐標用s個獨立參數(shù)及t表示這s個獨立參量叫做拉格朗日廣義坐標。在幾何約束情況下，廣義坐標的數(shù)目和自由度的數(shù)目相等。虛位移：不是由于質(zhì)點的運動而實際發(fā)生的，它是所有想象中可能的位移，取決于質(zhì)點在此刻的位置和約束條件。在給定瞬時，力系中各質(zhì)點所作的為約束所允許的、可能發(fā)生的無限小位移實位移和虛位移的區(qū)別:

在任意的t時刻，虛位移可不止一個，在穩(wěn)定約束條件下，實位移是虛位移中的一個，當對于不穩(wěn)定約束，它們并不一致?！?.2虛功原理實位移1.實位移和虛位移質(zhì)點由于運動實際上發(fā)生的位移理想約束條件下，，因此，如果力學體系處于平衡狀態(tài)，則其平衡條件是由上式可知，受有理想約束的力學體系平衡的充要條件是此力學體系的諸主動力在任意虛位移中所作的元功之和等于零。這個關(guān)系叫做虛功原理，也叫虛位移原理。

利用虛功原理可以求解理想約束的力學體系的平衡問題，易簡單求出主動力在平衡時滿足的條件。

5.2.4廣義力由前面討論我們知的虛位移為所以，虛功原理在廣義坐標下的表達式為式中稱之為廣義力。

它和力學體系的自由度數(shù)目相等。應用虛功原理解題的主要步驟是：(1)明確系統(tǒng)的約束類型,看是否滿足虛功原理所要求的條件；(2)正確判斷系統(tǒng)的自由度,選擇合適的廣義坐標；(3)分析并圖示系統(tǒng)受到的主動力；(4)各質(zhì)點坐標表示成廣義坐標的函數(shù)

；(5)求主動力的虛功并令其為零，由此求出平衡條件。

例三：5.2試用虛功原理解3.4題。相同的兩個均質(zhì)光滑球懸在結(jié)于定點的兩根繩上，此兩球同時又支持一個等重的均質(zhì)球，求角、角之間的關(guān)系。

xy123DP1P3P25.3.1達朗伯－拉格朗日原理由n個質(zhì)點所形成的力學體系，根據(jù)牛頓運動定律的表達式可寫為或通過數(shù)學上的移項，將主動力和約束反力引起質(zhì)點的加速度當作慣性力引入，這樣就把動力學問題化為靜力學問題來處理。這種平衡關(guān)系，通常叫做達朗伯原理。5.3拉格朗日方程用虛位移標乘上式，在理想約束下（），可得：這個方程是達朗伯原理和虛功原理的結(jié)合，被稱為達朗伯－拉格朗日方程。

5.3.3基本形式的拉格朗日方程將達朗伯－拉格朗日方程作廣義坐標變換，得：交換上式的求和順序，有上式方括號中的第一項即為廣義坐標的廣義力。第二項稱之為廣義慣性力。

5.3.2拉格朗日關(guān)系式考察由n個質(zhì)點組成的理想約束系統(tǒng)，受有k個完整約束，其廣義坐標數(shù)s=3n-k。第i個質(zhì)點的位矢①將上式對時間求導數(shù)式中廣義坐標對時間的變化率稱為廣義速度。將上式對廣義速度求偏導數(shù)。因和僅是廣義坐標和時間的函數(shù)，與無關(guān)，故得第一個拉格朗日關(guān)系式再將對任一廣義坐標求偏導數(shù)，得：

②另一方面，將位矢直接對求偏導數(shù)后，再對時間求導數(shù)，得：③比較②、③式，可得第二個拉格朗日關(guān)系式對時間t的微商和對廣義坐標的微商可以對易?？紤]第一、第二拉格朗日關(guān)系式，可得：

引入動能函數(shù)慣性力可以寫成所以，廣義坐標形式的達朗伯-拉格朗日原理表達式為：由于的獨立性，可得：這就是拉格朗日方程的基本形式。5.3.4

保守系的拉格朗日方程對保守力系基本形式的拉格朗日方程成為由于勢能不是廣義速度的函數(shù)，即其中V為系統(tǒng)的勢能。所以，（1）式可以寫成引入拉格朗日函數(shù)，代表動能勢能之差可得保守力系下的拉格朗日方程為：（1）解題步驟（1）確定自由度（2）選取廣義坐標（3）寫出用廣義坐標表示的T、V及L的表達式（4）將拉格朗日函數(shù)L代入拉格朗日方程保守力系下的拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)例一：滑輪組：求每個砝碼的加速度例二：用拉格朗日方程求橢圓擺的運動微分方程。例三：在平衡位置令略去高價小量，取5.3.5循環(huán)積分拉格朗日方程在某些特殊情況下，部分第一積分甚易獲得。如果拉格朗日函數(shù)中不顯含某一坐標，此時，保守力系下拉格朗日方程變?yōu)椋杭矗匠?shù)（1）則該坐標就叫循環(huán)坐標。對應于該循環(huán)坐標的積分叫做循環(huán)積分。

拉格朗日方程以質(zhì)點在有心力場的運動為例：質(zhì)點的動能為：勢能故拉格朗日函數(shù)為表達式中不包含θ，因此θ為循環(huán)坐標。由（1）式可直接得出循環(huán)積分5.3.6能量積分

（1）動能的表達式即。式中分別是廣義速度的二次、一次和零次函數(shù)。分別代表上式中的第一項、第二項和第三項。對于穩(wěn)定力學體系，中不含t，因而，上式中第二項、第三項等于零。動能T僅為廣義速度的二次齊次函數(shù)。

歐拉齊次式定理：則拉格朗日函數(shù)可以寫為：（2）廣義能量積分如果系統(tǒng)主動力皆為保守力，且拉格朗日函數(shù)不顯含時間：則主動力為保守力：所以，將上式移項得：即：－廣義能量積分或廣義能量守恒。廣義能量積分變?yōu)椋豪窭嗜蘸瘮?shù)：可推出：對于穩(wěn)定力學體系，有：，，故如果主動力皆為保守力，且拉格朗日函數(shù)中不顯含時間項，則可直接列出廣義能量守恒表達式。稱之為能量積分。例四：

例五：

例六：

5.4哈密頓正則方程5.4.1勒襄特變換設(shè)，則式中我們在這里用x，y作為獨立變量。如果我們把u，y當作獨立變量，則x，v可表示為。這時函數(shù)亦可表示為，該函數(shù)的全微分為：其中

由上式得：

式中。上述推導表明：如果變量由變?yōu)?，則用形式為的函數(shù)才能將用偏微商的形式表示出來，這就是勒襄特變換的基本法則。5.4.2正則方程拉格朗日函數(shù)是及時間t的函數(shù)，由此得出的拉格朗日方程是二階常微分方程組，如果把拉格朗日函數(shù)中的廣義速度換成廣義動量就可以使方程組由二階降到一階，從而使問題簡化。如果通過勒襄特變化，使拉格朗日函數(shù)中的一種獨立變量由變?yōu)椋?，由拉格朗日方程可推出）則應引入新函數(shù)H使對上式全微分得：而拉格朗日函數(shù)的全微分：將上式代入函數(shù)H的全微分表達式中：而H的全微分表達式還可寫為:比較以上兩式，對應項相等，得：

上式中的前兩式通常叫做哈密頓正則方程，簡稱正則方程，而函數(shù)H則叫哈密頓函數(shù)。5.4.3能量積分與循環(huán)積分（1）能量積分

哈密頓函數(shù)對時間的微分可寫為：

得：如H中不顯含t，則因而如為穩(wěn)定約束，可將動能表示為廣義速度的二次齊次函數(shù)，則有：如為不穩(wěn)定約束，則它等于（2）循環(huán)積分

如果哈密頓函數(shù)中不顯含某項，則該項為循環(huán)坐標。

該項所對應的廣義動量。例一：p367-5.22試寫出《理論力學教程》§3.9中拉格朗日陀螺的哈密頓函數(shù)，并由此求出它的三個第一積分。解：（一）拉格朗日陀螺的自由度為選廣義坐標（二）定點轉(zhuǎn)動中拉格朗日陀螺

動能①而②

③

④將代入①式，且

⑤⑥聯(lián)立②③④⑤⑥后求得體系動能因為動能是廣義速度的二次齊次式H中不顯含時間tH＝常數(shù)H中不顯含＝常數(shù)H中不顯含＝常數(shù)1.泊松括號設(shè)§5.6泊松括號和泊松定理

代入得到其中泊松括號若則反之，若則是正則方程的一個運動積分，因為有定義2.泊松定理利用泊松括號，可以從正則方程的兩個積分，求另一個積分若則利用得到于是H不是t的顯函數(shù)時，H=h是正則方程的一個積分，若由泊松定理但故依此類推，可得§5.7哈密頓原理

1.變分運算的幾個法則1）2）但是可見一般不能對易。若則等時變分不等時變分2.哈密頓原理

保守的、完整的力學體系在相同時間內(nèi)，由某一位形轉(zhuǎn)移到另一位形的一切可能運動中，真實運動的主函數(shù)具有穩(wěn)定值。即對于真實運動來講，主函數(shù)的變分為零。由拉氏方程可得但因為稱為作用函數(shù)或主函數(shù)§5.8正則變換1.正則變換的目的和條件由正則方程知，H不含某個對應一個積分。而H中有沒有循環(huán)坐標，與所選坐標系有關(guān)。

如果通過坐標和動量的某種變換，使新的H*中出現(xiàn)一些循環(huán)坐標，而正則方程的形式不變，為正則變換。設(shè)變換后則有定理設(shè)顯含時間t，則正則變換的條件是式中dU為恰當微分，而為用新變量表示的新哈密頓函數(shù)。證明設(shè)有變分因(5.8.2)變?yōu)橛钟?5.8.2)得對