2022年廣東省東莞市市高埗中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2022年廣東省東莞市市高埗中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：﹣=1（a＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，點(diǎn)P（7，2）是平面內(nèi)一定點(diǎn)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線4x+3y+m=0與雙曲線C至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則|AP|+|AF2|的最小值為（）A．2﹣6 B．10﹣3 C．8﹣ D．2﹣2參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線4x+3y+m=0與雙曲線C至多有一個(gè)公共點(diǎn)，得出直線4x+3y+m=0與雙曲線的漸近線方程為y=±x，重合或平行，求出a，再利用雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線C：﹣=1（a＞0），∴雙曲線的漸近線方程為y=±x，∵對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線4x+3y+m=0與雙曲線C至多有一個(gè)公共點(diǎn)，∴直線4x+3y+m=0與雙曲線的漸近線方程為y=±x，重合或平行，∴a=3，∴c=5，∴F1為（﹣5，0），∵P（7，2），∴|PF1|==2，∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|﹣6≥|PF1|﹣6=2﹣6∴|AP|+|AF2|的最小值為2﹣6，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線定義的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．2.命題，則是A.

B.C.

D.參考答案：A略3.函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示．記y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)為y=f′（x），則不等式f′（x）≤0的解集為（）A． B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性【解答】解：由圖象可知，即求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而有解集為[﹣，1]∪[2，3]，故選：A．4.設(shè)集合I＝{1，2，3，4，5}．選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有(

)A．50種

B．49種

C．48種

D．47種參考答案：B略5..直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（

）A. B. C.2 D.4參考答案：D直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，故直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積．故選．6.用反證法證明命題“如果”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是

（

）A

B

C

D參考答案：C略7.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A.0.8 B.0.2 C.0.1 D.0.3參考答案：D【分析】由已知條件可知數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為X=3,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得結(jié)果.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則曲線的對(duì)稱軸為X=3,由可得P(X≤1)=P(X≥5)=0.2，則(1-0.2-0.2)=0.3故選：D【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求在給定區(qū)間上的概率，求解的關(guān)鍵是把所求區(qū)間用已知區(qū)間表示，并根據(jù)對(duì)稱性求解，考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)則不等式的解集為（

）

A．

B、

C、

D、參考答案：A9.通過隨機(jī)詢問100名性別不同的高二學(xué)生是否愛吃零食，得到如下的列聯(lián)表：

男女總計(jì)愛好104050不愛好203050總計(jì)3070100

P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024

其中則下列結(jié)論正確的是（

）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”參考答案：A10.下列命題是真命題的是

A．的充要條件

B．的充分條件C．

D．若為真命題，則為真參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

在多項(xiàng)式的展開式中，其常數(shù)項(xiàng)為__________。參考答案：12.若命題p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，則￢p：．參考答案：?x∈R，x2+x﹣1＜0【考點(diǎn)】特稱命題．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全程命題，寫出命題p的否定￢p即可．【解答】解：根據(jù)特稱命題的否定是全程命題，得命題p：?x∈R，x2+x﹣1≥0，的否定是￢p：?x∈R，x2+x﹣1＜0．故答案為：?x∈R，x2+x﹣1＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特稱命題的否定是全稱命題的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．13.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則的最小值為________________.參考答案：14.由y=sinx，x=0，x=，y=0所圍成的圖形的面積可以寫成．參考答案：【考點(diǎn)】6G：定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】首先利用定積分表示所求面積．【解答】解：由y=sinx，x=0，x=，y=0所圍成的圖形的面積為；故答案為：．15.已知直線，給出下列四個(gè)命題：

(1)直線的傾斜角是；

(2)無論如何變化,直線不過原點(diǎn)；

(3)無論如何變化,直線總和一個(gè)定圓相切；

(4)當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí),它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1；其中正確命題的序號(hào)是

．(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)全填上)參考答案：2,3,4略16.已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為___________．參考答案：【分析】只有不等號(hào)左邊有，當(dāng)為定值時(shí)，相當(dāng)于存在的一個(gè)方向使得不等式成立．適當(dāng)選取使不等號(hào)左邊得到最小值，且這個(gè)最大值不大于右邊．【詳解】當(dāng)為定值時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取最小值，此時(shí)，所以．因?yàn)?，所以，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)且與同向時(shí)取等號(hào)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考察平面向量的最值問題，需要用到轉(zhuǎn)化思想、基本不等式等，綜合性很強(qiáng)，屬于中檔題．

17.已知，且函數(shù)在處有極值，則的最大值為______．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）如圖，在正方體中，設(shè)．M，N分別是，的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的其余弦值；（2）設(shè)P為線段AD上任意一點(diǎn)，求證：．

參考答案：19.設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+4．（Ⅰ）若a是從﹣2、﹣1、0、1、2五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）無零點(diǎn)的概率；（Ⅱ）若a是從區(qū)間[﹣2，2]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）無零點(diǎn)的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；幾何概型．【分析】（Ⅰ）問題等價(jià)于a2+b2＜4，列舉可得基本事件共有15個(gè)，事件A包含6個(gè)基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出圖形，由幾何概型的概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+4無零點(diǎn)等價(jià)于方程x2+2ax﹣b2+4=0無實(shí)根，可得△=（2a）2﹣4（﹣b2+4）＜0，可得a2+b2＜4記事件A為函數(shù)f（x）=x2+2ax﹣b2+4無零點(diǎn)，總的基本事件共有15個(gè)：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含6個(gè)基本事件，∴P（A）=（Ⅱ）如圖，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋ň匦螀^(qū)域）事件A所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳={（a，b）|a2+b2＜4且（a，b）∈Ω}即圖中的陰影部分．∴20.統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：y=x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙兩地相距100千米．（Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（I）把用的時(shí)間求出，在乘以每小時(shí)的耗油量y即可．（II）求出耗油量為h（x）與速度為x的關(guān)系式，再利用導(dǎo)函數(shù)求出h（x）的極小值判斷出就是最小值即可．【解答】解：（I）當(dāng)x=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，要耗油（升）．答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升．（II）當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為h（x）升，依題意得，．令h'（x）=0，得x=80．當(dāng)x∈（0，80）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈（80，120）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）是增函數(shù)．∴當(dāng)x=80時(shí)，h（x）取到極小值h（80）=11.25．因?yàn)閔（x）在（0，120]上只有一個(gè)極值，所以它是最小值．答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．21.已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=﹣1，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離．（Ⅰ）試判斷點(diǎn)P的軌跡C的形狀，并寫出其方程．（Ⅱ）是否存在過N（4，2）的直線m，使得直線m被截得的弦AB恰好被點(diǎn)N所平分？參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，利用拋物線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，從而可求拋物線方程為y2=4x；（Ⅱ）解法一：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m．設(shè)直線m與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，直線m的斜率存在，設(shè)直線m的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，利用，可得結(jié)論；解法二：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m．設(shè)直線m與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，設(shè)直線m的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x，利用y1+y2=4a=4，可得結(jié)論；解法三：假假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m．設(shè)直線m與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，利用點(diǎn)差法求直線的斜率，從而可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，所以點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，…所以方程為y2=4x．…（Ⅱ）解法一：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m．設(shè)直線m與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2），依題意，得．…①當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，不合題意．…②當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y﹣2=k（x﹣4），…聯(lián)立方程組，消去y，得k2x2﹣（8k2﹣4k+4）x+（2﹣4k）2=0，（*）

…∴，解得k=1．…此時(shí)，方程（*）為x2﹣8x+4=0，其判別式大于零，…∴存在滿足題設(shè)的直線m，且直線m的方程為：y﹣2=x﹣4，即x﹣y﹣2=0．…解法二：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m．設(shè)直線m與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2），依題意，得．…易判斷直線m不可能垂直y軸，…∴設(shè)直線m的方程為x﹣4=a（y﹣2），…聯(lián)立方程組，消去x，得y2﹣4ay+8a﹣16=0，…∵△=16（a﹣1）2+48＞0，∴直線與軌跡C必相交．…又y1+y2=4a=4，∴a=1．…∴存在滿足題設(shè)的直線m，且直線m的方程為：y﹣2=x﹣4即x﹣y﹣2=0．…解法三：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m．設(shè)直線m與軌跡C交于A（x1，y1），B（x2，y2），依題意，得．…∵A（x1，y1），B（x2，y2）在軌跡C上，∴有，將（1）﹣（2），得．…當(dāng)x1=x2時(shí)，弦AB的中點(diǎn)不是N，不合題意，…∴，即直線AB的斜率k=1，…注意到點(diǎn)N在曲線C的張口內(nèi)（或：經(jīng)檢驗(yàn)，直線m與軌跡C相交）…∴存在滿足題設(shè)的直線m，且直線m的方程為：y﹣2=x﹣4即x﹣y﹣