初中數學120大招-93 最大角-米勒問題_第1頁
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最大角——米勒問題一、方法突破【問題描述】1471年，德國數學家米勒向諾德爾提出這樣一個問題：如圖，點A、B直線l的同一側，在直線l上取一點P，使得∠APB最大，求P點位置．【問題鋪墊】圓外角：如圖，像∠APB這樣頂點在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角．相關結論：圓外角等于這個角所夾兩條弧的度數差（大減?。┑囊话耄鐖D，．換句話說，對同一個圓而言，圓周角>圓外角．【問題解決】結論：當點P不與A、B共線時，作△PAB的外接圓，當圓與直線l相切時，∠APB最大．證明：在直線l上任取一點M（不與點P重合），連接AM、BM，∠AMB即為圓O的圓外角，∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．∴當圓與直線l相切時，∠APB最大．特別地，若點A、B與P分別在一個角的兩邊，如下圖，則有．（切割線定理）證明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）∴△AOP∽△POB，∴，∴．即可通過OA、OB線段長確定OP長，便知P點位置．二、典例精析例一：練習：如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0）、B（5，0）直線l經過點C（-1，2），點P是直線l上的動點，若∠APB的最大值為45°，求直線l的解析式．【分析】考慮到直線l未知但∠APB的最大值已知為45°，故構造圓．記△ABP外接圓圓心為M點，則∠AMB=2∠APB=90°，故可確定M點位置．根據A（1，0）、B（5，0），不難求得M點坐標為（3，2），連接MC、MP，考慮到圓M與直線CP相切，故MP⊥CP，△CPM是直角三角形．∵MC=4，MP=MA=，∴，即△CPM是等腰直角三角形，易求P點坐標為（1，4），又C點坐標為（-1，2），可求直線l的解析式為y=x+3．三、中考真題對決1.如圖，拋物線與軸交于A（-1，0）、兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線經過點D，BD．（1）求拋物線的表達式；（2）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，∠BPD的度數最大？（請直接寫出結果）【分析】（1）考慮到點D縱坐標與點C相同，為3，代入反比例解析式，可得D點坐標為（2，3），根據A、D坐標可得拋物線解析式：．（2）求t即求P點位置．思路2：切割線定理延長BD交y軸于M點，則當時，∠BPD最大．考慮到B（3，0）、D（2，3

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