2023-2024學年天津市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年天津市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1，%=1+二一(“??2且〃eN"),則這個數(shù)列的第5項是()

an-?

358

A.2B.-C.-D.—

235

【正確答案】D

【分析】根據(jù)遞推公式計算可得答案.

【詳解】因為4=Iq=1+-1-("??2且neTV,),

7

?-l

1IC1131158

所以〃2=1+-=2,?=1÷-=-,a4=?+-=-fa5=l+-=-f

a｝a22ai3a45

故選：D.

a萬

2.已知直線/的傾斜角為子，直線4經過點A(3,2)和8(a,-1),且直線/與4垂直，”的值

為()

A.1B.6C.0或6D.0

【正確答案】D

【分析】求出直線/與4的斜率，利用兩個斜率乘積等于-1即可求解.

【詳解】因為直線/的傾斜角為毛，所以直線/的斜率為tan手=T,且/與4垂直，

所以直線《斜率存在，

由經過點A(3,2)和8(“,-1),所以直線4斜率為二I],

Cl-J

所以二==1,解得：a=O,

a-3

故選：D

3.圓心在X軸上，半徑為2,且過點(1,2)的圓的方程為()

A.X2+y2=4B.(x-l)2+γ2=4C.(x-2)2+y2=4D.(Λ-3)2+√=4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)圓心位置，可設出圓的標準方程，再將點(1,2)代入，即可求得結果.

【詳解】根據(jù)題意，設圓的標準方程為(χ-a∕+y2=4,

將(1,2)代入，求得α=l,

則圓的標準方程為(X-I)2+丁=4,

故選：B.

4.如圖.空間四邊形OABC中，O4=α,OB=Z?,OC=C,點〃在。4上，且滿足OM=2M4,

點N為BC的中點，則MN=()

A.—a——b+-cB,乙+乙」C

232332

11,1

C.—a+—b——cD,二/+L

222322

【正確答案】D

【分析】由H，N在線段。4,BC上的位置，用°,b，C表示OM，ON，進而表示出MN?

2

【詳解】因為OM=2MA，所以OM=

又因為點N為BC的中點，所以ON=T僅+c),

211

所以MN=ON-OM=——a+-b+-c.

322

故選：D.

5.在等比數(shù)列他｝中，T“表示前”項和，若4=2T2+l,?=2T3+1,則公比q等于

A.-3B.-1C.ID.3

【正確答案】D

【詳解】試題分析：因為々=2匚+1,仇=2廠+1兩式相減得4-&=-24，從而求得

)=3.故應選D.

1、等比數(shù)列的定義；2、公式q=S“一S,."〃之2)的應用.

6.拋物線d=!y上的一點用到焦點的距離為1,則點M到X軸的距離是（）

4

17n15C一7

A.—B.—C.1D.一

16168

【正確答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的定義列式求解即可.

【詳解】拋物線/=｝的焦點F（O,J）,準線y=-上，

4k16J16

設點."（々,九），

根據(jù)拋物線的性質得，%+??=ι,解得%=整，

IoIo

則點”到X軸的距離是與，

16

故選：B

7.雙曲線K=I的兩個焦點分別是片,乙，點尸是雙曲線上一點且滿足4PA=60,則

169

△F\PF°的面積為（）

A.25√3B.\6下＞C.9√3D.3√3

【正確答案】C

【分析】設IP用=m,∣P片|=〃，可得帆-〃I=2α=2,△耳PK中再利用余弦定理可得〃如=36,

由面積公式即可求得答案.

【詳解】?-?=∣,所以α=4,b=3,￠=5,

169

P在雙曲線上，^?PFi?=m,∣P7?∣=n,

∣∕zz-∕2∣=24=8①，

由N"P名=60,在心中由余弦定理可得：

L=IM2+|崎_2附||叫COS60,

故IoO=+"-"Ul=（Jmy+〃7/2②，

由①②可得加=36,

.?.直角△/=；P6的面積S=J尸耳HP周SinN可尸瑪=g機〃?sin60=96.

故選：C.

8.己知橢圓C：§■+方=l(a>6>°)的左、右焦點分別為再，工，下頂點為A,直線AB與

橢圓C的另一個交點為B,若BKA為等腰三角形，則橢圓C的離心率為()

A.-B.3C.?D,—

3322

【正確答案】B

【分析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點5坐標，再根據(jù)點在橢圓上，可

得離心率.

【詳解】如圖所示：

因為BKA為等腰三角形，且IA國=|AR="，

又同+忸￡|+|M=4",所以MBl4，

所以IA圖=2優(yōu)回，

過點8作_LX軸，垂足為例，

則AOF2BMF2,

由A(OT),6(G0),得《手3，

Q2A2

因為點區(qū)在橢圓C上，所以9c+二?=1,

4a4b

所以冷，

即離心率e=￡=且，

a3

故選：B.

二、填空題

9.雙曲線片-￡=1的漸近線方程是.

916

4

【正確答案】y=±-χ

【分析】直接由雙曲線的方程求解即可

【詳解】因為雙曲線方程為E-X?=1,

所以雙曲線的漸近線方程為三-耳=0,即y=±gχ,

9163

4

故y=±§x

10.已知圓。:(》-3)2+丫2=/&>0)和圓3：丁+/2一8/+7=0外切，則r=

【正確答案】2

【分析】根據(jù)兩圓外切列方程，化簡求得L

【詳解】圓C的圓心為(3,0),半徑為r.

圓。的圓心為(0,4),半徑為〃4；28=3.

圓心距為=5,

由于兩個圓外切，所以r+3=5nr=2.

故2

11.在空間直角坐標系中，A(l,l,l)?B(2,3,4),平面BCO的一個法向量是(τ,2,l),則點A

到平面BCD的距離為.

【正確答案】√6

?n-AB?

利用點到平面的距離公式d=M("為平面BCO的一個法向量)可求得點A到平面BCD

的距離.

【詳解】由已知條件可得AB=(1,2,3),平面88的一個法向量為〃=(-1,2,1),

?n-AB?∣-l×l+22+3×l∣

j

所以，點A到平面BCO的距離為d=Jrr=瓜.

H√(-l)2+22÷l2

因此，點A到平面BCo的距離為遙.

故答案為.?/e

方法點睛：求點A到平面88的距離，方法如下：

（1）等體積法：先計算出四面體AfiC。的體積，然后計算出48Cr）的面積，利用錐體的體

積公式可計算出點A到平面BCO的距離；

（2）空間向量法：先計算出平面BCO的一個法向量”的坐標，進而可得出點A到平面BCO

k

的距離為d=τ√?

H

12.已知數(shù)列｛%｝的前,項和S,,=則

a∣

?-a2+a3-a4++α209-a2020+a202l=.

【正確答案】2021

【分析】根據(jù)數(shù)列的前"項和公式，可求出?！埃袛鄶?shù)列為等差數(shù)列，據(jù)此將所求式子化

筒即可求出答案.

【詳解】根據(jù)數(shù)列｛%｝的前?項和S,=n2,n∈N*,

當〃=1時，q=S∣=1,

22

當“≥2時，all=S11-S?_|=n-（；2-1）=2n-1,

n=?時也適合上式，

故凡=2〃-1,則｛a,,｝是等差數(shù)列，公差為d=2,

a

故4―出+“3~i++“2019-“2020+°2021=4+1°1°"=2021,

故2021.

三、解答題

13.已知圓￠:/+/=4

（1）求過點P（2,l）且與圓C相切的直線方程；

（2）已知直線x-y-m=O被圓C截得的弦長為20,求實數(shù)m的值.

【正確答案】（l）3x+4y-10=0或χ=2

(2)∕n=±2

【分析】(I)分直線斜率存在和不存在，利用點到直線的距離公式可得答案；

(2)圓心到直線的距離、弦長的一半、圓的半徑利用勾股定理可得答案..

【詳解】(1)當直線斜率存在時，設直線y-ι=%(χ-2),

即?x-γ-2?+l=0,

I-2,k÷11.

圓心go)到直線的距離為，口；=2,

3

解得％=-；，

4

此時直線方程為3%+4y-10=0,

當直線斜率不存在時，直線方程為x=2,此時直線與圓相切，

綜上，所求直線方程為3x+4y-10=0或χ=2.

(2)記圓心(0,0)到直線相=0的距離為"，則d=貴，

又弦長為2&，圓的半徑為2,則1+(Ti)?=??,

解得〃z=±2,所以∕n=±2.

14.如圖，C3J_平面3C跖，四邊形43CQ是矩形，四邊形BeEF為直角梯形，BFCE9

BCLCE,DC=CE=4,BC=BF=2.

(1)求證：AF//平面CQE；

(2)求平面ADE與平面BCEF夾角的大小.

【正確答案】(1)證明見解析

吒

【分析】(1)結合已知條件，建立空間直角坐標系，利用線面平行的判定定理，求出λ＞與平

面COE的一個法向量垂直即可證明；(2)結合已知條件，分別求出平面4%與平面BCE尸的

法向量，然后利用面面角的空間向量公式即可求解.

【詳解】（1）證明：以C為坐標原點，CB'（?和Cb分別為X軸、＞軸和Z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標系：

由已知可得A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),￡(0,4,0),尸(2,2,0),

AF=(0,2,-4)>CB=(2,0,0)-

依題意&為平面8E的一個法向量，

又AF-CB=0,所以AF±CB，又""e平面CDE.

所以A/7/平面CDE

(2)設平面ADE的一個法向量為；;=(χ,y,z),

又ΛB=(-2,0,0)，Z?=(0,4,-4),

ADn=OΓ-2x=0,

則即//n

DEn=O[4y-4z=0.

令y=ι,可得I=(0,1,1)，

依題意(?=(0,0,4)為平面BeEF的一個法向量

設平面ADE與平面BCEF的夾角為。，

,∕^*4ι?ι?n-CD?√2

cosUa=|COS〈〃,zCD)I=——=——,

l∏l∣cb∣2

77'JiJjT

又6e[0,J],所以。=:，即平面ADE與平面BCEF的夾角為

244

15.已知數(shù)列｛%｝中q=1,a,川=2α,,+3,zjeN?

⑴證明：數(shù)列｛4,,+3｝是等比數(shù)列;

⑵若數(shù)歹U圾｝的通項公式為d=("+l)?(%+3),neN?求數(shù)歹∣J｛〃,｝的前〃項和S,；

(3)若cn=log,(α,,+3),求數(shù)列JJ的前”項和Tn.

[c“c“+J

【正確答案】(1)證明見解析

⑵S“=〃”

(3)T=----------

''t"j2"+2

【分析】(1)結合已知條件利用等比數(shù)列定義證明即可；(2)結合(1)中條件，求出也,｝的通項

公式，然后利用錯位相減法求和即可；(3)結合(1)中條件，求出｛%｝的通項公式，然后利用

裂項相消法求和即可.

ci.I÷32Λ+3+3

【詳解】(1)證明：因為?=-?-=2,∕∈N*

4+3??+33

又q+3=4,所以｛q+3｝為首項是4,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由⑴可知,α,,+3=2叫"∈N*,所以d=("+l)2"T,zj∈N*?

則S,,=2?22+3"+4?2"++M?2π+(n+l)?2π+,,

2S,,=2?23+3?24+4?25++n?2,,+l+(n+l)?2π+2,

234

以上兩式相減可得，-Sn=2?2+2+2++2向-5+1)?2"2=T7?2"2,

所以S,,="?2"2

(3)由(1)可知，“"+3=2"","∈N*,所以C"="+l,n∈N"

[_]_J_____1_

從而“向("+1)("+2)n+?n+2'

Tli111111

故44(=-----1------------FH----------------------=----------------.

w2334/1+1n+22〃+2

16.己知橢圓的焦點在X軸上，一個頂點為(0,1),離心率