廣西柳州重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

柳州重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年秋季學(xué)期高一年級(jí)入學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題

（滿分120分考試用時(shí)90分鐘。）

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）

1.如圖中六棱柱的左視圖是（）

Q

皿口皿。

2.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十書(shū)》之一.書(shū)中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，欲知長(zhǎng)

短.引繩度之，余繩四尺五寸：屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還

剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺.問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，則可列方程為（）

A.Q（X+4.5）=x-1B.5(％+4.5)—x+1

C.—-x-4.5D.](%-1)—x+4.5

、r（r1

3.估計(jì)yJ5xA/6—f

Ia

A.4和5之間B,5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

4.為貫徹教育部《大中小學(xué)勞動(dòng)教育指導(dǎo)綱要（試行）》文件精神，某學(xué)校積極開(kāi)設(shè)種植類勞動(dòng)教育課.某班決

定每位學(xué)生隨機(jī)抽取一張卡片來(lái)確定自己的種植項(xiàng)目，老師提供6張背面完全相同的卡片，其中蔬菜類有4

張，正面分別印有白菜、辣椒、曳豆、茄子圖案；水果類有2張，正面分別印有草莓、西瓜圖案，每個(gè)圖案對(duì)

應(yīng)該種植項(xiàng)目.把這6張卡片背面朝上洗勻，小明隨機(jī)抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是（）

1111

A.-B.-C.-D.一

2346

5.經(jīng)過(guò)A（2—3Z?，M,5（4/?+。一1,牡）兩點(diǎn)的拋物線y（x為自變量）與x軸有交點(diǎn)，

則線段長(zhǎng)為（）

A.10B.12C.13D.15

6.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)。（冗2，%）滿足2（匹+々）=丁1+%時(shí)，稱點(diǎn)。（冗2，%）

是點(diǎn)P（和％）的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)片（1,0）,有下列結(jié)論:

①點(diǎn)2（3,8）,Q2（—2,—2）都是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”：

②若直線y=x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）；

③拋物線y=爐-2》-3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)片的“倍增點(diǎn)”；

4^5

④若點(diǎn)6是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”，則RB的最小值是展.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

7.如圖，在正方形ABCD中，。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接BE,BE=BA,連接CE并

延長(zhǎng)，與-4B石的平分線交于點(diǎn)尸，連接若A3=2,則。尸的長(zhǎng)度為（）

8.二次函數(shù)y=依2+Zzx+c（a。0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x=l,下列結(jié)論：（Dabc<0；②方程

依2+法+c=O（awO）必有一個(gè)根大于2且小于3；③若（0,乂），[，％]是拋物線上的兩點(diǎn)，那么％<%；

@1la+2c>0；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)〃z,tPWm[am+b]>a+b,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.2

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，有錯(cuò)選的得0分，部分選對(duì)的得2分.）

9.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的,

故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并1給出了另

外一個(gè)證明，下面四幅圖中，能證明勾股定理的是（)

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A方程必=y的解是y=1

B.方程V—%+1=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為1

C.以—1、2兩數(shù)為根的一元二次方程可記為：X2-X-2=0

D.一元二次方程2d+4x+3m=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和為7,則加=—1

11.如圖，若直線4：%=Ax+6與坐標(biāo)軸交于A（0,l）,兩點(diǎn)，與直線4：、2=-2%+5交于點(diǎn)

p（1.5,?）,直線6交工軸于點(diǎn)c，交y軸于點(diǎn)。.則下列結(jié)論正確的是（）

y=kx+b-%=1.5

A.m=——,n=2的解是《

2y=-2x+5b=2

C.ZXAPD的面積是3D.當(dāng)時(shí)，x<1.5

12.如圖，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,折疊正方形紙片A3CD,使AD落在3D上,

點(diǎn)A恰好與5D上的點(diǎn)E重合，展開(kāi)后，折痕DE分別交AB,AC于點(diǎn)E,G,連接GF,下列結(jié)論正確

的是（）.

A.^AGD=112.5°B.tan/AE￡>=0+1

C.SAAGD=2sAOGDD四邊形AEFG是菱形

三、填空題(共4小題，每題5分，共20分)

13.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

14.若再，%是一元二次方程X?-5x-3=0的兩個(gè)實(shí)根，則為+%2的值為-

15.如圖，直線％=-x+6與拋物線為=gx?+2x—3相交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)8在y軸上，當(dāng)必〉為時(shí)，x

的取值范圍是.

16.如圖，正六邊形A5CDEF的邊長(zhǎng)為2,以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得弧EC、連結(jié)AC、AE,

則圖中陰影部分的面積為.

四、解答題(本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)

17.先化簡(jiǎn)再求值：(a—2『+(a+2)(2—a)—2a(a—2),其中a=0.

18.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AE平分/B4c交于點(diǎn)E,點(diǎn)。在AB上，DELAE,O

是的外接圓，交AC于點(diǎn)尸

(1)求證：是I。的切線；

(2)若。的半徑為10,AC=16,求cos/EM>.

19.直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售,如果按每件

60元銷售，每天可賣出20件.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件.

(1)若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？

(2)每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

20.如圖(1),拋物線丁=一爐+桁+。交x軸于點(diǎn)4(5,0),交y軸于點(diǎn)3(0,5).

(1)求Z?和c的值；

(2)已知點(diǎn)E(%,yj,/(為，%)是拋物線丁=一爐+6%+。上的兩個(gè)點(diǎn)，且%-%2=8，%=%，求此拋

物線的頂點(diǎn)到所的距離；

(3)如圖(2),連接點(diǎn)尸是拋物線y=-d+法+c在線段A3上方部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP,交

0P

線段A3于點(diǎn)Q,設(shè)機(jī)=——，求加的取值范圍.

圖1圖2

2023-2024學(xué)年秋季學(xué)期高一年級(jí)入學(xué)考試

數(shù)學(xué)答案

1.A【詳解】根據(jù)三視圖的概念，可知選項(xiàng)A中的圖形是左視圖，選項(xiàng)C中的圖形是主視圖，選項(xiàng)D中的圖

形是俯視圖，故選A.

2.A【詳解】解：設(shè)木長(zhǎng)x尺，根據(jù)題意得，g(x+4.5)=x—1,故選：A

3.A【詳解】解：石x屈—-==730-1,V25<30<36,<730<736,即5<同<6,

4<a—1<5,故選：A.

4.B【詳解】解：由題意，隨機(jī)抽取一張，共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中水果類卡片的有2種，...小

21

明隨機(jī)抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是一二-,故選：B.

5.B【詳解】解：?.?拋物線丁=—!好+〃―〃+2。的對(duì)稱軸為直線工b

22a

2—3〃+4/?+c*—1

?.?拋物線經(jīng)過(guò)4（2—3瓦加），B（4Z?+c—1,相）兩點(diǎn)，----------------=b,即c=Z?—1,

2

/.y=--x2-\-bx-b2-^-2c=--x2-}-bx-b2+2b-2

22

^-1jx（-Z22+2Z?-2）>0

?拋物線與X軸有交點(diǎn)，，△=〃—4ac20,即4x，即4匕+4K0,即

伍-2）240,

b=2,c=Z?—1=2—1=1,2—3Z>=2—6=—4,4Z?+c—1=8+1—1=8,

AB=4Z?+c—1—（2—3Z?）=8—（T）=12,故選：B.

6.C【詳解】解:①?.?片(1,0)，2(3,8),.?.2(%+9)=2x0+3)=8,%+%=0+8=8

；.2(%+%)=%+%，則Q(3,8)是點(diǎn)片的“倍增點(diǎn)”；

???^(1,0),a(-2,-2),

2(X[+X2)=2X(1-2)=-2,%+%=。一2=—2,2(玉+%)=%+%，

則0(-2;-2)是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”；故①正確，符合題意；

②設(shè)點(diǎn)A(a,a+2),：點(diǎn)A是點(diǎn)耳的“倍增點(diǎn)”，

2x(l+a)=0+a+2,解得:a=0,A(0,2),故②不正確，不符合題意；

③設(shè)拋物線上點(diǎn)。，,r—2t—3)是點(diǎn)片的“倍增點(diǎn)”，.??2(1+。=/—2f—3,整理得：『―4/一5=0,

：△=(-4)2-4x1x(-5)=36>0,

方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即拋物線y=V-2x-3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)片的“倍增點(diǎn)”；

故③正確，符合題意；

④設(shè)點(diǎn)3(加,八)，點(diǎn)5是點(diǎn)6的“倍增點(diǎn)”，；.2(m+1)=〃，〃〃)，4(1,0),

P^B1+n2=(m-1)2+2(m+l)2=5m2+6m+5=5^m+^+g，

,??5>0,二片爐的最小值為g,二.[8的最小值是聘=竽，故④正確，符合題意；

綜上：正確的有①③④，共3個(gè).故選：C.

7.D【詳解】解:如圖，連接Ab,

?.?四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BE=BC,ABC=90°,AC=42AB=272,

:.NBEC=NBCE,

：./EBC=180°-2NBEC,

：.NABE=/ABC—NEBC=2NBEC-90°,

?：3/平分NABE,；.ZABF=ZEBF=-ZABE=ZBEC-45°

2

ZBFE=NBEC-/EBF=45°,

AB=EB

在△BAE與△BEE,iZABF=ZEBF

BF=BF

：.ABAF/ABEF（SAS）,NBFE=NBFA=45°,ANAFC=NBAF+NBFE=90°

???。為對(duì)角線4。的中點(diǎn)，，。歹=工4。=0,故選：D.

2

b

8.C【詳解】解：?.?拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=-二=1,與y軸交于負(fù)半軸，

2a

a>0,b=-2a<0,c<0,/.abc>0；故①錯(cuò)誤；

由圖可知，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：-1〈尤<0,

???拋物線關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

.,.拋物線與％軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：2<x<3,

方程ax2+bx+c=0（a。0）必有一個(gè)根大于2且小于3；故②正確；

：a>0,

...拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

??,（O，X），是拋物線上的兩點(diǎn),且|0—1|〉|一1,???必〉為；故③錯(cuò)誤；

〈a>0,b——2a,.\lla+2c=5a+2a—2b+2c=5a+2^a—b+c^

由圖象知：x=-i,y=a-b+c>Q

:?lla+2c=5a+2（a—Z?+c）>0；故④正確;

tz>0,對(duì)稱軸為直線x=l,???當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)值最小為：a+b+c,

，對(duì)于任意實(shí)數(shù)加，者B有〃加之+人機(jī)+。力〃+b+c,即：+bm>a+b,

m(4zm+Z?)>a+Z?；故⑤正確：綜上：正確的有3個(gè)；故選C.

9.ABC【詳解】A、大正方形的面積為：C2：也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：

19

—6ZZ?X4+(/?-6:)=a2+b2,/.a2+b2-c1,故A選項(xiàng)能證明勾股定理；

B、梯形的面積為：((。+9(。+人)=3(〃+/72)+。/7,也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形

組成，則其面積為：—ab^2+—c2=ab+—c2,ab+—c2=—(^a2+b2^+ab,a1+Z?2=c2,故B選

項(xiàng)能證明勾股定理；

C、大正方形的面積為：(。+32；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：

19

—abx4+c2=lab+c2,+Z?)=2ab+c2,/.a2+b2=c2,故C選項(xiàng)能證明勾股定理；

D、大正方形的面積為：(。+。)2；也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2+b-+2ab,

.,.(a+/?)2="+/+2必，；.口選項(xiàng)不能證明勾股定理.

故選：ABC.

2

10.CD【詳解】解：A.：y2=y,/.y-y=0,即y(y-l)=O,解得：％=0,y2=1

方程/=丁的解是%=0,%=1，不符合題意；

B.VA=(-l)2-4xlxl=-3<0,

，方程/一%+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不符合題意；

hr

C.V--=-l+2=l,-=-lx2=-2

aa

.?.當(dāng)a=l時(shí)，b=-l,c=—2,...以—1、2兩數(shù)為根的一元二次方程可記為d—x—2=0,符合題意；

D.設(shè)一元二次方程2犬+4%+3根=0的兩實(shí)數(shù)根分別為玉，x2,x1+x2=-2f,?.,#+%；=7,

2即(―義券=m=-l,符合題意.故選：

：.(XI+X2)-2XIX2=7,2)2—27,CD.

1LABC【詳解】解：把點(diǎn)尸(1.5,〃)代入4：%=一2%+5,得一2x1.5+5=〃，

???幾=2,?(1.5,2),把A(0,l),尸(1.5,2)代入直線小%=—,

,2

b=l左=_22

得《，解得《3'/[：X=—x+1,把0）代入4：%=—x+1

1.5左+6=2

b=\33

23..

得一根+1=0,.,.機(jī)=—,故A正確，符合題意，

32

..?直線//％=履+6與直線/2：%=-2x+5交于點(diǎn)

y=kx+b|x=1.5

方程組的解是1，故B正確，符合題意;

y=-2x+51y=2

;直線4交V軸于點(diǎn)。，，當(dāng)x=0時(shí)，%=5,/.D（0,5）,：.AD=5-1=4,

S^APD=^-x4xl.5=3,故C正確，符合題意；

由圖可知，當(dāng)％>%時(shí)，x>1.5,故D錯(cuò)誤，不符合題意；

綜上所述：結(jié)論正確的是ABC,故選：ABC.

12.ABD【詳解】解：?.?四邊形ABCD為正方形，；.AB=5C=CD=AD,OA=OC=OB=OD,ACLBD,

/.ZOAD=/ODA=45°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，

NADE=NFDE=-NODA=22.5°,

2

^AGD=180°-^ZMG-^ADG=180°-45°-22.5°=112.5°,故A選項(xiàng)正確，符合題意；

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，NDFE=NDAE=9。。,AE=EF,AD=DF,

：.^BFE=9Q°,?：OA=OB,AOLOB,.../ABO=45°,.?.△BEE為等腰直角三角形，

BF-EF=AE,設(shè)AD=AB=a,則DF=a>BD=y/2a,BF=BD—DF=y[2a—a,

AE=EF=BF=y/2a—a,在RtZXADE中，tan^AED==—T=-=V2+1,故B選項(xiàng)正確,

AEyjla-a

符合題意；由折疊的性質(zhì)可得，AE=EF,AG=FG,NAEG=NFEG,

?：ZDFE=^AOB=90°,EF//AO,:.NFEG=NAGE,:./AEG=/AGE,

鉆=46=方6=W，，四邊形4七7七為菱形，故D選項(xiàng)正確，符合題意；

:四邊形AE戶G為菱形，GF//AB,：.^GFO=ZABO=45°,

/.FG=42OG,/.AG=FG=41OG,

S

???△^AAGCrD/y=2-AGOD=—2OGOD,S△.Cn/vcjZny=-2OGOD

S.AGD=42S.OGD,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.故選：ABD.

13.x>3【詳解】解：由題意得：x-3>0,：.x>3；故答案為x?3.

b

14.5【詳解】解：**x9—5%—3—0,，a=1,b——5，c——3,x^-\-x2———5.

a

15.—6<x<0【詳解】解：因?yàn)橹本€％=—x+6與拋物線為=gx?+2x—3分別交于A,8兩點(diǎn)，令x=0,

則%=-3,；.6點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—3）,則—3=-0+匕，解得b=-3,

、1,

直線的解析式為%——X—3,解方程—x—3=—X+2,x—3,得/=0,X、=—6

A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為—6,0,...當(dāng)/〉當(dāng)時(shí)，-6<x<0,

故答案為：—6<x<0.

8

16.2乃【詳解】解：?.?正六邊形A5CDEF的邊長(zhǎng)為2,A3=BC=2,

(6-2)x180°

/ABC=NBAF=---------------=120°,:ZABC+ZBAC+ZBCA=180°

6

/./BAC=1(180°-/ABC)=1x(180°-120°)=30°,

過(guò)B作BHLAC于H,：.AH=CH

BH=-AB=-x2=l,在RtZ\ABH中，AH=^AB1-BH^=722-12=A/3,AAC=273,同理可

22

證，

ZEAF=30°,：.^CAE=ZBAF-ZBAC-ZEAF=120°-30°-30°=60°,

60.萬(wàn)x(2⑹2

,.◎扇形CAE―360一，

...圖中陰影部分的面積為2萬(wàn)，故答案為：2乃.

17.-2a2+8,4【詳解】解：

一2）-+（。+2）（2-a）-2a（a-2）=片—4。+4+4-。2—2。2+4。=一2a之+8,當(dāng)a=0時(shí)，原式

)2

=-2x(V2+8=4.

18.【詳解】（1）解：連接OE,

'：DELAE,：.ZAED=9Q°,，AD為直徑，AAO=EO=DO,：.Z\=ZAEO,

：4￡平分/朋。，；./1=/2,；./2=/4￡'0,，4?！?石，,/ZC=90°,

OELBC,BC是CO的切線

XQAp

(2)：/l=/2,"=/AED=90°,AAACE^AA￡D,；.—=—,

AEAD

：.AE2=ACAD=16x20=320,:.AE=8下,：.cosZEAD=—==—

AD205

19.(1)每件售價(jià)應(yīng)定為50元

(2)每件售價(jià)定為55元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)450元

【詳解】(1)設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的銷售利潤(rùn)為(X-40)元，

日銷售量為20+失2xl0=(140—2x)件，依題意得：(1—40)(140—2%)=(60—40)x20,整理得:

2

X-110X+3000=0,解得：%=50,x2=60(不合題意，舍去).

答：每件售價(jià)應(yīng)定為50元；

(2)設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元.依題意，得：w=(x-40)(140-2x)

2

整理，得：w=-2x+220%-5600,化成頂點(diǎn)式，得w=—2(x—55了+450,

...當(dāng)x=55時(shí).每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元.

b=49

20.(1)1；(2)頂點(diǎn)C到跖的距離16；(3)l<m<-；

c=5