2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：解三角形

專題10解三角形

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1:正余弦定理綜合應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)3：角平分線'中線、高問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)4:解三角形范圍與最值問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)5:外接圓問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)6：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)7：解三角形中的幾何應(yīng)用

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用

1.(2023?北京)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sin3),貝Ij/C=()

A.—B.—C.—D.—

6336

2.(2023?乙卷(理))在AA3c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若acosB—bcosA=c,且0=生,

貝”=()

A.—B.-C.—D.—

105105

3.(2021?甲卷(文))在AABC中，己知3=120。，AC=M,AB=2,則8c=(

A.1B.72C.V5D.3

4.(2023?上海)已知A/WC中，角A,B,C所對(duì)的邊tz=4,b=5，c=6，貝(1sinA=

5.(2023?天津)在A48C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c.已知。=回，b=2,ZA=120°.

(I)求sinB的值；

(ID求c的值；

(III)求sin(B-C)的值.

6.(2022?天津)在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a="，b=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(2A-B)的值.

7.(2022?乙卷)記A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，h,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2/=從+。2.

8.(2021?天津)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，匕，c,且sinA:sin8:sinC=2:1:,b=正.

(1)求a的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C-^)的值?

9.(2021?上海)已知A、B、C為AABC的三個(gè)內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，a=2,cosC=--.

4

(1)若sinA=2sin3,求b、c；

(2)若cos(A-2)=2,求c.

45

知識(shí)點(diǎn)2:實(shí)際應(yīng)用

10.（2021?甲卷（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位:

m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,B,C三

點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投影A,B',C'滿足NA'C&=45。，440（7=60。.由C點(diǎn)測(cè)得3點(diǎn)

的仰角為15。，88'與CU的差為100；由8點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面AB77的高

度差A(yù)V-CU約為（)(方=1.732)

373C.446D.473

11.（2021?乙卷（理））魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島

的高.如圖，點(diǎn)￡,H,G在水平線AC上,上和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱

為“表高”，EG稱為“表距”，GC和E”都稱為“表目距”，GC與E”的差稱為“表目距的差”，則海

島的高A3=()

表高x表距

表目距的差一

表高X表距表高x表距主所

c表目距的差+表距D.表目距的差一表距

12.（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與水

平面所成夾角為。.行人每沿著斜坡向上走1,“消耗的體力為（1.025-cos。），欲使行人走上斜坡所消耗的總

體力最小，則6=.

13.（2021?浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中

間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別為3,4,記大正方形的

面積為S1,小正方形的面積為&，則s?=

知識(shí)點(diǎn)3:角平分線、中線、高問(wèn)題

14.（2023?甲卷（理））在AA8C中，ZBAC=60°.AB=2,BC=-^>,D為BC上一點(diǎn)、,AD為NB4c的

平分線，則AD=.

15.（2021?浙江）在AA8C中，ZB=60°,AB=2,例是3c的中點(diǎn)，AM=20,貝ijAC=

2x/13.

16.（2023?新高考H）記AA3c的內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知AA8C面積為6，D為

3C的中點(diǎn)，且AD=1.

（1）若ZADC=—?求tanB;

3

（2）若從+。2=8,求b,c.

17.(2023?新高考I)已知在AABC中，A+B=3C,2sin(4-C)=sin8.

(1)求sinA;

(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

18.(2021?北京)在AABC中，c=2bcosB,ZC=一.

3

（I）求Nfi；

（1【）在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使A4BC存在且唯一確定，并求8C邊

上的中線的長(zhǎng).

條件①c=42b；

條件②AAB。的周長(zhǎng)為4+2G；

條件③AABC的面積為述.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第（H）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

知識(shí)點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題

AC

19.（2022?甲卷（理））已知AABC中，點(diǎn)D在邊3c上，ZADB=120°.AD=2,CD=2BD.當(dāng)空取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

20.（2022?上海）如圖，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,。為他中點(diǎn)，曲線8上任一點(diǎn)到O距

離相等，角NZMB=NABC=120。，P,Q關(guān)于對(duì)稱，MOVAB-.

（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求NPO3的大??；

（2）P在何位置，求五邊形MQA2P面積S的最大值.

21.（2022?新高考I）記A48C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知8sA=sin28

1+sinA1+cos28

(1)若C=2~,求8；

3

(2)求七夕的最小值?

c~

知識(shí)點(diǎn)5:外接圓問(wèn)題

22.(2022?上海)已知在A4BC中，ZA=-,43=2,AC=3,則AABC的外接圓半徑為

3

知識(shí)點(diǎn)6：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題

23.(2021?乙卷(文))記AA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為G，3=60。，a2+c2=3ac,

貝ljb=.

24.(2022?浙江)在人鉆。中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4〃二辰，cosC=-.

5

(1)求sinA的值；

(II)若力=11,求AA8c的面積.

25.(2022?新高考H)記A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三

個(gè)正三角形的面積依次為R,邑，S3.已知￡-$2+53=等，sinB=1.

(1)求AABC1的面積；

(2)若sinAsinC=——，求

3

26.(2022*乙卷(理))記AABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明：2/=6+C2；

(2)若〃=5,cosA=—，求AABC的周長(zhǎng).

31

27.（2021?新高考II）在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a,b,c,b=a+\,c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求AABC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)a,使得A48c為鈍角三角形？若存在，求出“的值；若不存在，說(shuō)明理由.

28.(2021?上海)在AABC中，已知a=3,b=2c.

(1)若4=手，求

(2)若2sin3-sinC=l,求@時(shí)?

29.(2022?北京)在AABC中,sin2C=A/3sinC.

(I)求NC；

(II)若b=6,且AABC的面積為6#,求AABC的周長(zhǎng).

30.（2023?乙卷（文））在A43c中，已知NBAC=120。，AB=2,AC=\.

（1）求sinZABC;

（2）若。為3c上一點(diǎn).且N3A￡>=90。，求的面積.

j222

31.(2023?甲卷(理))記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知“+，'一巴=2.

cosA

(1)求兒；

(2)若acosjcosJ=i,求AA8C面積.

acosB+bcosAc

知識(shí)點(diǎn)7：解三角形中的幾何應(yīng)用

32.(2021?新高考I)記AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知。?=ac,點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b\

(2)若AD=2Z)C,求cosNABC.

專題10解三角形

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1:正余弦定理綜合應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)2:實(shí)際應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)3：角平分線、中線'高問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)4:解三角形范圍與最值問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)5:外接圓問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)6：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)7：解三角形中的幾何應(yīng)用

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用

1.(2023?北京)在AABC中，(a+c)(sinA-sinC)=/?(sinA-sin3),則/C=()

2萬(wàn)54

D.

T~6

【答案】B

【解析】由正弦定理‘一="_=—J=2R（R為三角形外接圓半徑）可得:

sinAsinBsinC

.4a

sinA=—,sinB=——,sinC=—

2R2R2R

所以(a+c)(sinA-sinQ="sinA-sinB)可化為(a+c)(a-c)=b(a-h),

即a2+h2-c1=ah,

...8sc=《ijab\

2ab2ab~2

又Cw（0,4）,:.C=—?

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬簡(jiǎn)單題.

2.（2023?乙卷（理））在AABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別是〃，b,c,若acos6-灰2sA=c,且。=工,

5

則NB=()

A.—B.—C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由acosZ?—bcosA=c得sinAcosB—sin3cosA=sinC,

得sin(A-B)=sinC=sin(A+B),

即sinAcosB—sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA,

BP2sinBcosA=0f得sin8cosA=0，

在AABC中，sinBwO,

/.cosA=0,B|M=—,

2

則8=i-A-C=萬(wàn)一四一二=組.

2510

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用正弦定理，兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)

鍵，是中檔題.

3.(2021?甲卷(文))在AA3C中，已知3=120。，AC=y/19,AB=2,則BC=()

A.IB.x/2C.V5D.3

【答案】D

【解析】設(shè)角A,B.C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

結(jié)合余弦定理，可得19=儲(chǔ)+4-2xax2xcosl20°.

即a?+2a—15=0,解得a=3(a=—5舍去)，

所以8c=3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦定理，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題.

4.(2023?上海)已知&WC中，角A,B,C所對(duì)的邊a=4,b=5,c=6,則sinA=.

【答案】—.

4

【解析】a=4,b=5，c=6,

故答案為：互.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2023?天津)在AA8C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知“=屈，b=2,ZA=120°.

(I)求sin3的值；

(II)求c的值；

(III)求sin(B-C)的值.

【解析】(I)a=回，b=2,ZA=120。,

則sin8=4=tX=巫；

?V3913

(II)〃=病，b=2,ZA=120°.

則/=//+c?—?c.cosA=4+f2+2c=39,化簡(jiǎn)整理可得，(c+7)(c—5)=0,解得c=5(負(fù)值舍去);

(111)cosB=Jl-s濘8,

13

c=5,a=回，ZA=120°>

s百

則sinC=*=：Z=￡il

aV3926

故cosC=V1-sin2C=3刑

26

訴I、I，R廠、屈3屈57132739_7瓜

r)］以sin(D-C)=sinBcosC—sinCcosB-x-----------------x--------=y3.

1326261326

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.(2022?天津)在AA5c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=&,b=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(2A-8)的值.

【解析】解(1)因?yàn)閍=",6=2c,cosA=--,

4

,22222

由余弦定理可得cosA二"+｝一"4c+c-6_1

2bc4?~~4

解得：c=1；

(2)cos/4=-—,AG(0,^),所以sinA=J1一cos2A=5Z,

44

由6=2c,可得sin3=2sinC,

由正弦定理可得」一=一乙，即造=—工，

sinAsinCV15sine

丁

可得5訪。=巫，

8

所以sinB=2sinC=2x；

84

(3)因?yàn)閏os4=-1，sinA=^^-,

44

所以sin2A=2sinAcosA=2x(二)x」^=———,cos2A=2cos2A-l=2x—-1=--,

448168

sin8=^^,可得cos3=如，

44

而N.八八4?。人nOA-p而灰，7、而而

所以sin(2A-B)=sm2AcosB-cos2AsmB=-------x-------(——)x------=------,

84848

所以sin(24-8)的值為叵.

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2022?乙卷)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知sinCsin(A-B)=sin3sin(C-A).

(1)若A=23,求C；

(2)證明：2a2=6+/

【解析】(1)illsinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

XA=2B,/.sinCsinB=sinBsin(C-A),

sinBwO,/.sinC=sin(C-A),即。=。一人(舍去)或C+C—A=〃，

A=2B

聯(lián)立，2C-A=;r,解得。=L；

8

A+B+C=7T

證明：(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

得sinCsin/AcosB—sinCeos/AsinB=sinsinCeosA-sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosH—Zx:cosA=bccosA—abcosC,

?AH士說(shuō)-r/日a2+C2-b2Z?2+c2-a2,c^+tr-c2

山余弦定理可得：ac----------------=2bc-------------------ab----------------,

lac2bclab

整理可得：2a2=b2^c\

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

8.（2021?天津）在AABC中，內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b，c,且sinA:sinB:sinC=2:l:&,。=正.

（1）求。的值；

（2）求cosC的值；

（3）求sin（2C-為的值.

【解析】(1)AABC中，sinA:sinB:sinC=2:1:>/2,:.a:b:c=2tl：\[2,

b=V2,a=2h=2\/2,c=\/2Z?=2.

(2)A4BC中，由余弦定理可得cosC="一+U=8十十43.

2ab2x2V2xV24

(3)由(2)RJWsinC=>/l-cos2C=—,

4

3>/yi

/.sin2C=2sinCcosC=-----,cos2C=2cos2C-l=->

88

sin(2C--)=sin2Ccos--cos2Csin—=.

66616

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和的正弦公式的

應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.（2021?上海）已知A、B、。為AABC的三個(gè)內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，a=2,cosC---.

4

(1)若sinA=2sin3,求〃、c；

(2)若cos(A—工)=3,求c.

45

【解析】(1)因?yàn)閟inA=2sin6,可得a=2Z?,

又a=2,可得。=1,

a2b2-c222+\2-C2

由于cosC二+可得c=V^.

2ab2x2x14

(2)因?yàn)閏os(A-工)=^(cosA+sinA)=±,

425

r〃日AA4v5

可得cosA+sinA=------

5

又cos?A+sin2A=1,

可解得cosA=,sinA=,或sinA=,cosA=—

10101010

因?yàn)閏osC=—L,可得sinC=姮，

tanC=-\/\5,可得C為鈍角,

44

若sinA=^^,cosA=,可得tanA=7,可得tanB=-tan（A+C）=tanA+tanC=——Z_——<0?

1010tanAtanC-17x（-V15）-1

可得B為鈍角，這與。為鈍角矛盾，舍去，

所以sinA=立，由正弦定理_2_=^,可得。=也0.

10sinAsinC2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中

的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

知識(shí)點(diǎn)2:實(shí)際應(yīng)用

10.（2021?甲卷（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位:

〃?），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,B,C三

點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投影A,B',C滿足N/VC?=45。，Z4,BV=60°.由。點(diǎn)測(cè)得3點(diǎn)

的仰角為15。，BB'與CC的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C的高

度差A(yù)V-CU約為（)(73=1.732)

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【解析】過(guò)C作于H，過(guò)5作于M,

則NBCH=15°,BH=1(X),ZABM=45°,CH=CB1,A^=BM=AM,BB=MA',ZCA'^=75°

tanNBCH=tan15°=tan(45°-30°)=⑶,Tan300=2_^；sin75°=sin(45°+30°)=—(-^+-)

1+tan45°tan30°222

則在RtABCH中，CH=———=100(2+6),r.C'8'=100(2+6)

tanZBCH

在△A'8(7中，由正弦定理知I,A:ff=————sinNA'CEn100(6+1)，AAM=100(^+1),

sinNC'A'9

AY-CC=AM+BH=100(后+l)+100?373,

故選：B.

M

|8

4日

B'

【點(diǎn)評(píng)】理解仰角的概念，各個(gè)三角形不共面，因此做好輔助線是關(guān)鍵.

11.(2021?乙卷(理))魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島

的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，0E和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱

為“表高”，EG稱為“表距”，GC和￡77都稱為“表目距”，GC與的差稱為“表目距的差”，則海

島的高AB=()

表高x表距表高X表距主立

A.+表高B.表目距的差一表

表目距的差

表高x表距表高x表距

仁表目距的差卡表距D.表目距的差一表距

【答案】A

【解析嚼嚼生=空，故里=嗎,即—^―=—史—

BACAAHCAAE+EHAE+EG+GC

解得AE二""."7,AH=AE+EH,

CG-EH

35DEAHDE（AE+EH）DEAEDEEHDEEG表高x表距

故=---------------------------------1-------------------------+DE=+表高.

EHEHEHEHCG-EH表目距的差

另如圖所示，連接RD并延長(zhǎng)交4?于點(diǎn)

表目距的差GCEHACAHCH

表高x表距表距-罷工AB工AB-AB=BM

表目距的差表目距的差CHCHBHAB

表高AB

表高〉表距

AB=+M4=+表高.

表目距的差

故選：A.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

12.(2023?上海)某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與水

平面所成夾角為6.行人每沿著斜坡向上走1〃?消耗的體力為(1.025-cos。)，欲使行人走上斜坡所消耗的總

體力最小，則6=.

【答案】arccos^.

【解析】斜坡的長(zhǎng)度為/="一，

sin。

上坡所消耗的總體力y=」一*(1.025-cos0)=山石",

sin。sin。

；LL為，—4sin-sin^-(4.1-4cos0)cos0_4-4.1cos9

''兀sitrO——sin20

4040

由y'=0，得4—4.1cos，=0，f#cos0-—，0=arccos—，

.4141

由r(x)>0時(shí)cos6<竺，即arccos”<6v生時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增,

41412

4040

由/'(x)<0時(shí)cos6>—，BP0<<9<arccos一時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

4141

BIJ0=arccos—,函數(shù)取得最小值，即此時(shí)所消耗的總體力最小.

41

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查生活的應(yīng)用問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，是中

檔題.

13.（2021?浙江）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中

間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別為3,4,記大正方形的

面積為加，小正方形的面積為邑，則鳥(niǎo)'=_________.

$2

【解析】,直角三角形直角邊的長(zhǎng)分別為3,4,

???直角三角形斜邊的長(zhǎng)為萬(wàn)百=5,

即大正方形的邊長(zhǎng)為5,R.SL52=25,

則小正方形的面積S?=S-S陰影=25-4xgx3x4=l,

縣=25.

Si

故答案為：25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中的幾何計(jì)算和勾股定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

知識(shí)點(diǎn)3：角平分線、中線、高問(wèn)題

14.（2023?甲卷（理））在AA8C中，ZBAC=60°.AB=2,BC=屈,。為3c上一點(diǎn)，4）為N8AC的

平分線，則4）=.

【答案】2.

【解析】如圖，在A4BC中，AB=2,NB4C=60o,8C="，

由正弦定理可得一^―AB

sinZBAC"sinZACB

9B

,八fABxsinZBAC?四,

sinZ.ACB=-------=—T=-=—,乂=60°,

BC62

/.ZAC8=45°,/.ZABC=180°-45°-60°=75°,

又AD為NBAC的平分線，且N1SAC=60。，

:.ZBAD=3(T,又ZABC=75。，:.ZADB=15°,

：.AD=AB=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形問(wèn)題，正弦定理的應(yīng)用，屬中檔題.

15.(2021?浙江)在AABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn)，AM=20，則AC=

2V13.

【答案】2?2.

13

【解析】在中：AM2=BA1+BM2-2BA-BMcos60°,:.(2>/3)2=22+BM2-2x2-BM--.

2

:.BM2-2BM-8=0,解得：BM=4或一2(舍去).

,點(diǎn)M是8c中點(diǎn)，.?.MC=4,8c=8,在AA8C中：AC2=22+82-2x2x8cos60°=52,AC=2>/13：

(2回+(2何2一422x/39

在A4MC中:cosZMAC=

2x2^x271313

故答案為：2斤;名畫.

13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.(2023?新高考H)記AA3C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知AA8C面積為6，。為

8c的中點(diǎn)，且45=1.

(1)若ZAQC=工，求tan8;

3

(2)若匕2+02=8,求人,c.

【解析】

(1)根據(jù)已知條件，推得過(guò)A作AEJ.8C，垂足為E,依次求出AE,BE,即可求解;

(2)根據(jù)已知條件，求得AE>=g(A8+AC),兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】

(1))。為8C中點(diǎn)，S^BC=6，

過(guò)A作AEJ_3C,垂足為石，如圖所示：

A

BDEC

MDE中，DE=-,AE=—,S=--—CD=—,解得CD=2,

22MCCDD222

:.BD=2,BE=~,

2

顯

故tan8==—；

BE55

2

(2)AD=^AB+AC).

.21°.,

AD=—(c~+Zr+26ccosA),

4)=1,b2+c2=S,

則l=1(8+26ccos4),

4

/.bccosA=—2①，

S^BC=g尻'sin4=6,即人csinA=2百②,

由①②解得tanA=-\/3,

3

:.be=4，又〃2+c*=8,

,'.b=c=2.?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

17.(2023?新高考I)已知在AABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

【解析】(i)?A+3=3C,A+B+C=7T,

:.4C=7T,

c=7

2sin(A-Q=sinB,

2sin(A-C)=sin[/r-(A+C)]=sin(A+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，

/.sinAcosC=3cosAsinC，

V2...V2.

/.——smA=3x——cosA，

22

/.sinA=3cosA,即cosA=-sinA,

3

又?sin2A+cos2A=1,/.sirrA+-sin2A=},

9

解得sin?A=—?

10

又一4￡(0,乃)，.\sinA>0,

.43M

sinA=-------；

10

(2)由(1)可知sinA=3y,cosA=-sinA=,

10310

.A./人一-x廠人?「3710血廂加2石

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsmC=-------x——+------x——=------,

1021025

四二父=匹=工=5百，

、冗

sinCsinBsinAsin—

4

AC=572sinB=572x=2VlO,3c=50xsinA=5&x^^=3石,

510

設(shè)/W邊上的高為〃，

則—AB-h=—xACxBCxsinC?

22

—h=—x2A/10x3A/5x,

222

解得〃=6,

即/IB邊上的高為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.(2021?北京)在A4BC中，c=2Z?cos3,ZC=—.

3

(I)求Zfi；

(II)在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使A4BC存在且唯一確定，并求3c邊

上的中線的長(zhǎng).

條件①c=42b；

條件②AAB。的周長(zhǎng)為4+2G；

條件③AABC的面積為述.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解

答計(jì)分.

［解析1(1)c=2bcosB，

由正弦定理可得sinC=2sin8cos8，即sinC=sin2B，

「2〃

C=—，

3

當(dāng)C=2B時(shí)，8=工，即。+8=乃，不符合題意，舍去，

3

.\C+2B=7T

即8=巳.

6

(II)選①c=行，,

由正弦定理可得

也

-=—=4-=>/3,與己知條件c=J%矛盾，故AA8C不存在,

bsinB1

2

選②周長(zhǎng)為4+2上，

|13：弦定理可得'=上-='=2投,「:二-二2R.

sinAsinBsinC1j.6

22T

：.a=R,b=R,c=￡R,

a+b+c=(2+^3)/?=4+2-^3,

:.R=2,即a=2,b=2,c=2有，

/.AABC存在Fl唯一確定，

設(shè)3c的中點(diǎn)為。，

:.CD=l,

在A4CD中，運(yùn)用余弦定理，AET=AC2+CD1-2AC-C￡>-cosZC,

H[JAD2=4+l-2x2xlx(-l)=7,AD=幣,

.?.8C邊上的中線的長(zhǎng)度近.

選③面積為S4AHe=苧，

A=B=

6

:.a=b，

2

SSBC=—^sinC=—ax—=,解得a=G，

2224

余弦定理可得

AD2=AC2+CD2-2xACxCDxcos—=3+-+V3x—=—,

3424

J21

AD=—.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中

檔題.

知識(shí)點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題

AC

19.(2022?甲卷(理))已知AABC中，點(diǎn)￡>在邊8c上，ZA￡)B=120°,4)=2,CD=2BD.當(dāng)，■取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

【答案】V3-1.

【解析】設(shè)8￡>=x,CD=2x,

在三角形A8中，/>2=4X2+4-2-2X-2-COS60°,可得：b2^4x2-4x+4,

在三角形AB￡)中，c2+4-2-x-2-cosl200,可得：。2=9+2%+4,

要使得如最小，即耳最小，

ABc2

222

b4X-4X+44(X+2X+4)-12X-12,x+1,x+\A12

c2x2+2%+4x2+2x+4X2+2x+4(x+1)2+3一，3

X十1T------------

X+1

qh1

11中x+1H----..2\/3,此時(shí)f..4—2>/3,

x+1c

當(dāng)且僅當(dāng)*+1)2=3時(shí)，即工二石一1或X=—G—1(舍去)，即X=6—1時(shí)取等號(hào),

故答案為：V3—1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理及均值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(2022?上海)如圖，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,O為43中點(diǎn)，曲線8上任一點(diǎn)到。距

離相等，角NZM5=NABC=120。，P,。關(guān)于0M對(duì)稱，MOYAB；

(1)若點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，求NPO8的大??；

(2)P在何位置，求五邊形MQABP面積S的最大值.

【解析】(1)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得。3=10,BC=6,ZABC=120°.

22

山余弦定理可得。尸=OB+BC-2C)BBCCOSZ/1BC=36+100-2X6X10X(-1)=196，

OPBP

所以O(shè)P=14,在AOB尸中，由正弦定理得

sin