高中數(shù)學(xué) 第1章 數(shù)列

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的

1.通過等比數(shù)列性質(zhì)的研究，培養(yǎng)邏輯推

性質(zhì)和由來.

理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.(重點(diǎn))

2.通過學(xué)習(xí)等比中項(xiàng)的概念.提升數(shù)學(xué)

3.掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)

運(yùn)算的素養(yǎng).

用.(難點(diǎn))

1.等比數(shù)列的單調(diào)性

閱讀教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列問題.

對于等比數(shù)列｛a｝,通項(xiàng)公式為=@?尸=亍*Q-根據(jù)指數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性，可分析當(dāng)0>0時(shí)的單調(diào)性如下表:

31,31>0ai<0

Q的范圍0<<7<11=1<7>10<7<1(7=1<7>1

｛a｝的遞減常遞增遞增遞減

常數(shù)列

單調(diào)性數(shù)列數(shù)列數(shù)列數(shù)列數(shù)列

思考：(1)若等比數(shù)列｛,中，a尸書,則數(shù)列｛a｝的單

調(diào)性如何？

［提示］遞減數(shù)列.

(2)等比數(shù)列｛2｝中，若公比q<0,則數(shù)列｛4｝的單調(diào)性如何？

［提示］數(shù)列｛a｝不具有單調(diào)性，是擺動數(shù)列.

2.等比中項(xiàng)

閱讀教材P25練習(xí)2以上最后兩段部分，完成下列問題.

(1)前提：在&與人中間插入一個(gè)數(shù)G,使得a,G,5成等比

數(shù)列.

(2)結(jié)論：6叫作a,5的等比中項(xiàng).

(3)滿足關(guān)系式：曲.

思考：（1）任意兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng)，任意兩個(gè)數(shù)都有等比中

項(xiàng)嗎？

［提示］不是，兩個(gè)同號的實(shí)數(shù)必有等比中項(xiàng)，它們互為相反

數(shù)，兩個(gè)異號的實(shí)數(shù)無等比中項(xiàng).

（2）兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)是唯一的，若兩個(gè)數(shù)H,5存在等比中項(xiàng),

唯一嗎？

［提示］不唯一，如2和8的等比中項(xiàng)是4或一4.

1.已知｛2｝是等比數(shù)列，a2=2,則公比q等于（）

1

A.一~B.-2

乙

1

C.2D.-

乙

1

o411

D［由得"=’=5=石，所以q=［,故選D.］

2.將公比為q的等比數(shù)列｛2｝依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新

的數(shù)列13182,必含，（33&4,…，則此數(shù)列是（）

A.公比為q的等比數(shù)列

B.公比為"的等比數(shù)列

C.公比為/的等比數(shù)列

D.不一定是等比數(shù)列

B［由于&=2義芻里=q?q=d，且〃RN+，所以

1a〃—i

｛a晶+J是以"為公比的等比數(shù)列，故選B.］

3.等比數(shù)列｛4｝中，若a=2,且｛a｝是遞增數(shù)列,則數(shù)列｛為｝

的公比q的取值范圍是.

(1，+8)[因?yàn)閍=2>0,要使｛a｝是遞增數(shù)列，則需公比

q>L]

4.4—2$與4+2小的等比中項(xiàng)是.

2或一2[由題意知4—2餡與4+2第的等比中項(xiàng)為

±-\14-2^34+2^3土，16—12=±2.]

縊______________等__比_中_項(xiàng)_及_應(yīng)_用

【例1】⑴設(shè)x,2x+2,3x+3成等比數(shù)列，則x=

(2)設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù)，若a,b,c成等比數(shù)列，且士，成

abc

等差數(shù)列，則工+%勺值為

ac

(1)-4(2)2[(1)由題意得(2X+2)2=X(3X+3),

x2+5x+4=0,解得x=—1或x=—'4,

當(dāng)x=—1時(shí)，2x+2=0,不符合題意，舍去，

所以x=-4.

(2)由a,b,c成等比數(shù)列，工成等差數(shù)列，得

abc

'K=ac,

21,1故(a—c)2=0,

ac

則片c,所以+=1+1=2」

應(yīng)用等比中項(xiàng)解題的兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)要證三數(shù)H,G,6成等比數(shù)列，只需證明d=助，其中a,

b,G均不為零.

(2)已知等比數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)at,an,2+i,則必是2-與

2+i的等比中項(xiàng)，即成=為一1?a+i,運(yùn)用等比中項(xiàng)解決問題，會大

大減少運(yùn)算過程.

1.(1)已知1既是與方的等比中項(xiàng)，又是1與1的等差中項(xiàng),

ab

則算了的值是()

A.1或1B.1或一；

乙乙

C.1或;D.1或一J

OO

(2)已知等比數(shù)列｛a｝的前三項(xiàng)依次為a-1,H+1,a+4,則

（3）1i

72-1

⑴D（2）4X-[⑴由題意得，3方=（必2=],一+2,

⑷ab

所叱3.b^—一1,或，3,b^—1—,2.

打T-h1

因此的值為1或一1.

a+b3

(2)由已知可得(a+1)2=(a—1)(a+4),

解得a=5,所以a=4,為=6,

二匚I”463

所以片廠廠5'

⑶

所以a?=4X5"7]

展型2~等比數(shù)列的設(shè)法與求解

【例2】已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，它們的

積是一8,后三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，它們的積是一80,則這四個(gè)

數(shù)為.

4

1,—2,4,10或一三，—2,—5,—8］由題意設(shè)此四個(gè)數(shù)分

5

b

別為b,bq,a,則^=—8,解得5=—2,q與H可通過解方程

即為46=—2,或〈

〔。=一2

、4

所以此四個(gè)A數(shù)為1,一2,4,10或一三，—2,—5,-8.］

5

靈活設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列的技巧

⑴三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為色,a,aq.

q

(2)四個(gè)符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為鳥，aq,W.

⑶四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號相同時(shí)，可設(shè)為:

a,aq.aq,aq.

2.已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為1,第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和

為一5,則這三個(gè)數(shù)依次為.

乙

o5a

—曰1，—J［設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為-，a,aq,

52q

3_1

C(3=1,

5

則J_3解得a=l,q=~~,

a~\~aq0,乙

乙

25

所以這三個(gè)數(shù)依次為一F，1,一

空型3等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

［探究問題］

掃

1.在等差數(shù)列｛4｝中，2=4+(〃一勿)&類比等差碼

看

微

數(shù)列中通項(xiàng)公式的推廣，你能得出等比數(shù)列通項(xiàng)公式推課

廣的結(jié)論嗎？

m

［提示］a?=am?q~.

2.在等差數(shù)列｛a〃｝中，由2a2=<31+H3,2備=42+&4,…我們推

廣得到若20="+〃，則2&=a+必，若｛劣｝是等比數(shù)列，我們能得

到什么類似的結(jié)論.

［提示］若20=勿+小貝1］若=劣,為.

3.在等差數(shù)列｛aj中，若勿+〃=〃+q,則<3〃+a=%+%，類

比這個(gè)性質(zhì)，若｛a｝是等比數(shù)列，有哪個(gè)結(jié)論成立？

［提不］右［+n—P~\~q,貝Elm*<3/7=%,ELq.

［例3］(1)在等比數(shù)列｛2｝中，a>0,若為?@5=4,則

43.2%&含為&=.

(2)設(shè)｛"為公比q>l的等比數(shù)列，若電。18和包。19是方程4/

—8x+3=0的兩根，則030+&2031=.

(3)在等比數(shù)歹U｛4｝中，已知&&7=-512,且十為=124,且公

比q為整數(shù)，貝￡產(chǎn).

思路探究：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.

(1)128(2)2?312⑶一(一2廣[(1)a3a5=a=4,又

>0,所以2=2,

2128.

13

⑵解方程4/-8x+3=0得荀=5，^2=-,因?yàn)閝>l,故@2019

乙乙

31.

萬，/018=5，故q=3.

?_|__12?12―/I\12

??氏030I氏0311己2018。r^2019*Q—\^2018I乞20197Q

=2?312.

(3)在等比數(shù)列｛a｝中，由&&=一512得必備=一512,

又為+桀=124,解得續(xù)=—4,a=128或a=128,a=—4,

因?yàn)楣萹為整數(shù)，所以q=\j￡=—個(gè)/竽=—2,

故必=—4X(―2)T=—(―2)i.］

1.(變條件)將例3(3)中等比數(shù)列滿足的條件改為“a+&=2,

%生=-8",求a+&().

［解］因?yàn)椋鸻｝是等比數(shù)列，所以a5H6=aa=一8,

又昌+己7=2,解得a=4,@7=-2或&=-2,&=4,

當(dāng)a=4,<^7=-2時(shí)，q=一a+^io=-sH-=-7,

2q

=

當(dāng)&=-29乞7=4時(shí)9Q-2,己1+己1。=~3~\~3-1Q——7.

Q

故國+&o=-7.

2.(變結(jié)論)例3(3)題的條件不變,求log4|a2|+log4|a3|+

log41al+log41a91.

［解］因?yàn)?—512,所以a2aq=23改=—512,

故log4|a2\+log41a31+log41a81+log4|a9|

=10g4（|3239|,|<93<38|）=10g4512'=10g229

=9.

等比數(shù)列的常用性質(zhì)

性質(zhì)1：通項(xiàng)公式的推廣：a產(chǎn)劣,/一"（"，〃QN+）.

性質(zhì)2：若｛aj為等比數(shù)列,且“+/=1+〃（4,1,m,〃￡N+）,

則ak?ai=am?an.特別的，若k+。=2勿（勿，k,。QN+）,則a?刈

=3,m.

性質(zhì)3：若回｝，值｝（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛幾或，］4,

｛洲，｛2?4｝,仍是等比數(shù)列.

性質(zhì)4：在等比數(shù)列｛&｝中，序號成等差數(shù)列的項(xiàng)仍成等比數(shù)

列.

3i>0,

性質(zhì)5：O{%}遞增;

q>l

Si>0,31<0,

=3｝遞減；q=l=｛<aj為常數(shù)列；q

0<^<1一〔>]

〈00｛a｝為擺動數(shù)列.

1.解題時(shí)，應(yīng)該首先考慮通式通法，而不是花費(fèi)大量時(shí)間找

簡便方法.

2.所謂通式通法，指應(yīng)用通項(xiàng)公式，前〃項(xiàng)和公式，等差中

項(xiàng)，等比中項(xiàng)等列出方程（組），求出基本量.

3.巧用等比數(shù)列的性質(zhì)，減少計(jì)算量，這一點(diǎn)在解題中也非

常重要.

1.判斷正誤（正確的打，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）數(shù)列-1,—2,—4,—8,一16是遞減數(shù)列.（）

（2）等比數(shù)列｛a｝中，當(dāng)＞1,q＜0,則數(shù)列數(shù)