關(guān)于高等數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)歸納

高等數(shù)學(xué)(上冊)復(fù)習(xí)資料

-:函數(shù)的兩個要素：定義域?qū)?yīng)法則

1兩個函數(shù)相同：(1)定義域相同(2)對應(yīng)法則相同

至于自變量與因變量用什么符合來表示無所謂。例如：

y=sinx-oo<x<+oo與”=sinf-8<f<+oo是同一個函數(shù)。

2函數(shù)的幾種特性

⑴有界性y=/(x)x&D

如果存在實數(shù)左，使得,則稱/(x)在。上有上界

11

如果存在實數(shù)4，使得/(x)NZ,則稱/(x)在。上有下界。

21

有界：既有上界，又有下界。即存在實數(shù)攵,k使得攵<f(x)<k等價于存在

I22I

k>0,使得|/(x)|WkxeD

(2)單調(diào)性

若對區(qū)間/內(nèi)任意兩點x<x,都有/(x)KQ)/(x),則稱y=/(x)在/內(nèi)單調(diào)增加

1212

(減少)。

若將“<(2)”改成“<(>)”稱為嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)。

⑶奇偶性

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點對稱

如果/(—x)=/(x),則稱/(X)為偶函數(shù)

如果/(-X)=-/([),則稱果尤)為奇函數(shù)

(4)周期性

若f(x+/)=/(x)則稱/(x)是以/為周期的函數(shù)

注：周期通常指的是它的最小正周期

3復(fù)合函數(shù)

設(shè)y=/(")的定義域為。,又"=g(x)的定義域為。，且g(￡))u。,則函數(shù)

11

y=/[g(x)]xe。稱為由函數(shù)"=g(x)和函數(shù)y=/(")構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。”稱為中間變

量，記為：(/g)(x)=.f[g(x)]

4基本初等函數(shù)：

(1)鬲函數(shù)y=xu(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>O,awl)

⑶對數(shù)函數(shù)y=k>gx特例”=e,y=]nx

a

(4)三角函數(shù)y=sinx,y=cosx等

(5)反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx等

5初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合運算得到的并可

以用一個式子表示的函數(shù)。

x+1x<0,,…,,

例：/(x)=兩個式子，故不是初等函數(shù)

-%2+1%>0

6函數(shù)的極限

當(dāng)X-8時，若/(X)無限地接近于某個確定的數(shù)A,則稱A為/(x)當(dāng)xf8時的極

限。記為lim/(x)=A

x-x?

重要結(jié)論：lim/(x)=Aolim/(x)=lim/(x)=A

X-XX)XT+OCXT-00

lim/(x)=A的幾何意義：

一、y=A是他的水平漸近線例如：lim1=0

XTOOX

二、limf(x)=Alim/(x)=B而A。8,則說明它有兩條漸近線。例

x—>-<J0

兀71

如：limarctanx,y=—,y=--兩條漸近線。

Xf8乙乙

當(dāng)xfx時，如果/(x)無限地接近于某一確定的常數(shù)A,則稱A為/(X)當(dāng)XfX時的

00

極限。記為：Um/(x)=A

f

注：(1)〃x)在X。處的極限存在與否與/(X)在》=%處有無定義沒有關(guān)系。因為

定義中沒有要求》=》，只是X->X

00

(2)x趨近于x的方式是任意的。(即可以從左邊，也可以從右邊)

0

左極限：當(dāng)x從左邊趨近于X(記為時，則稱A為/(x)當(dāng)

00

Xfx時的左極限。記為：lim/(x)=A或/(x-)=A。

00

?f￡

右極限：lim"x)=A

即左右極限存在且相等

若：/(x-)^/(x+)則lim/(x)不存在

7無窮小量

定義：以0為極限的變量稱為無窮小(量)

定義：當(dāng)x-x°(或x-8)時，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值|/(x)|無限增大

注意無窮大是一種特殊的無界變量，但無界變量不一定是無窮大

無窮大的幾何意義：

lim/(x)=s,直線x=x是函數(shù)y=/(x)圖形的鉛直漸近線(回憶水平漸近

f°

線

定理二：在自變量的同一變化過程中，如果/⑴為無窮大’則金)為無窮?。环?/p>

則焉為無窮大。

之,如果/(x)為無窮小，且/(無)*0

無窮小的性質(zhì)：

定理三：有限個無窮小的和仍是無窮小

定理二：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

推論：(1)有極限的量與無窮小的量的乘積是無窮小。

(有極限n有界)

(2)常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小

(3)有限個無窮小量的乘積也是無窮小

8無窮小的比較

定義：設(shè)a,B都是無窮小

(1)若limE=O,則稱B是比a高階的無窮小，記為：P=O(a)

a

(2)若limZ=8,則稱B是比a低階的無窮小

a

(3)若lim2=cw0,則稱B與a是同階無窮小

a

(4)若=則稱B與a是等價無窮小，記為：a~0

a

最重要是等價無窮小，關(guān)于等價無窮小，我們要記住以下結(jié)論

當(dāng)X—>0時，sinx-x,tanx?冗,In(l+x)-x,e(一l~x,arcsinx-xy

arctanx~九，VT+T-i-lx,1-COSX—X2,Qx-，(l+x)a-l?a%

n2

注意其引申sinkx-kx,tan依~丘即上面的無窮小可換成其他無窮小

R

定理一：設(shè)&~8，P-P',且limL存在，貝

a

9函數(shù)的連續(xù)性

定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

limAy=lim[/(%+Ax)-/(x)]=0,則稱y=/(x)在點x處連續(xù)。

3…°°°

強(qiáng)調(diào)：Axf()包含Ax>0,Ax30；Ax<0,Ax30

|己：x+Ax=x,貝IJAy=f(x+Ax)—/(x)=/(x)-f(x)

0000

Av—>0相當(dāng)于x—

o

△yf0相當(dāng)于/%)

由此，我們得到連續(xù)的另一個等價定義

定義2:設(shè)y=/(x)在點x的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim/(x)=/(x),則稱

00

fo

y=/(x)在點x處連續(xù)。

0

即：在X處的極限等于它在該點的函數(shù)值

0

與左、右極限相對應(yīng)，也有左、右連續(xù)的概念

若limAy=0,即lim/(x)=/(x),則稱/0)在點x處左連續(xù)

八00

Ar->0-xfXQ

若limAy=0,即lim/(x)=/(x),則稱/(x)在點x處右連續(xù)

—工》,；。。

y=/(x)在點x處連續(xù)o左右都連續(xù)

0

即limf(x)=limf(x)=f(x)

ArfO-AvfO*

若函數(shù)y=/(x)在點處不連續(xù)，則稱y=/(x)在點外處間斷。%稱為y=/(x)的間斷

點。

(1)可去間斷點

極限limf(x)存在，但y=f(x)在點外處無定義或y=/(x)在點七處有定義，但

o則稱七為/(x)的可去間斷點。

(2)跳躍間斷點

若limf(x)與lim/(x)存在，但limf(x)limf(x)

XT婚.r->x+Xf%XT丐

可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點。第一類間斷點的特點是左右極限都存

在。

第一類間斷點以外的間斷點稱為第二類間斷點。特點：是至少有一個單側(cè)極限不存在。

常見的有無窮間斷點。特點：至少有一個單側(cè)極限為無窮大。

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的

10函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在點x處的某個鄰域U(x)內(nèi)有定義，給x以增量Ax

000

(Ax*O,(x+Ax)eU(x)仍然在該鄰域內(nèi))，希n竺=lim一存在。

°°?TOAx°AA

則稱/(x)在/處可導(dǎo)。并稱這個極限值為/(x)在\處的導(dǎo)數(shù)。記為：f'M,

,1df(x)dyf(x+Ax)-/(x)

y\,——即/(x)=hm——a------

x="odxdxAx—oA.V

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾點說明：

(1)導(dǎo)數(shù)反映因變量關(guān)于自變量的變化率，即反映了因變量隨自變量的變化而變化

的快慢程度。

(2)令x+Ax=x,當(dāng)ArfO時xfx等價定義

00

/'(X)=lim"回一/您)或

°fx-x

00

(1)若定義中極限不存在，則稱/(X)在%處不可導(dǎo)。在不可導(dǎo)中有一個特殊情

形。當(dāng)limW=8,則稱/(X)在X處的導(dǎo)數(shù)為無窮大。

(2)如果函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間/內(nèi)的每一點處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y=/(x)在開區(qū)間

I內(nèi)可導(dǎo)。

(3)對于任一個xe/,都對應(yīng)著/(x)的一個確定的導(dǎo)數(shù)值，xf尸(幻。這個函

數(shù)叫做原來函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)。記作：Vf'(x)半或駕

dxax

即LIM/(X+AX)-/(X)或

2r->0M

注：(1)導(dǎo)函數(shù)/'(X)簡稱為導(dǎo)數(shù)

⑵八…八刈

°三

(6)單側(cè)導(dǎo)數(shù)

1、左導(dǎo)數(shù)

2、右導(dǎo)數(shù)

廣。)存在0:(%)=廣(%)

0-0+0

如果在開區(qū)間(。⑼內(nèi)可導(dǎo)，且,⑸及都存在，就說在閉區(qū)間

(7)/(x)—f+(a)/(x)

上可導(dǎo)。

函數(shù)/(X)在點X。處的導(dǎo)數(shù)/'(%)的幾何意義就是曲線y=fix)在對應(yīng)點4%，北)處的切

線的斜率。

于是：曲線y=/(x)在點A*,y)處的切線方程可寫成：

00

(1)/'(X)存在，則

0

切線方程：y-y=f'(x)(x-x)

00()

法線方程：y-y="?(x-x)

。f(x)。

0

⑵若/'(X)=8

0

切線方程：X=X

0

法線方程：y=y

0

定理：若f(x)在乙處可導(dǎo)。則/(X)在七處必連續(xù)

連續(xù)但不可導(dǎo)的例子：

y=國在x=0處

lim|x|=0=/(0)所以連續(xù)，但不可導(dǎo)

xfO

注：若不連續(xù)，則一定不可導(dǎo)

11函數(shù)的微分

定義：設(shè)函數(shù)y=/(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，在x=x0處給自變量以增量效，如果相

應(yīng)的函數(shù)的增量△)，總能表示為：Ay=AAr+o(Ar),其中A與以無關(guān)，o(Ax)是Ax的

高階無窮小。則稱函數(shù)y=/(x)在點七處可微。并稱為/(x)在點x0處的微分。記

作：dy或df(x)即：辦=AAxA稱為微分系數(shù)。

定理：函數(shù)y=/(x)在處可微o函數(shù)y=/(x)在處可導(dǎo)

我們得到函數(shù)的可微性與可導(dǎo)性是等價的。(可微0可導(dǎo))。

函數(shù)在x處的微分dy=f'{x}dx

12函數(shù)的不定積分

定義1設(shè)函數(shù)F(x)在某區(qū)間/上可導(dǎo)，且Vxe/有尸(x)^(x),則稱F

(X)為函數(shù)/(X)在區(qū)間/上的一個原函數(shù).

定理1設(shè)/(x)是f(x)在麗7二的一個原函數(shù)，則F(x)+C(C為任意常

數(shù))為/(x)的全體原函數(shù).

定義設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間/上有定義，稱f(x)在區(qū)間/上的原函數(shù)的全

體為/(x)在/上的不定積分,記作J/(x)dr，其中記號“J”稱為積分號，/

(x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量.

定理1設(shè)尸(x)是f(x)在區(qū)間/上的一個原函數(shù)，則

Jf(x)dx=F(x)+C，

C為任意常數(shù).

強(qiáng)調(diào)：c不能丟，F(xiàn)(x)僅是一個原函數(shù)，不定積分是原函數(shù)的全體。

通常，我們把/(X)在區(qū)間/上的原函數(shù)的圖形稱為/(幻的積分曲線，

不定積分的性質(zhì)

(1)J［a/(x)+Bg(x)llx=aJ/(x)(ir+0Jg(x)dY，其中a,B為常數(shù)；

(2)色Jf(x)dx-f(x);

dx

(3)Jr(x)也于(x)+C,C為任意常數(shù).

13函數(shù)的定積分

定義設(shè)函數(shù)/(x在區(qū)間［a,b~\上有界，今取〃+1個分點：

a-x<x<x<?<,<%,<x,<???<%<x-by

oi2ni勺〃

將［a,b~\分成n個小區(qū)間［x.,x.］,其長度記為△,2,…，

〃)，并令人二maxk},

\<i<n1

若Lx.,x］(z-L2,n),極限

limZ/(1)△x

Jii

1。i=l

存在，且該極限值與對區(qū)間［a,bl的分劃及S的取法無關(guān)，則稱/(x)

在［a,bl上可積，且稱該極限值為/(%)在［a,bl上的定積分，記為

“/⑴口，其中,/(尤)稱為邀裝眼數(shù)，》稱為桂今褰量，a和人分別稱為積分工

a

限和上限，［a,/?］稱為積分區(qū)間，X/(".)△》,稱為積分和.

/=1

注意：

(1)定積分是一個和式的極限，它是一個數(shù)。和式很復(fù)雜，區(qū)間的分法無窮

多，點的取法也無窮多。但是，極限與取法、分法無關(guān)。

(2)定積分由被積函數(shù)/(x)與積分區(qū)間川確定，與積分變量無關(guān)。即

ibf(x)dx=ibf(t)dt=\bfMdu。

aaa

⑶曲邊梯形的面積AJ"(x)dx

a

(4)當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)間上恒等于1時，其積分值即為積分區(qū)間長度，

即r/(x)dx=ha-,

a

(5)可積條件

為方便起見，我們用R(［a,bl)表示區(qū)間［a,bl上所有可積函

數(shù)的集合，可以證明：

(1)若/(x)C(［a,b~\),則/(x)WR(［a,b~\)；

(2)若/(x)為［a,加上的單調(diào)有界函數(shù)，

則/(x)WR(la,bl)；

(3)若/(x)在[mb]上僅有有限個第一類間斷點，

則/(x)七R([a,b~\).

定積分的幾何意義：

(1)/(x)>0J"/(x)dx=S圖

a

(2)/(x)<0J'"(x)dx=-S圖

a

⑶/3)在L,川上有正有負(fù)圖

\hf{x}dx=S-S+5面積的代數(shù)和

?123

總之，若/(x)GC(la,bl),則定積分卜/(x)dx的幾何意義是表示由尤

a

軸、曲線、直線x=a與x=b所圍成的各部分圖形面積的代數(shù)和，其中位

于光軸上方的圖形面積取正號，位于x軸下方的圖形面積取負(fù)號.

定積分的性質(zhì)

(1)當(dāng)a=6時，

a

(2)當(dāng)a時，J〃/(x)ck=J"/(x)cLt

ab

積分中值定理)設(shè)/(x)ec([a,b]),則m€e[a,b],使得

ihf(x)dx=f(€)(ba).

設(shè)/(x)GC([a,),F(x)是/(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則

JVU)d^=F⑹F(a).

a

要掌握的具體內(nèi)容：

如何求極限；

如何求導(dǎo)數(shù)與微分

如何求不定積分與定積分

導(dǎo)數(shù)和定積分的應(yīng)用

一如何求極限

求極限的方法

(1)約去零因子法(適用于XfX時的?型)

(2)無窮小因子分出法(適用于xfoo時的三型)

00

當(dāng)Xf00時有理分式的極限為

(3)有理化(適用于含有根式的極限)

(4)通分(適用于00-00型)

(5)利用兩個重要極限

1第一個重要極限lim吧=1

A->0X

這個極限的特點：

⑴黑⑵小

0x

推廣：lim,其中“(x)是x的該變化過程中的無窮小

某過程〃(1)

2第二個重要極限

lim(l+3，=e(e是無理數(shù)，e=2.71828)

X->00X

幾種變形

有如下特點：

(1)b型

(2)加號上的量與肩膀上的量互為倒數(shù)

1

推廣：若limi/(x)-oo,貝Ijlim1+=e

M(X)

若lim〃(x)=0,lim[1+〃(x)上晨=

(6)等價無窮小替換

當(dāng)了一>0時，sinx-x,tanx~x,ln(l+x)-xarcsinx-x,

arctanx?x,Vr+7-i~—x,1-cosx-—%2,ax-1-x\na,(l+x)a-l~ax

n2

注意其引申sinbr~hr,tankx~kx即上面的無窮小可換成其他無窮小

R

定理一：設(shè)&~。，p~P',且lim匕存在，貝IJ

a

強(qiáng)調(diào)：乘積時才用等價無窮小代替，在加減中不能代替

,即被替換的無窮小必須處于乘積因子位置

tan%—sinx

例：hm---------------

XTOsin獷

原式=lim二=0錯在加減中不要替換

*->0月

(7)利用無窮小的性質(zhì)(定理二：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小)

(8)利用左右極限與極限的關(guān)系(適用于分段函數(shù)在分段點處的極限)

(9)連續(xù)性的定義(設(shè)連續(xù)函數(shù)y=/(x)在點*的某一鄰域內(nèi)有定義，貝IJ

limf(x)=f(x))

0

f0

(10)洛必達(dá)法則

，型，藝型直接使用法則，

000

0.8型，將其中的一個倒下來，化成:型或方型，再使用法則。

000

型，通分后化成，型，再使用法則。

卜,00,8。型，化成以e為底的指數(shù)，或取對數(shù)后化成0日

以上10種方法中，特別要注意洛必達(dá)法則與重要極限，無窮小替換，相結(jié)合

二如何求導(dǎo)數(shù)

(1)基本求導(dǎo)公式

求導(dǎo)公式：

(1)(c)'=0

⑵(河)'=日加7特例：(x)'=l,(#)'=—

2y/xXX2

(3)(a^)'=aAna特例：(e』y=ex

⑷(logx)，=特例：(lnx)'=L=」

&xlnaxx

(5)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx

(6)(arcsinx)'-(arccosx)'=--=2=；

Jl-X2-X2

(2)求導(dǎo)的四則運算法則：

(―)z=―—―(v0)(cu)'=cuc為常數(shù)

VV2

(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理三：如果〃=g(x)在點x處可導(dǎo)，而y=/(必)在點w=g(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

y=/[g(x)]在點x處可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：

±

公或y'=f'W-g'(x)鏈?zhǔn)椒▌t

duax

力

：函數(shù)對X的導(dǎo)數(shù)$：/(〃)對，，的導(dǎo)數(shù)

五

au

："=8(用對,*求導(dǎo)

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。

(4)參數(shù)方程的求導(dǎo)法

x=(p(f)

若參數(shù)方程、確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系，稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。

6

外

人

求

式

公

導(dǎo)

=而

石W⑺y對，的導(dǎo)數(shù)比上x對/的導(dǎo)數(shù)

一W7

力

也=幺第半對，的導(dǎo)數(shù)比上X對，的導(dǎo)數(shù)

二階導(dǎo)數(shù)

dx2dxax

dt

(5)隱含數(shù)的求導(dǎo)法

什么叫隱含數(shù)

定義：由方程所確定的函數(shù)y=/(x)稱為隱函數(shù)

隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：

用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)

(6)對數(shù)求導(dǎo)法：先兩邊取對數(shù)，然后按照隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo)。

適用范圍：(1)鬲指函數(shù)(2)多個函數(shù)相乘或還有開方的情況

(7)變限函數(shù)的求導(dǎo)

①'(x)=色

dr?

—=f(w(x))u(x)/(v(x))vz(x).

dx心)

(8)如何求微分力＞=

先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則=

千萬不要忘記寫dx

三如何求積分

基本積分公式①0dx=b+C(女為常數(shù))，

②=X"+l+C（aWl）,

Q+1

特別地：jLit=-2.+c=2yjx+c

X2Xy/x

③fldr=lnIxI+C（x#0）,

x

④Je^Ax=ex+C,

⑤Jtzv（ix=——〃X+C（Q>0且aWl）,

In。

Jcosxdx=sinx+C,

⑥

Jsinxdx-cosx+C,

⑦

⑧sec2xdx=fanx+C,

⑨Jesc2xdx-co/x+C,

⑩Jsecxtanxdx-secx+C,

OJescxcotxdx-cscx+C,

f］dr=arcsinx+C

O

J1-X2

OJ—!-dr-arctanx+c

1+X2

積分的方法

一,分項積分

』［af(x)+Pg(x)lk二ajf(x)dx+PJg(x)dx,其中a,B為常數(shù);

「［a”x)+pg(x)lk=a，"(x)dx+pJ"g(x)dr

二換元法

第一換元法(湊微分)

J/州(x))W'(x)cU=J/(甲(x))N(x)

u=V(x)=F(u)+c

〃=V(x)/(力(x))+C.

(注意：中間的換元過程可省略。)

第二換元

對于定積分的第二換元法要注意：

(1)換元必?fù)Q限

(2)當(dāng)a<b時，不一定有a<。，但下限一定要對應(yīng)下限，上限一定要對應(yīng)上限

(3)a,B選取可能不唯一，原則上：不自找麻煩，"-用越小越好

三分部積分

注意：1將誰看成/

2回歸法

對于定積分還有三個要注意的地方

分段函數(shù)的定積分

如果積分區(qū)間包含了被積函數(shù)的分段點，則利用積分對區(qū)間的可加性，分成幾個定積分

的和。

,,1+x2,x<0、，?,

例：/(X)=,計算Jf(x)dx

e-x,x>0-i

J1f(x)dx=J°f(x)dx4-11f(x)dx=J°(1+%2)dx+11e-^dx

解：'0-1o

07

=(x+")+-p=_一￡-1

o3

-1

例：/(x)=|x+l|,求.f(x)dx

-3

x+1,x>-1;

解：因為/(x)=

—x—1,x<—1

二奇零偶倍

三、廣義積分

(1)無窮積分

定義：//⑶公=]im\'f(x)dx

ar—>+oca

若廣義積分J°/(x)dx與1Ax)公都收斂，則Pv(x)dx收斂，且定義為這兩個廣義

-co0-oo

積分之和。

limf(x)cbc+limf[x}dx

/->-<?I/->+oo0

計算：)^f(x)dx=F(x)|+00=limF(x)-F(a)

aaxte

(2)瑕積分

定義：若x=b為/(x)的瑕點，則b/(X)公=limj'/(x)dx

at^b-a

若x=a為/(x)的瑕點，則!hf(x)dx=lim

aia+f

若x=ce(a,》)為f(x)的瑕點，則!hf(x)dx=limJ'f(x)dx+limlhf(x)dx

r->c-，TC+

計算：

若x=b為/(x)的瑕點，則上/。)公=尸。)|〃=limF(x)—/3)

aax->b-

若x=a為f(x)的瑕點，則Pf(x)dx=F(x)|b=F(b)~limF(x)

aaXTa+

若x=ce(a/)為/(x)的瑕點，貝IJ

6f(x)dx=J，/(x)dx+卜/(x)dx=尸⑴/+F(x)\h

aacac

=limF(x)-F(a)+F(b)-limF(x)

x—>c-x—>c+

四應(yīng)用題

(-)求曲線的切線，法線

(-)求極值，單調(diào)區(qū)間，拐點，凹凸區(qū)間，最大值，最小值。

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，極值的步驟為：

(1)寫出定義域

(2)找出駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點，將定義域進(jìn)行劃分。

(3)判斷各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號，并判斷單調(diào)性，。

(4)寫出單調(diào)區(qū)間，求出各極值點的函數(shù)值，即得全部極值。

判斷凹凸區(qū)間，曲線拐點的步驟：

(1)寫出定義域，求,〃⑴

(2)令/"*)=(),解出實根，并找出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，將定義域進(jìn)行劃分。

對每一點x,考察尸'(X)在x的左、右兩側(cè)的符號。寫出凹凸區(qū)間，若左、右兩

00

側(cè)符號相反，則(XJ(x))為拐點，否則不是。

00

求最值的步驟：

(1)在內(nèi)找出駐點和不可導(dǎo)點，X,xX

I2n

(2)計算〃x)及/(a)JS)

i

(3)從這些值中找出最大值、最小值。

(三)與中值定理有關(guān)的證明題

(四)利用單調(diào)性證明不等式

(五)關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明題

(六)求平面圖形的面積

記住：被積函數(shù)是上面的函數(shù)減下面的函數(shù)。

記住：被積函數(shù)是右邊的函數(shù)減左邊的函數(shù)

(七)求體積

平面截面面積為已知的立體體積

旋