2023海淀區(qū)初三數學期末試卷及答案

初三第一學期期末學業(yè)水平調研

數學

2023.01

學校姓名準考證號

1.本調研卷共8頁，滿分100分，考試時間120分。

注

2.在調研卷和答題紙上準確填寫學校名稱，姓名和準考證號。

意

3.調研卷答案一律填涂或書寫在答題紙上，在調研卷上作答無效。

事

4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。

項

5.調研結束，請將本調研卷和答題紙一并交回。

一、選擇題(本題共16分，每小題2分)

1.拋物線y=(x-+3的頂點坐標為

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(3,1)

2.如圖，在平面直角坐標系，中，點P(4,3),OP與x軸正半軸的

夾角為a，貝(ltana的值為

3二4

A.一B.-

55

-34

C.一D.一

43

3.方程V-x+3=0的根的情況是

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.只有一個實數根

4.如圖，一塊含30。角的直角三角板繞點。順時

針旋轉到△A^C,當5,C,AC在一條直線上時,

三角板ABC的旋轉角度為

A.150°B.120°

C.60°D.30°

2

5.如圖，在平面直角坐標系工⑦中，8是反比例函數y=*(x>0)的圖

x

象上的一點，則矩形043c的面積為

A.1B.2

C.3D.4

6.如圖，在中，DE//BC,且QE分別交AB,AC于點。，E,

若AD:Afi=2:3,則△ADE和△MC的面積之比等于

A.2:3B.4:9C.4:5D.垃:垂）

7.圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機.如圖2,它的雙翼展開時，雙翼

邊緣的端點A與8之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=?54cm,且與閘機側立面夾

角/PC4=/8OQ=30。.當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為

圖1圖2

A.（54>^+10）cmB.（54夜+10）cm

C.64cmD.54cm

8.在平面直角坐標系xQy,中，四條拋物線如圖所示,

其解析式中的二次項系數一定小于1的是

A.必B.y2

C.%D.

二'填空題（本題共16分，每小題2分）

9.方程/-3x=0的根為.

10.半徑為2且圓心角為90。的扇形面積為.

11.已知拋物線的對稱軸是x=〃，若該拋物線與x軸交于（1。），⑶0）兩點，則〃的值為.

12.在同一平面直角坐標系中，若函數y=x與y=K（ZxO）的圖象有兩個交點，則左的

取值范圍是.

13.如圖，在平面直角坐標系X。)，中，有兩點A(2,4),8(4,0),

以原點0為位似中心，把△。鉆縮小得到^OA!8.若B'的坐

標為(2,0),則點4的坐標為.

14.已知(-1,y),(2,%)是反比例函數圖象上兩個點的坐標，且請寫出一個符

合條件的反比例函數的解析式.

15.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(3,0),判斷在

M,N,P,。四點中，滿足到點。和點A的距離都小于2的

點是.

16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，P是直線＞=2上的一

個動點，。。的半徑為1,直線0。切。P于點。，則線

段。。的最小值為.

三'解答題(本題共68分，第17~22題，每小題5分；第23~26題，每小題6分；第27~28

題，每小題7分)

17.計算：cos45"-2sin30°+(-2)°.

18.如圖，與交于。點，？4?C,AO=4,CO=2,CD=3,求XB的長.

19.己知x=〃是關于x的一元二次方程，nr?-4x-5=0的一個根，若加“2_4〃+6=6,求

m的值.

20.近視鏡鏡片的焦距y(單位：米)是鏡片的度數x(單位：度)的函數，下表記錄了一

組數據:

X（單位：度）

y（單位：米）

（1）在下列函數中，符合上述表格中所給數據的是,

（2）利用（1）中的結論計算：當鏡片的度數為200度時，鏡片的焦距約為米.

21.下面是小元設計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，。。及。。上一點P.

求作：過點P的（DO的切線.

作法：如圖，-----、

①作射線OP;

②在直線OP外任取一點A,以點4為圓心，AP為半徑作。4,與射線OP交于

另一點B-,

③連接并延長BA與。A交于點C:

④作直線PC-.

則直線PC即為所求.

根據小元設計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：；3c是。A的直徑，

：.ZBPC^90°（）（填推理的依據）.

：.OPLPC.

又：。尸是。。的半徑，

...PC是。。的切線（）（填推理的依據）.

22.2018年10月23日，港珠澳大橋正式開通，成為橫亙在伶仃洋上的一道靚麗的風景.大

橋主體工程隧道的東、西兩端各設置了一個海中人工島，來銜接橋梁和海底隧道，西人

工島上的A點和東人工島上的B點間的距離約為5.6千米，點C是與西人工島相連的

大橋上的一點，A,B,C在一條直線上.如圖，一艘觀光船沿與大橋AC段垂直的方向

航行，到達P點時觀測兩個人工島，分別測得期,PB與觀光船航向尸。的夾角/

DPA=IS°,NDPB=53°,求此時觀光船到大橋AC段的距離PD的長.

參考數據：sinl8°?0.31,cosl8°?0.95,tan18°《0.33,

sin53°?0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33.

四人工典I東人工島

港珠澳大橋主傣

‘油門.，加”[?以

23.在平面直角坐標系x0y中，已知直線)=,左與雙曲線y=X的一個交點是A(2,a).

2x

(1)求上的值；

(2)設點PQ九，〃)是雙曲線y二人上不同于A的一點，直線R1與x軸交于點B(Z?,O).

①若m=1,求6的值；

@^PB=2AB,結合圖象，直接寫出6的值.

5

4

3

2

-5-4-3-2-2345x

-2

-3

-4

-5

24.如圖，A,B,C為。O上的定點.連接A3,AC,M為A3上的一個動點，連接CM,

將射線MC繞點M順時針旋轉90,交。。于點D,連接BO.若AB=6cm,AC=2cm,

記A,M兩點間距離為xcm,B,。兩點間的距離為ycm.

小東根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.

下面是小東探究的過程，請補充完整：

(1)通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：

%/cm00.250.47123456

y/cm1.430.6601.312.592.761.660

(2)在平面直角坐標系中，描出補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數

的圖象;

y

(3)結合畫出的函數圖象，解決問題：當B￡)=AC時，AM的長度約為cm.

25.如圖，AB是。。的弦，半徑。后人45,尸為AB的延長線上一點，PC與。。相切于點

C,CE與AB交于點F.

(1)求證：PC=PF；

3

(2)連接08,BC,若OB/IPC,BC=3叵,tanP=-,求F8的長.

4

26.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線G：y=4x2-8ar+4?2-4,A(—l,0),N(〃,0).

(1)當a=1時，

①求拋物線G與x軸的交點坐標；

②若拋物線G與線段4V只有一個交點，求〃的取值范圍；

(2)若存在實數a,使得拋物線G與線段4V有兩個交點，結合圖象，直接寫出〃的取

值范圍.

V

5

4

3

2

-5-4-3-2-102345x

-2

-3

-4

-5

27.已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,直線/經過點A(不經過點B或點C),點C關

于直線/的對稱點為點。，連接BO,CD.

(1)如圖1,

①求證：點民C,。在以點A為圓心，A3為半徑的圓上.

②直接寫出N2DC的度數(用含a的式子表示)為.

(2)如圖2,當a=60。時，過點。作2。的垂線與直線/交于點E,求證：AE=BD；

(3)如圖3,當a=90。時，記直線I與CD的交點為F,連接BF.將直線/繞點A旋

轉，當線段BF的長取得最大值時，直接寫出tanZfBC的值.

圖1圖2圖3

28.在平面直角坐標系中，已知點A(O,a)和點仇〃,0),給出如下定義：以他為邊，

按照逆時針方向排列A,B,C,。四個頂點，作正方形MCD,則稱正方形MCD為

點A,B的逆序正方形.例如，當。=-4,8=3時，點A,8的逆序正方形如圖1所

示.

(1)圖1中點C的坐標為；

(2)改變圖1中的點A的位置，其余條件不變，則點C的坐標不變(填“橫”或“縱”),

它的值為；

(3)已知正方形ABC￡>為點A,B的逆序正方形.

①判斷：結論“點C落在x軸上，則點。落在第一象限內."(填“正確”

或“錯誤”)，若結論正確，請說明理由；若結論錯誤，請在圖2中畫出一個反

例；

②。T的圓心為7?,0),半徑為1.若a=4,b>Q,且點C恰好落在。T上，直

y

5

4

3

2

I-

IIIII__________L

-5-4-3-2-1(912345元

-2-

-3-

-4-

接寫出/的取值范圍.

備用圖

初三第一學期期末學業(yè)水平調研

數學試卷答案及評分參考

一'選擇題（本題共16分，每小題2分）

題號12345678

答案ACCABBCA

第8題：二次函數a的絕對值的大小決定圖像開口的大小，Ia|越大，開口越小，顯然

ai<a2-a3<a4,.可知ai最小。

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.%=0,々=310.q11._2_12.左>013.（1）2）

14.答案不唯一，如：y=—15.M,N16.6

X---------

第16題：OQ2=Op2-l,OP最小時，OQ最小，OPmin=2,：.OQmin=^/3

三'解答題（本題共68分，第17~22題，每小題5分；第23~26題，每小題6分；第27~28

題，每小題7分）解答應寫出文字說明、驗算步驟或證明過程.

17.（本小題滿分5分）

正

原式-

2—2x—+1.................................................3分

2

立

-

2..........................................................5分

18.（本小題滿分5分）

證明：VZA=ZC,ZAOB=ZCOD,

：./^OB^/XCOD............................................3分

.AOAB

^~CO~'CD'

VAO=49CO=ZCD=3,

AB=6...........................................................5分

19.（本小題滿分5分）

解：依題意，得〃川-4〃-5=0...........................................3分

mrr-4〃=5.

,5+機=6.m=\.5分

20.（本小題滿分5分）

解：（1）B.................................................................3分

（2）0.50............................................................5分

21.（本小題滿分5分）

（1）補全的圖形如圖所示：

...............................3分

（2）直徑所對的圓周角是直角；...........................................4分

經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線..................5分

22.（本小題滿分5分）

解：在中，

An

,：tanZDPA^——，

PD

：.AD=PDtanZDPA................................................2分

在RtZ\D/）8中，

VtanZDPB=—,

PD

BD=PD-tanZDPB...............................................4分

AAB=BD-AD=PD(tanNDPB-tan乙DPA).

VAB=5.6,ZDPB=53°,ZDPA=18°,

；.PD=5.6.........................................................5分

答：此時觀光船到大橋AC段的距離PD的長為5.6千米.

23.（本小題滿分6分）

解：（1）?.?直線y=gx經過點A（2,a）,

.,.?=1..................................................1分

A(2,l)

又?.?雙曲線y=與經過點A,

X

/.k=2...........................................................2分

（2）①當m=1時，點0的坐標為（L2）.

直線24的解析式為y=—x+3..................................3分

直線與x軸交于點8(。，。)，

=3.............................................4分

②0=1或3......................................................6分

24.(本小題滿分6分)

解：本題答案不唯一，如：

(1)

x/cm00.250.47123456

yleva1.430.6601.312.592.762.411.660

........................................................................1分

(2)

.........................................................................4分

(3)1.38或4.62...................................................6分

說明：允許(1)的數值誤差范圍h).05;(3)的數值誤差范圍±0.2

25.(本小題滿分6分)E

(1)證明：如圖，連接OC._____________

OELAB,ry

：.ZEGF=90°.o[\//

VPC與00相切于點C,\

：.NOCP=90。..............1分

：.ZE+ZEFG=ZOCF+ZPCF=9Q°.

?：OE=OC,

：.ZE=ZOCF................................................2分

:.NEFG=NPCF.

又；ZEFG=ZPFC,

：.ZPCF=ZPFC.

：.PC=PF....................................................3分

(2)方法一:

解：如圖，過點B作BH上PC于點H.

'：OB//PC,ZOCP=9QP,

：.ZBOC=90°.

'：OB=OC,

：.NOBC=NOCB=45°.

:.NBCH=NOBC=45；

在RtABHC中，BC=3五,

可得B"=3Csin45°=3,CH=BCcos45°=3......................4分

3

在產中，tanP=-,

4

可得PH=^-=4..........................................................................5分

tanP

BP7PH2+BH。=5.

PC=PH+CH=7.

：.PF=PC.

：.FB=PF-PB=PC-PB=2.........................................................6分

方法二:

解：如圖，過點C作。/LAP于點

,?OB//PC,NOCP=90°,

AZBOC=90°.

?：OB=OC,

:.NOBC=NOCB=45°.

在RtZ\OBC中，BC=3近,

可得O8=3Csin45°=3.................................................................4分

OE=OB=3.

■:NGBO=NP,tanP=-,

4

3

，tanZGBO=~.

4

在RtMBO中，tanZCBO=—,OB=3.

GB

9I?

AOG=-GB=—.........................................................................5分

595

:.EG=OE-OG=§.

5

在RtZ\C”P中，tanP=-,CH2+PH2=PC2.

PH

設C”=3x,則PH=4x,PC=5x.

???PC=PF,

??.FH=PF-PH=x.

VZEFG=ZCFH,ZEGF=ZCHF=90,

???/\EGFs/\CHF

.FG_FH_1

：.FG=-EG=~.

35

FB=GB-FG=2........................................................................6分

方法三：

解：如圖，過點C作CHLAP于點”，連接AC.

OB//PC,NOCP=90%

，ZBOC=90°.

：.ZA=-ZBOC=45°.........................................4分

2

在中，tanP=——=-,

PH4

設CH=3x,則P”=4x,PC=5x.

在RtAAf/C中，ZA=45°,CH=3x,

：.AH=CH=3x,AC=3>/2x.

：.PA=AH+PH=7x.....................................................................5分

?：4=ZP,NPCB=ZA=45°,

:.APCBsAPAC.

.PBPC_BC

"'~PC~~PA~~AC'

'：BC=3近,

7

x=—,PC=7,PB=5.

5

■:PF=PC,

：.PF=1.

FB=PF-PB=2....................................................................6分

方法四：解：如圖，延長CO交4P于點M.

,/OB//PC,NOCP=90。，

AZBOC=90°.

在Rt/XOBC中，BC=3叵,OB=OC,

4/MVy

可得。8=3.....................................4分/\<\X\\X7

c

3

■:4MBO=4P,tanP=-,

4

/.tanZMBO=-.

4

在RtAMBO中，tmZMBO=^-=-,

OB4

oIs

可得OM=一，BM=—..................................................................5分

44

:.CM=—,

在RtZ\PCM中，tanP=——=-

PC4

35

可得PC=7,PM=—.

4

:.PB=PM-BM=5,PF=PC=7.

：.FB=PF-PB=2................................................6分

26.（本小題滿分6分）

解：（1）①當。=1時，y-4x2-8x..................1分

當y=0時，4X2-8X=0,

解得％=0,x2—2.

拋物線6與工軸的交點坐標為（0,0）,（2,0）.

....................................................2分

②當〃=0時，拋物線G與線段AN有一個交點.

當〃=2時，拋物線G與線段AN有兩個交點.

結合圖象可得04”<2....................4分

(2)三一3或...................................................6分

(2)解析：

y=4x?-8ax+4a2-4,y=2（x-a尸-4,

，頂點（a,-4）,xi=a+l,x2=a-l

若拋物線與x軸交于E、F兩點，則EF=|xi-x2|=2

AN=IXA-XNI=In+1I

AN》EF時，線段AN與拋物線G有兩個交點，即n<-3或n2l。

27.(本小題滿分7分)

(1)①證明：連接A。，如圖1.

?.?點C與點。關于直線/對稱，

:.AC=AD.1分

'：AB=AC,

圖1

，AB=AC=AD.

...點8C,。在以A為圓心，A5為半徑的圓上................2分

②L.................................3分

2

(2)證法一：

證明：連接CE,如圖2.

,/ez=6O0,

ZBDC=-a=30°.

2圖2

?/DE±BD,

：.ZCDE=90°-ZBDC=60°.

?.?點C與點。關于直線/對稱，

EC=ED.

.??△CDE是等邊三角形.

....................................................................................................................................4分

ACD=CE,ZDCE=60°.

VAB=AC,Zfi4C=60°,

...△ABC是等邊三角形.

ACA=CB,ZACB=60°.

VZACE=ZDCE+ZACD,ZBCD=ZACB+ZACD,

：.ZACE=ZBCD.

：.AACEdBCD.

AE=BD...........................................................................................5分

證法二：

證明：連接AQ,如圖2.

?.?點C與點。關于直線/對稱,

AAD=AC,AE.LCD.

：.ADAE=-ADAC.

2

圖2

,：ZDBC^-ZDAC,

2

ZDBC=ZDAE.

VAE1CD,BDLDE,

ZBDC+4CDE=NDEA+ZCDE=90°.

:.ZBDC=ZDEA.

VAB=AC,ZBAC=60°,

.??△ABC是等邊三角形.

，CA=CB=AD.

：.△88嶺AADE.......................................4分

AAE=BD...............................................6分

(3)-.............................................................7分

3

(3)解析：

方法一：。是AC中點，BO+OF2BF,設BC=4,BO=J10QF=J2,即BFmax=J10+J2,

此時tan/FBC=l/3。

方法二：以AC為直徑作圓O,ZAFC=90°,；.F必在。O上，又，圓外一點到圓上最長距

離經過圓心，，B、O、F三點共線時BF最長。計算如上。

27(3)海淀

“C

取AC中點,B.0.F共線時,BF最大,

tannFBC=1/3

28.