第32講銳角三角函數(shù)及其應用（講義）（原卷版）

第32講銳角三角函數(shù)及其應用目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一銳角三角函數(shù)題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長題型06已知余弦值求邊長題型07已知正切值求邊長題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算題型09求特殊角的三角函數(shù)值題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系考點二解直角三角形題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形題型02網(wǎng)格中解直角三角形題型03在坐標系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關(guān)計算題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積考點三解直角三角形的應用題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度類型二測量底部可以到達的物體高度類型三測量底部不可到達的物體的高度題型02方位角問題題型03坡度坡比問題題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合考點要求新課標要求命題預測銳角三角函數(shù)利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應銳角.銳角三角函數(shù)及其應用是數(shù)學中考中比較重要的考點,其考察內(nèi)容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數(shù)值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網(wǎng)格圖形等結(jié)合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵.解直角三角形能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.解直角三角形的應用考點一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數(shù)的關(guān)系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關(guān)系：1）同角三角函數(shù)的關(guān)系：tanA=sin2)互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°2332313【補充】表中是特殊角的三角函數(shù)值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數(shù)值，則可求出相應的銳角.5.銳角三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習慣省略角的符號“∠”,如tanA、sina、cosA.若銳角是用三個大寫英文字母或一個數(shù)字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時,不能省略角的符號“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時,一般寫成tannA,它與3.銳角三角函數(shù)是針對直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數(shù)的定義可知,其本質(zhì)特征是兩條線段長的比.因此,銳角三角函數(shù)只有數(shù)值,沒有單位，它的大小只與角的大小有關(guān)，而與它所在的三角形的邊長無關(guān).4.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【變式11】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式12】（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，則A．35 B．34 C．45【變式13】（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數(shù)值無關(guān)【變式14】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列結(jié)論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a(chǎn)＝c?cosB【變式15】（2019·湖南邵陽·校聯(lián)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．擴大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【變式16】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預測）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（

A．45 B．35 C．34【變式21】（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則sin∠ADC的值為（

A．21313 B．31313 C．【變式22】（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（

A．355 B．175 C．3題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【變式31】（2022·吉林長春·?？寄M預測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6，則cos∠ABC的值為（

A．45 B．35 C．43【變式32】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？寄M預測）如圖，△ABC的三個頂點分別在邊長為1的正方形網(wǎng)格上，則cos∠BAC的值為【變式33】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設(shè)計，體現(xiàn)了環(huán)保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點A，F(xiàn)，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點，則tan∠ABE＝．【變式41】（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD=∠BAC，連接OD交BC于點E．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【變式42】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點K，H是AF的中點，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．題型05已知正弦值求邊長【例5】（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60 D【變式51】（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預測）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現(xiàn)測得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點A到BC的距離為（

）A．60sin50° B．60sin50° C．【變式52】（2020·河北·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數(shù)y=kx(k>0,x>0)經(jīng)過點A．10 B．24 C．48 D．50題型06已知余弦值求邊長【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 D．【變式61】（2016·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【變式62】（2020·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點E為直線CD上一動點，將線段EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段EF（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當點C，B，F(xiàn)三點共線時，設(shè)EF與AB相交于點G，求線段BG的長；（3）求線段CF的長度的最小值．題型07已知正切值求邊長【例7】（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長的最大值是（

A．25+34 B．25+1 C．2【變式71】（2023·山東日照·校考三模）如圖，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD的長是【變式72】（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）如圖，點A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA=25，tanA=12，反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過OA的中點(1)求k值；(2)求△OBD的面積．【變式73】（2021·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，已知，在△ABC中，O為AB上一點，CO平分∠ACB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點B，交CO于點D，延長CO交⊙O于點E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半徑．題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算【例8】（2022·貴州·模擬預測）計算8+|-2|×cos45°A．2 B．32 C．22+【變式81】（2023·湖南株洲·?？家荒＃┯嬎悖?2-1+12【變式82】（2023·山東濟南·模擬預測）計算：12+【變式83】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：a+1-3a-1題型09求特殊角的三角函數(shù)值【例9】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）在實數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個數(shù)是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式91】（2023·廣東潮州·二模）計算|1-tan60°|的值為（A．1-3 B．0 C．3-1 D題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀【例10】（2022·湖南衡陽·?？寄M預測）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB-3+2cosA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式101】（2021·廣東廣州·廣州大學附屬中學?？级＃┰凇鰽BC中，sinA=cos90°-C=2A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【變式102】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰凇鰽BC中，若sinA-32+12-cosB題型11用計算器求銳角三角函數(shù)值【例11】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考一模）若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器計算sin36°18＇，按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【變式111】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設(shè)的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設(shè)通道的坡角不得小于多少度？（結(jié)果精確到1）（參考數(shù)據(jù)表）計算器按鍵順序計算結(jié)果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005題型12已知角度比較三角函數(shù)值大小【例12】（2022·上?！ば？寄M預測）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan【變式121】（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）比較大?。簊in81°tan47°(填“<”“=”或“【變式122】（2020·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關(guān)系．題型13根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍【例13】（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數(shù)估計在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【變式131】（2022·浙江金華·校聯(lián)考一模）若∠A是銳角，且sinA＝13，則（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【變式132】（2023·陜西西安·?？寄M預測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數(shù)在（

）范圍內(nèi)．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【變式133】（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）若銳角α滿足cosα＜22且tanα＜3，則α的范圍是(A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°題型14利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解【例14】（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知∠α為銳角，且sinα=513，則【變式141】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考三模）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在BC邊的點F處．已知CF=4，sin∠EFC=35，則題型15求證同角三角函數(shù)關(guān)系式【例15】（2021·北京·統(tǒng)考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，且AO=BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分線DM交BC于點M，當AB=3，tan∠DBC=34【變式151】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學校考模擬預測）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt△ABC(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【變式152】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）嘉嘉在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據(jù)此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當α=30°，β=60°時，驗證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結(jié)合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系【例16】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？家荒＃┗唖in28°-cos28°A．sin28°-cos28°C．cos28°-sin【變式161】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃┮阎猻in42°≈23，則cosA．53 B．13 C．32【變式162】（2023·云南昆明·?？既＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，sinA=67【變式163】（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結(jié)論有.考點二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對的邊鄰邊解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1.1.在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).2.已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.題型01構(gòu)造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊AB的長為（

A．32 B．35 C．37【變式11】（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 D．【變式12】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學?？既＃┤鐖D，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．62【變式13】（2022·浙江杭州·?？家荒＃┰凇鰽BC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【變式14】（2022·河南安陽·模擬預測）公交總站(點A)與B、C兩個站點的位置如圖所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站點離公交總站的距離即AB的長(結(jié)果保留根號)．題型02網(wǎng)格中解直角三角形【例2】（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎谟?0個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則tanα+β=【變式21】（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A，B，C均在格點上，D是AB與網(wǎng)格線的交點，則sin∠ADC2的值是【變式22】（2022·四川廣元·?？家荒＃┤鐖D，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為．【變式23】（2021·北京延慶·統(tǒng)考一模）如圖所示，∠MON是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則tan∠MON的值是題型03在坐標系中解直角三角形【例3】（2023·上?！ひ荒＃┢矫嬷苯亲鴺讼祪?nèi)有一點P1,2，那么OP與x軸正半軸的夾角為α，tanα=【變式31】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB=5，連結(jié)AB并延長至C，連結(jié)OC，若滿足OC2=BC?AC，tanα=A．-2,4 B．-43,23 C【變式32】（2021·山東棗莊·校聯(lián)考一模）如圖，⊙A經(jīng)過平面直角坐標系的原點O，交x軸于點B(4，0)，交y軸于點C(0，3)，點D為第二象限內(nèi)圓上一點．則∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34【變式33】（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a,BC=b,∠DAO=x．則點C到x軸的距離等于（

）A．a(chǎn)cosx+bsinx B．a(chǎn)cosx+b題型04解直角三角形的相關(guān)計算【例4】（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．【變式41】（2020·浙江麗水·統(tǒng)考模擬預測）圖1是一個閉合時的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點A與點B重合），點O是夾子轉(zhuǎn)軸位置，OE⊥AC于點E，OF⊥BD于點F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點O轉(zhuǎn)動．(1)當E，F(xiàn)兩點的距離最大值時，以點A，B，C，D為頂點的四邊形的周長是

cm．(2)當夾子的開口最大（點C與點D重合）時，A，B兩點的距離為cm．【變式42】（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則tan∠DEC【變式43】（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b=20mm，則邊長a為mm．題型05構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積【例5】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 D【變式51】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在?ABCD中，AB=BC=2,?∠ABC=60°，過點D作DE//AC，DE=12AC【變式52】（2021·江西贛州·統(tǒng)考一模）圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點B，E，D均為可轉(zhuǎn)動點．現(xiàn)測得AB=BE=ED=CD=14cm，經(jīng)多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)當點B，E所在直線垂直徑過CD的中點F時（如圖3（1）求平穩(wěn)放置時燈座DC與燈桿DE的夾角的大??；（2）為保護視力，寫字時眼睛離桌面的距離應保持在30cm，為防止臺燈刺眼，點A離桌面的距離應不超過30cm，求臺燈平穩(wěn)放置時∠ABE的最大值．（結(jié)果精確到0.01°，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin16.07°≈0.2768，cos73.93°≈0.2768【變式53】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考二模）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，ΔBCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導管，其示意圖如圖2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．當按壓柄ΔBCD按壓到底時，BD轉(zhuǎn)動到BD'，此時BD'//EF（如圖（1）求點D轉(zhuǎn)動到點D'的路徑長；（2）求點D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，【變式54】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點O到水平桌面的距離為7.5cm，當支架OA、AB拉直時所形成的線段與點M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當∠OAB=115°，∠AOM=160°時，臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到B的水平距離為10cm，求此時點B到桌面的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈考點三解直角三角形的應用解直角三角形的相關(guān)的名詞、術(shù)語：1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形實際應用的一般步驟：1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學模型；2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準確；4）得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．測量物體的高度的常見模型：1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.2）測量底部可以到達的物體高度模型需測量數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系原理測量儀高m，水平距離n，傾斜角αtanh=m+n?矩形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系水平距離n，仰角α，俯角βtana=h=h1+h23）測量底部不可到達的物體的高度題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度【例1】（2023·陜西·模擬預測）如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB=16m，則這棵樹CD的高度是（

A．8(3-3)m B．8(3+3)m【變式11】（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即EF=15米，在點E處看點D的仰角為64°，則CD的長用三角函數(shù)表示為（

）A．15sin32° B．15tan64° C．【變式12】（2022·云南昆明·云南師范大學實驗中學?？既＃┠郴﹫鲇脽o人機測量雪道長度．如圖，通過無人機的鏡頭C測一段水平雪道一端A處的俯角為50°，另一端B處的俯角為45°，若無人機鏡頭C處的高度CD為238米，點A，D，B在同一直線上，則通道AB的長度為米．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，【變式13】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB【變式14】（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．類型二測量底部可以到達的物體高度【例2】（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，B為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為10m，在B處放置1m高的測角儀BD，測得樹頂A的仰角為60°，則樹高AC為m（結(jié)果保留根號）．【變式21】（2020·廣東梅州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，某校教學樓AC與實驗樓BD的水平間距CD=153米，在實驗樓頂部B點測得教學樓頂部A點的仰角是30°，底部C點的俯角是45°，則教學樓AC的高度是米（結(jié)果保留根號）【變式22】（2023·廣東中山·中山市華僑中學?？家荒＃┲苣趵蠋煵贾昧艘豁椌C合實踐作業(yè)，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為45°，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m，求這棟樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60,【變式23】（2021·河北石家莊·校聯(lián)考一模）如圖，小明利用學到的數(shù)學知識測量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測點C處測得大橋主架頂端A的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點B的俯角為14°，觀測點與大橋主架的水平距離CM為60米，且AB垂直于橋面．（點A,B,C,M在同一平面內(nèi)）（1）求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號）（2）求大橋主架在水面以上的高度AB．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)sin14【變式24】（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）我們經(jīng)常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）(2)我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度類型三測量底部不可到達的物體的高度【例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°，C點的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，【變式31】（2023·山東東營·校聯(lián)考一模）某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：3≈1.7）【變式32】（2023·天津·模擬預測）如圖，某座山AB的項部有一座通訊塔BC，且點A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為42°，測得塔底B的仰角為35°．已知通訊塔BC的高度為32m，求這座山AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan【變式33】（2022·浙江紹興·校考一模）越來越多太陽能路燈的使用，既點亮了城市的風景，也是我市積極落實節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為1.6米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角∠MBC=33°，在與點A相距3.5米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角∠MEC=45°（點A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN的長．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54,【變式34】（2023·四川宜賓·校考一模）某數(shù)學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點O轉(zhuǎn)動量角器，使觀測目標P與直徑兩端點A,B共線（如圖②），此目標P的仰角∠POC=∠GON．請說明兩個角相等的理由．(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學們在觀測點K處測得頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米；求樹高PH．（3(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距離地面高度PH（如圖④），同學們討論，決定先在水平地面上選取觀測點E,F（E,F,H在同一直線上），分別測得點P的仰角α,β，再測得E,F間的距離m，點O1,O2到地面的距離O1E,O【變式35】（2022·湖南湘潭·校考模擬預測）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像．某數(shù)學活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度．如圖，他們選取的測量點A與佛像BD的底部D在同一水平線上．已知佛像頭部BC為4m，在A處測得佛像頭頂部B的仰角為45°，頭底部C的仰角為37.5°，求佛像BD的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37.5°≈0.61，cos題型02方位角問題【例4】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos【變式41】（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，AC=200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD=100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．(1)求步道DE的長度（精確到個位）；(2)點D處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點B到達點D，也可以經(jīng)過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【變式42】（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考一模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數(shù)學興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【變式43】（2022·重慶·重慶一中校考一模）3月份，長江重慶段開始進入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開始慢慢增加．為及時掌握轄區(qū)通航環(huán)境實時情況，嚴防船舶擱淺、觸礁等險情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開展巡航檢查，確保近七百公里的長江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標B為圓心，150米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會使過往船舶有危險．(1)由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護項目部會組織挖泥船對該條航道被淺灘影響的航段進行保航施工．請判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請求出被影響的航道長度為多少米？如果沒有被影響，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，7【變式44】（2023·重慶江北·校考一模）如圖所示，在一次海上救援演習中，游艇A按計劃停泊在搜救艇B的南偏東30°方向上，同時，在搜救艇B的正南方向，與搜救艇B相距40海里處還設(shè)置了另一支搜救艇C，此時游艇A在搜救艇C的東北方向上，隨著演習正式開始，游艇A按計劃向搜救艇B與C同時發(fā)出求救信號，