2023-2024學(xué)年浙江省杭州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-(l+2i)=5,則z的虛部是()

A.2B.2iC.-2D.-2i

【正確答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.

,、55(1-2i),<

【詳解】因?yàn)閦.(l+2i)=5,所以z=^=(]+；)(]'=『”，

所以z的虛部是-2,

故選:C.

2.數(shù)列｛q｝滿足％=1,勺=衛(wèi)1(〃22),則為的值為()

an-\+1

1111

A.3-B.-45-D.6-

【正確答案】c

【分析】根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可得出的值.

—W1a,1a,1a.1

【詳解】由題意可得，=----=T,。3=—"7=7，4=-----?5=-----------；=-.

故選：C.

3.設(shè)x、yeR,向量a=(x,l,l),S=(l,y,l),c=(3,-6,3)-S-a1c-bile>則卜+閘=()

A.20B.2百C.4D.3

【正確答案】D

【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出x、N的值，求出向量￡+分的坐標(biāo)，利用

空間向量的模長公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍_Lc,則a-c=3x-6+3=0，解得x=l,則“=(1,1,1),

因?yàn)槲锊?，則!=｛，解得片-2,即5=(1,-2,1),

3—6

所以，￡+3=(2,-1,2),因此,R++14+1+4=3.

故選：D.

4.對(duì)2021年某地某款汽車的銷售價(jià)格（單價(jià)：萬元）與銷售數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)選取1000

臺(tái)汽車的信息，這1000臺(tái)汽車的銷售價(jià)格都不低于5萬元，低于30萬元，將銷售價(jià)格分為

［5,10）,［10,15）,［15,20）,［20,25）,［25,30］這五組，統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方

圖，則在選取的1000臺(tái)汽車中，銷售價(jià)格在［5,15）內(nèi)的車輛臺(tái)數(shù)為（）

I頻率/組距

0.08

o25

.OS02

o15

.O

______L.

51015202530銷售價(jià)格/萬元

A.175B.375C.75D.550

【正確答案】B

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中各組頻率和為1可求出。，從而可求出銷售價(jià)格在［5,15）內(nèi)

的頻率，進(jìn)而可求出銷售價(jià)格在［5,15）內(nèi)的車輛臺(tái)數(shù).

【詳解】由頻率分布直方圖知，0.015x5+0.02x5+0.025x5+ax5+0.08x5=l,

所以a=0.06,

所以銷售價(jià)格在［5,15）內(nèi)的頻率為（0.06+0.015）x5=0.375,

故銷售價(jià)格在［5,15）內(nèi)的車輛臺(tái)數(shù)為0.375x1000=375.

故選：B

sin(a+rt)+cos(7t-a)

5.已知tana=—,則(兀、.(3兀、()

2cosla--l+sinlI

A.—B.—C.一3D.3

33

【正確答案】D

【分析】對(duì)所求式子利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再利用弦化切即可求解.

【詳解】tana=—,cosaw0,

2

aI]

sin(a+7t)+cos(7t-a)_-sina-cosa_tana+1_2+l

(兀、.(3?t)sina-cosa1-tana,1

cosa——+sin----a

I2j[2)2

故選：D.

6.已知直線/：x+y+f=0,曲線C：y=J4-X2，貝丁，與C相切”是0=-20”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】首先得到曲線C所表示的圖形為半圓，然后利用幾何法求出直線與圓相切時(shí).，的值,

再將f代入直線，利用幾何法檢驗(yàn)此時(shí)是否相切即可.

【詳解】對(duì)曲線C,兩邊同平方得/=4--,即》2+/=4,其中yzo,

其表示的圖形是以（0,0）為圓心，半徑為r=2的圓的上半部分，包括x軸上的點(diǎn),

kl/=20或-2立，

當(dāng)直線/與曲線C相切時(shí)，則有雙=2,

顯然由圖形知f<0,則/=-2/，故充分性成立,

若/=-2/，則直線/的方程為x+j，-2五=0,此時(shí)圓心到直線的距離［=巴！1=2="，故

41

此時(shí)直線與C相切，故必要性成立.

則“/與C相切”是>=—20”的充分必要條件.

7.如圖，在正三棱柱N8C-4AG中，44=3,AB=2,則異面直線48與8c所成角的

余弦值為（）

4G

A

7553

A.—C.D.

13l377

【正確答案】A

【分析】在三棱錐內(nèi)構(gòu)造直線使其平行于48,然后構(gòu)造三角形，運(yùn)用異面直線夾角的定

義求解即可.

【詳解】取4G的中點(diǎn)連接8G交8。于點(diǎn)E,連接。E,

則DE//&B且?！?348,則4史4為異面直線/田與與C所成的角或其補(bǔ)角.

易求48=耳。=舊，B\D=G則。E=耳石=巫，

DE2+BE2-BD2

所以cosZ.DEB={X

[2DEB、E

故選：A.

8.已知/-1,竽）,8卜，-券，尸（x。,％）為橢圓C：?+：=l上不同的三點(diǎn)，直線/：x=2,

直線PN交/于點(diǎn)/，直線PB交/于點(diǎn)N,若以鶴=$“八，則x°=（）

55L

A.0B.-C.-D.V3

43

【正確答案】B

（分析］根據(jù)三角形面積公式及24PB=ZMPN或ZAPB+4MPN=兀得

歸/尸明=歸訓(xùn)夕初|,再應(yīng)用相交弦長公式列方程，即可求「.

【詳解】由&“=S-則esin乙“分|尸H|P8|=]SinN"PN-|PN||PM，

由圖知：當(dāng)P位置變化時(shí),NAPB=ZMPN或NAPB+ZMPN=n,故sinN4P8=sinNMPN,

所以|刃|尸8|=|尸圳「陷，而直線北、8尸斜率存在且不為0（%#±1）,

故四陷=6后收+1|?日牖?卜-1|,

|叫歸閭=河石也-2|.6有榻-2|,

所以忖_"=&）-2）2,即片-l=x；-4%+4或1-x；=片-4%+4,

當(dāng)x；-l=x；-4x0+4,化簡得％=*

當(dāng)1-x：=x；-4x0+4時(shí)，2x；-4x（）+3=0,顯然A=16-20<0,無解.

所以x°=j

故選：B.

二、多選題

9.已知,月分別為直線的44方向向量（44不重合），晨跑分別為平面內(nèi)夕的法向量（a,/?

不重合），則下列說法中，正確的是（）

A.v,//v2<=>/t±/2B.v,±v2<=>/,±/2

C.〃/也。a1。D.±?2a±/?

【正確答案】BD

【分析】利用直線的方向向量與平面法向量的含義逐一分析判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)镮，E分別為直線4，4的方向向量（4，，2不重合），

則7//EO/J4,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

則v,Iv2?>/j1/2,故選項(xiàng)B正確;

ULU

因?yàn)樯?，々分別為平面a，￡的法向量（a,夕不重合）,

則〃?//%oa//，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

則1/?2<=>a1/?,故選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

10.設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為'，公差為已知〃4=12,514>0,S15<0,則下列結(jié)

論正確的是（）

24」、

A?%<A°B.<d<-3

7

C.S7=84D.設(shè)的前〃項(xiàng)和為。，則看>o時(shí)，〃的

最大值為27

【正確答案】BC

【分析】由已知求得％<0,%>0,解公差為d的取值范圍，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求

和公式及其性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷正誤即可.

【詳解】VSt4>0,S15<0,14（4+/）=7（%+&）>0,二（。廣憶⑸/。,

???%+%>0，4<°，，。7>。，A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

又???4=12,即q=12—3",

%+心=4+3d+4+44=24+7d>0

解得~<d<-3B選項(xiàng)正確;

%=%+4d=12+4d<0f

_7（%+%）

=7%=84,故C選項(xiàng)正確;

2

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛對(duì)｝的前”項(xiàng)和為S,,,所以5,=〃4+歿也d，即$=q+一d，

,SSn—\.（n—\—1d

由=L__!!?zL=a,+--d-\a,+^—d\=~,

nn-12I272

二數(shù)歹為等差數(shù)列，設(shè),

InJn2

因?yàn)楫?dāng)“414時(shí)，S?>0,當(dāng)”>15時(shí)，S?<0,

所以當(dāng)〃414時(shí)，b?>0,當(dāng)”>15時(shí)，bn<0,

所以&="-27=27%>0,%="^<28=14,+到=14（24+“，

74

因?yàn)?亍<d<-3,所以員可能為正數(shù)，也可能為負(fù)數(shù)，所以D選項(xiàng)不正確.

故選：BC.

11.已知圓￡：（X+4/+/=?。?<機(jī)<9）與圓巴Jx-4）2+/=（10-加）2的一個(gè)交點(diǎn)為M,

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是曲線C,則下列說法正確的是（）

A.曲線。的方程式二十』1=1

10036

B.曲線。的方程式廣=1

259

1Q

C.過點(diǎn)耳且垂直于x軸的直線與曲線C相交所得弦長為葭

D.曲線C上的點(diǎn)到直線x+y-6=0的最短距離為30-J萬

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)橢圓的定義即可判斷A,B選項(xiàng)，對(duì)C,求出直線x=-4與橢圓的交點(diǎn)，即可得

到弦長，對(duì)D,設(shè)與直線x+y-6=0平行的直線/:x+y+f=0,fw-6,求出直線/與橢圓

相切時(shí)的方程，再利用平行線之間的距離.

【詳解】對(duì)A,B,由題意知,|阿|=嘰此|=10-加,所以|岫|+此|=10>內(nèi)引=8,

所以點(diǎn)〃的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且2a=10,2c=8,即a=5,c=4,

22

所以6=3,所以曲線C的方程為故A錯(cuò)誤，B正確；

對(duì)C,過點(diǎn)耳，且垂直于x軸的直線為x=M,

它與曲線C相交于兩點(diǎn),4,：）14,-2，

所以弦長為2x：9=1S8，故C正確；

對(duì)D,設(shè)與直線x+y-6=0平行的直線/:x+y+/=O,，w-6,

"+/7

由，259，得34x?+50田+25』-225=0,

*+y+￡=0

令/\=（50。2-4*34（25『-225）=0,解得/=±后，此時(shí)直線與橢圓相切，

易得，=g，此時(shí)切點(diǎn)到直線x+y-6=0的距離距離最短，直線/的方程為

x+y—y/34=0,

此時(shí)兩平行線的距離為k6+產(chǎn)1=36-V17，

V2

故曲線C上的點(diǎn)到直線x+N-6=0的最短距離為372-717.故D正確.

故選：BCD.

12.如圖，在平行四邊形中，AB=\,AD=2,ZA=60°,瓦尸分別為"8,/。的中點(diǎn)，

沿EF將折起到的位置（H不在平面上），在折起過程中，下列說法不

正確的是（）

A.若“■是4。的中點(diǎn)，則8M7/平面HEF

B.存在某位置，使8OJ_/'C

7

C.當(dāng)二面角力-火-8為直二面角時(shí)、三棱錐4-8QE外接球的表面積為Q乃

D.直線HC和平面/3C。所成的角的最大值為￡TT

6

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于A,利用反證法，假設(shè)結(jié)論成立，再利用面面平行推出線面平行，得到矛盾,

故A錯(cuò)；對(duì)于B,同樣采用反證法，假設(shè)結(jié)論成立，利用線線垂直推線面垂直，再結(jié)合空

間向量，能得到矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,主要根據(jù)題目，判斷得到該四面體各個(gè)面都是直

角三角形，根據(jù)外接球性質(zhì)，即可知道球心位置，從而求解：對(duì)于D,利用線面角，可以判

斷出當(dāng)平面平面/8CO時(shí)，直線/'C和平面/8C。所成的角的最大，從而求出該角

的正切值，即可求解.

【詳解】取￡0中點(diǎn)。，連接“。、BQ.若A正確,BM“平面/'EF,且MQ為三角形4FD

中位線，則MQ///N,H尸u面則"?！?'尸￡,

因?yàn)?/CMQ=M,BM,MQu平面MQB,

所以平面/08//平面HEE,

因?yàn)槊鍹Q8n平面ABCD=08,面A'FEc平面ABCD=EF,

所以BQ//FE,顯然，EF為三角形4BD中位線，EF//BD,矛盾，故假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤;

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，為y軸正半軸，在平面中作與4。垂直方向?yàn)閤軸正半軸，z

軸垂直平面/8C。，建立空間坐標(biāo)系.

因?yàn)橐?=60",AE=-,AF=\,所以cosN/=，夕+"一一后尸=j_,

22AE-AF2

所以EF=①,所以4￡+￡產(chǎn)=/產(chǎn)，所以/ELEF,即4E_LEE,

2

又因?yàn)镋F//BD,則

若B正確，則有8DJ.HC,因?yàn)橥遉'Cu平面/EC,

所以8。工平面/'EC,

因?yàn)镋Cu平面/EC,則80,EC必定成立.

則根據(jù)題意,可得E件,：,()］、8伸,;,o］、C伴怖,o］、￡>(0,2,0)麗=，手,1,0

\/\/\7\

EC=——,0,

I44J

則-8-。---石---。-3=-2?7+巴=3,即5OLEC不成立，故矛盾，所以B不成立；

88

當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，即平面HEF_L平面EBD.

根據(jù)上面可知HE_LEF,所以

又BDLEB,

因?yàn)镹'EcE8=E,4'E,EBu平面4EB,所以8。2平面HE8,

因?yàn)?'8u平面4EB,所以

故四面體彳-8OE為所有面都是直角三角形的四面體，根據(jù)外接球性質(zhì)可知，球心必為彳。

中點(diǎn)K,即KB為外接球半徑.

A，E=EB=g,BD=6由勾股定理可知=巫,則K8=巫，外接

224

7

球面積為4萬=-n故C正確.

2

當(dāng)平面平面45。時(shí)，直線HC和平面44C。所成的角的最大，記此時(shí)角為氏

由上圖可知，在EBC中,NEBC=l2G,EB=g,BC=2,由余弦定理

f->l+22-EC2r—

cos120°=—----------可解得EC=-----.

2rx2cx-12

2

1

此時(shí)tan6>=%=-^=字.此時(shí)故D錯(cuò).

ECV21216

F

故選：ABD

三、填空題

13.已知直線3x+2y-3=0和3x+皎+2=0互相平行，則它們之間的距離是.

【正確答案】名叵#*布

1313

【分析】首先利用直線平行求出優(yōu)，在結(jié)合平行線之間的距離公式即可求解.

【詳解】當(dāng)機(jī)=0時(shí),，直線為3x+2=0,顯然不合題意，則/nwO,

33

因?yàn)?x+2y—3=0和3x+叼+2=0互相平行，所以得一一=一一,解得川=2.

2m

則直線3x+〃?y+2=On3x+2y+2=0.

則平行線直接的距離為垠n=率.

y/22+3213

故答案為.生叵

13

14.玉璧是我國傳統(tǒng)的玉禮器之一，也是“六瑞”之一，象征著吉祥等寓意.穿孔稱作“好”，

邊緣器體稱作“肉”.《爾雅?釋器》“肉倍好謂之璧，好倍肉謂之諼，肉好“若一謂之環(huán)”.一般

把體形扁平、周邊圓形、中心有一上下垂直相透的圓孔的器物稱為璧.如圖所示，某玉璧通

高2.5cm,內(nèi)孔直徑徑8cm.外孔直徑16cm,則該玉璧的體積為.

【正確答案】120兀cm,

【分析】分析出該幾何體為大圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)小圓柱，根據(jù)圓柱體積公式進(jìn)行求解.

【詳解】由題意可得該幾何體為大圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)小圓柱,

由圓柱體積公式可得：該玉璧的體積為兀（82-4a2.5=120h0?.

故答案為.120兀cm'

15.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”，牝=5,$5=15,則數(shù)列］」一］的前100項(xiàng)和為

【正確答案】—

【詳解】試題分析：依題意為=5,S$=15,易求得％="=1,所以勺=〃，從而

的前100項(xiàng)和為loo，則

4%〃(〃+1)n77+1

1100

+…+

100101loi-ToT

等差數(shù)列知識(shí)以及特殊數(shù)列求和的方法之一：拆項(xiàng)相消法.

16.已知點(diǎn)M（l,2）,點(diǎn)尸是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，鳥為其右焦點(diǎn)，N是圓

。:（x+5）2+/=1的動(dòng)點(diǎn)，則_|PN|的最小值為.

【正確答案】5-26##-25/?+5

【分析】根據(jù)雙曲線定義有|尸閶-1尸0=6,則到-|g|,1PMs91+|。時(shí)，

：.\PM\-\PN\>\PF2\-2q-卬卜1=5-2下,則得到最小值.

【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為g（5.0）,

圓D的圓心。（-5,0）,恰好為雙曲線的左焦點(diǎn)，

.-.|P^|-|PD|=6,四段=’”5）2+（2-0）2=275，

?■?|PA/|>|P^|-|A/^|=|P四-2行（當(dāng)且僅當(dāng)g三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），

忙叫4|9|+。乂|=歸￡?|+1（當(dāng)且僅當(dāng)。,N,P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），

:.\PM\-\PN\>叫-2尋物/1=5-2瓦

|PM|-|PN|的最小值為5-2石.

故答案為.5-25/J

四、解答題

17.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,.

(1)若公比4=2,a,,=96,S,,=189,求〃;

(2)若S、：S2=3:2,求公比夕.

【正確答案】(1)6

(2)1或

【分析】(1)根據(jù)已知條件列方程，化簡求得〃.

(2)根據(jù)已知條件列方程，化簡求得“

nl

an=a}-2~=96

【詳解】(1)依題意

s,=；2=%(2"T)=189

由于％W0,所以兩式相除得=—,189-2/,_,=96(2〃

2"-11891)

189-21=192?2”7-96,3-2〃T=96,2〃T=32=25,止1=5,46.

/.、……q+4+%2即=1+g+q2=3

(2)依題導(dǎo)

6+%2%+%q1+q2

2q2-q-\=0,解得g=l或g=_；.

18.已知向量a=(sinx+cosx,2sinx),h=(sinx-cosx,-V3cosx)>記函數(shù)f(x)=ah(xeR).

(1)求/(x)的對(duì)稱軸和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角/8C中，角4B,C的對(duì)邊為a,b,c,若/(/)=2,a=,求6+c的取值范

圍.

【正確答案】⑴對(duì)稱軸為x=9+然伏eZ),\-^+k7r,^+kAkeZ)

32L63

⑵(3,2萬)

【分析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積、二倍角公式、輔助角公式得/(x)=2sin(2x-?J,從而可

求對(duì)稱軸方程及單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)先求得力=?,再由正弦定理及兩角和與差的正弦公式及輔助角公式可得

6+c=27isin8+971,根據(jù)三角函數(shù)可求得范圍.

6

【詳解】(1)由題意/(x)=(sinx+cosx)?(sinx-cosx)+2sinx-VJcosx=-cos2x+V3sin2x

2sin(2x-j,

所以/(X)的對(duì)稱軸為2x-S=W+k乃，即x=^+g/eZ),

6232

7/)7)77/77

單調(diào)遞增區(qū)間滿足+2左)<2x——<—+2左乃，解得+k7T<x<—+k7T,

26263

7V.TV-

所以單調(diào)遞增區(qū)間為------卜kTT,一+K7T\K€Z).

63

ah

(2)由"4)=2得，J=所以—=2,

sinAsinBsinC

所以b+c=2sinB+2sinC=2sin5+2sin,+y2用ing+器

冗

0<B<-

2,口乃八乃

因?yàn)?8C為銳角三角形，故,得一<6<一,

247F62

0<C=------B<—

32

所以2百sin(8+t卜(3,2@,即6+c的取值范圍為(3,2瓜

19.如圖，點(diǎn)力(2,8),8(占,必)，CH，8)在拋物線V=2px上，且拋物線的焦點(diǎn)尸是ABC

的重心，〃為8c的中點(diǎn).

(1)求拋物線的方程和點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及8c所在的直線方程.

【正確答案】⑴y:32x；尸(8,0)

(2)M(11,-4)；4x+y-40=0

【分析】⑴將42,8）代入/=21求得?值，得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)用的坐標(biāo)為（方,%）,根據(jù)萬==2兩即可求出線段8c中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

由必:二得kBC=-4，再求出直線BC所在直線的方程.

y2=32X2

【詳解】（1）由點(diǎn)4（2,8）在拋物線歹2=2.上，有82=2px2,解得p=16.

所以拋物線方程為V=32x,焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（8,0）.

（2）由于尸是48C的重心，M是線段8C的中點(diǎn)，

所以萬=2麗'，設(shè)點(diǎn)用的坐標(biāo)為（x。,%）,

則而=（6,-8）,麗=（x0-8,九），

,6：2，。-8）,解得/=[],為=_4,所以點(diǎn)加的坐標(biāo)為⑴,-4）,

由"IC”得（必+凹）（必-凹）=32（3-士），

[y2=32七

因?yàn)椤ǎ?1,-4）為為8c的中點(diǎn)，故乂+%=-8,

所以———=-4=kBC,

因此8c所在直線的方程為y-（-4）=-4（x-ll）,

即4x+y-40=0.

2，

20.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S.，4=3,（n-l）5?=?5?.l+?-H（n>2,neN）；

（1）證明：11｝為等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑶令b,咤,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【正確答案】（1）見解析

⑵%=2〃+1

(3戊=5-蟹

【分析】（1）變型可得從而可得｛2｝為等差數(shù)列；

nn-\n

（2）由（1）進(jìn)而求得，=〃2而〃,根據(jù)。，與S”的關(guān)系可得%=2〃+1：

（3）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)椋āā?）S“=〃S“T+〃2-〃（〃22）,

則有（"T）S”-〃S"一產(chǎn)，

兩邊同時(shí)除以"（〃一1）得：、一34=1,n>2,岳=%=3,

nn-\

所以數(shù)列｛2｝是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

n

（2）由（1）得鼠=3+（〃一l）xl=〃+2,則S“二〃2+2〃，

n

當(dāng)鹿22時(shí)，。〃=S〃-S〃_]=/+2〃一（〃-1）2-2（〃-1）=2〃+1,

q=l符合上述通項(xiàng)式,

故=2〃+1.

(3)b=%①，

n2〃2〃

,35792/7-12〃+?

7；'=2+F+F+F+"'+^r+^r@

1丁35792〃-12〃+1…

療尹+f+/+尹+…+丫+尸②

萬.?曰1322222〃+1

①-②得：/二+5+牙+斤+…+亍2〃+i

%1F+32^2n+15加+5

2'+]2Z”

得7；=5一歲

21.如圖，四棱錐尸-/8。中，底面/8CZ）是直角梯形，ZDAB=90°AD//BC,/。_1_側(cè)

面以8,△必8是等邊三角形，DA=AB=2,BC=-AD,E是線段的中點(diǎn).

2

(1)求證：PELCD；

(2)求PC與平面POE所成角的正弦值.

3

【正確答案】(1)見解析；(2)-

(1)先證明/O_LEP，再證明又=/,推出尸E_L平面Z88,然后證

明PELCD；

(2)以￡為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-肛z,推出麗=(2,1,0),EP=

(0,0,6)，PC=(1,-b-JI),設(shè)方=(x,y,z)為平面P￡)E的一個(gè)法向量，由

n-ED-2x+y-0

可以求得力=(1,-2,0),設(shè)PC與平面PAE所成的角為仇利用

n-EP=V3z=0

,—?PC-M33

sine=C05<PC-?>=,最后得出PC與平面PDE所成角的正弦值為

1因同55

【詳解】(1).."DJj則面以8,PEU平面：.AD±EP.

又；△弘B是等邊三角形,￡是線段45的中點(diǎn)，.,./8_L￡P(guān).

"."ADHAB^A,：.PEmABCD.

：。0：平面/3。。，C.PELCD.

(2)以E為原點(diǎn)，EA、EP分別為八z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則E(0,0,0),C(1,-1,0),D(2,1,0),P(0,0,6).

ED=(2,1,0),EP=(0,0,73)，PC-(1,-1>-y/3).

設(shè)萬=(x,y,z)為平面PDE的一個(gè)法向量.

n-ED=2x+y=0

由《一r，令x=l,可得方=(1,-2,0)

n-EP-A/3Z=0

設(shè)PC與平面PDE所成的角為0,得

河萬|=3

sind=^cos<PC-n>

3

所以尸C與平面PDE所成角的正弦值為

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用線面垂直證明線線垂直，利用空

間向量求線面角的正弦值，屬于中檔題目.

22.尸為圓4:(x+2)2+/=36上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0),線段PB的垂直平分線交直

線4P于點(diǎn)。.

(1)求點(diǎn)。的軌跡方程C;

(2)在(1)中曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為4和4,M,N為曲線C上異于4、4的兩

點(diǎn)，直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行.點(diǎn)用關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為S,若直線4s

與直線4N相交于點(diǎn)T,直線07與直線相交于點(diǎn)R,證明：在曲線C上存在定點(diǎn)E,

使得R2E的面積為定值，并求該定值.

【正確答案】(1)工+廣=1

95

(2)證明見解析