2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.雙曲線片-Y=i的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

)

3

A.(2,0),(-2,0)B.(V2,0),(-72,0)

C.（0,V2）,（0,-V2）D.（0,2）,（0,-2）

【正確答案】D

【分析】求出c的值，結(jié)合雙曲線焦點(diǎn)的位置可求得該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】在雙曲線孑一/=1中，/=3,〃=1,則c=J7壽=2，

由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，

2

因此，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,2）,（0,-2）.

故選：D.

本題考查利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)P是橢圓x?+X=l上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）

3

A.272B.2^C.275D.4&

【正確答案】B

【分析】利用橢圓的定義即可求解

【詳解】由X?+或=1可得/=3,

3

根據(jù)橢圓的定義可得P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a=273.

故選：B

3.數(shù)列1,二,工,七，:，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

37

A.^=(-1)""-^—B.a“二（7）”T擊

D.%=

Z—1

【正確答案】A

【分析】根據(jù)規(guī)律寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式

【詳解】奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可用（-1）向來實(shí)現(xiàn)，

而各項(xiàng)分母可看作21-1=1,22-1=323-1=724-1=1525-1=31,

各項(xiàng)分子均為1，

該數(shù)列的通項(xiàng)公式為?！?（-1）"*'?-A-.

2--1

故選：A

4.某同學(xué)利用寒假進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)勤工儉學(xué)，共收入1200元，第一天收入10元，之后由于

技術(shù)熟練，從第2天起每天的收入都比前一天多10元，該同學(xué)一共進(jìn)行的天數(shù)是（）

A.14B.15C.16D.17

【正確答案】B

【分析】記每天的收入為數(shù)列則｛應(yīng)｝為公差為10的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公

式列出方程，求出天數(shù).

【詳解】記每天的收入為數(shù)列｛4,,｝,則｛%｝為公差為10的等差數(shù)列，且6=10,

則10"+亞二9x10=1200,解得：〃=15或-16（舍去），

2

故同學(xué)一共進(jìn)行的天數(shù)為15天.

故選：B

5.已知4為拋物線C：/=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)/到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為10,到y(tǒng)

軸的距離為9,則。=（）

A.2B.3C.6D.9

【正確答案】A

【分析】利用拋物線的定義即可求解.

【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為尸，由拋物線的定義知M/|=9+5=10,解得p=2.

故選：A.

6.已知雙曲線C:￡-《=l。>08>0的離心率為叵，則C的漸近線方程為（）

a2b23

A.y=±-xB.y=±1xC.y=+—xD.y=ix

432

【正確答案】B

【分析】由雙曲線的離心率，得到。，c關(guān)系，從而得到a,6關(guān)系，從而得到雙曲線的漸

近線方程.

【詳解】因?yàn)镃：4-4=l的離心率為畫，

a2b23

所以￡=叵，

a3

所以〃=6?_〃2=導(dǎo)。2_〃2=#,

解得6=+，

22L1

所以雙曲線c：0-2=1的漸近線方程為"±4=±9.

ab*a3

故選：B.

7.設(shè)等比數(shù)列血｝的前"項(xiàng)和為S"，若"=2,則()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】由己知可求得“3=2,再根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求出.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為/則"=g3=2,

q(i-力

:羽=l—q~614—3

S3%(1-01-41-2

1-q

故選：C.

v.22

8.已知A,8是橢圓、+v,=l(a>6>0)長(zhǎng)軸上的兩個(gè)端點(diǎn)，〃是橢圓上一點(diǎn)，直線為A1,

8M的斜率分別為尢，k2,若橢圓的離心率為正，則勺?&=()

2

1311

A.一一B.一一C.一一D.一

3444

【正確答案】C

【分析】根據(jù)離心率求出與=」，設(shè)M(x。,九)(x°H±a),表示出尢，&,再代入計(jì)算可得.

a4

【詳解】解：依題意可得力(-4,0),8(4,0),設(shè)必(了。,九)(/二±0),

=1

所以用=』~,k2=-^~,4+4)

2

x0+ax0-aa/

因?yàn)闄E圓的離心率為E，所以e=￡=［「M=立，所以與=」，

2a\a22a24

呻T)

所以上.左一。%=r?吸］.

“I,2'>?7?7A

XQ+tzXQ—uXQciXQci(14

故選：c

二、多選題

9.給出如下四個(gè)命題正確的是（）

A.方程/+/一2》+1=0表示的圖形是圓

B.橢圓片+己=1的離心率e=或

323

C拋物線X=2y2的準(zhǔn)線方程是》=一）

8

227

D.雙曲線2-二=1的漸近線方程是卜=土」x

49255

【正確答案】CD

【分析】依次判斷各選項(xiàng)正誤即可.

【詳解】對(duì)于A,/+/_2》+1=0=（》-1）2+/=0,則方程表示的圖形為坐標(biāo)（1,0）,則

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由寸+廣=1可知a="b=Rc=l,則離心率為e=￡=J==T則B錯(cuò)誤；

32a63

對(duì)于C,x=2/=r=1x,則2P=[np=，，則準(zhǔn)線方程為x=-《=-J,則C正確；

2242o

227

對(duì)于D,由匕-工=1可知焦點(diǎn)在夕軸上，且。=7,6=5,則漸近線方程是y=±fx=±;x,

4925b5

則D正確.

故選：CD

10.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,。向=號(hào)?。?wN*）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.為等差數(shù)列B.｛"“｝的通項(xiàng)公式為%=5三

C.圖為等比數(shù)列D.目的前〃項(xiàng)和T=g（3"-1）

【正確答案】AB

【分析】由“用=武7兩邊取倒數(shù)，可求出｛4“｝的通項(xiàng)公式，再逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,

即可得答案.

,,11+3%1c11c1I

【詳解】因?yàn)橐?——-=—+3,所以-------=3,又一二1,

《川4狐口用瑪可

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，—=1+3（?-1）=3?-2,

故A正確，C錯(cuò)誤；

所以?！?下二，故B正確；

3n-z

因?yàn)楣?3〃-2,所以的前"項(xiàng)和北=1t3〃-2“=近二!,

%[a?]22

故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.若｛對(duì)｝為等比數(shù)列，&是｛《,｝的前〃項(xiàng)和，則S“，S2n-S?,邑“-S?”是等比數(shù)列

B.若｛叫為等差數(shù)列，S,,是｛%｝的前〃項(xiàng)和，則S,,,S2,-S?,號(hào)“-%,是等差數(shù)列

C.若｛/｝為等差數(shù)列，且加，n,p,g均是正數(shù)，貝心機(jī)+”=P+4”是“%+《,=%+%”的

充要條件

D.滿足智=4（W€N*K9*O）的數(shù)列｛?｝為等比數(shù)列

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和性質(zhì)及等比數(shù)列定義判斷，利用特例判定其余錯(cuò)誤選項(xiàng).

【詳解】若｛為｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為9,4工0,，是｛4｝的前〃項(xiàng)和，

設(shè)%當(dāng)〃=2時(shí)，S2=0,54-52=0,S6-S4=0,

s“,S2ll-S?,邑“-$2,,不是等比數(shù)列，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若｛。,,｝為等差數(shù)列，S“是｛%｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)公差為"，

則S,=q+a2+…+。,，

22

S21t-S?=an+i+q,+2+…+4+“=(al+a2+--+an)+nd=S?+nd,

Sa+

3n~$2"=2?+\+。2”+2+…+。2，，+“=(凡+14+2+…+°2?+,.)+?^=-S^+ll'd,

所以S“，S2?-S?,S3,,-S?”是等差數(shù)列，所以B選項(xiàng)正確;

｛4｝為等差數(shù)列，考慮?！?1，4+4=〃3+勾，1+2H3+4,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

根據(jù)等比數(shù)列定義，數(shù)列｛4｝,黃=夕（〃eN*且4=0）的數(shù)列｛0“｝為等比數(shù)列，所以D

選項(xiàng)正確.

故選：BD

12.如圖，耳、工是雙曲線與橢圓G的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)N是G、G在第一象

B.△陽鳥的內(nèi)切圓與X軸相切于點(diǎn)（1,0）

c.若陽用=1尸/I，則G的離心率為方

D.若“口/，則橢圓方程為/上1

【正確答案】ABD

【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓方程可得/-〃=4判斷A,利用切線長(zhǎng)性質(zhì)結(jié)合雙

曲線的定義可判斷B,利用雙曲線和橢圓的定義得到忻旬、內(nèi)山的關(guān)系式，再利用

陽周=|片山和離心率公式可判斷C,利用勾股定理得到（。+1）2+（。-1）2=公2=16,進(jìn)而求

出橢圓的方程判斷D.

【詳解】解：對(duì)于A：由X?-匕=1可得C=JI75=2,所以/-〃=C2=4,故A正確；

3

對(duì)于B：設(shè)△/耳工的內(nèi)切圓的圓心為/,且圓與邊力耳、g、乙/相切于N、M、K,

可得忸|取田=|月耳,又因?yàn)椴范?2,

所以由M-?K|=|與叫-優(yōu)M|=2,又陽M|+HM=4,

解得內(nèi)閘=1,閨M=3,

可得”的橫坐標(biāo)為1,即/的橫坐標(biāo)為1,即△/月&的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)(1,0),故B正

確；

對(duì)于C：在橢圓G中，⑶㈤-內(nèi)旬=2,惘旬+醫(yī)旬=2%則2閨4=2a+2,

由閨周=|耳H=2c=4,得2x4=2a+2,解得。=3,

c2

則C,的離心率e=￡=；,故C錯(cuò)誤；

a3

對(duì)于D：因?yàn)?4-內(nèi)巾=2,陽旬+|瑪目=2%

所以歸/|=4+1,內(nèi)=

若力片，力乙，則(a+l)2+(a-I)2=4c2=16,

又c=2,b2=a2—c2<解得a=VY>b=>/3,

則橢圓的方程為片+乙=1,故D正確.

73

故選：ABD.

三、填空題

13.雙曲線片-二=1的虛軸長(zhǎng)為

35

【正確答案】2亞

【分析】利用雙曲線虛軸的定義即可求解

【詳解】由己-《=1可得/=3,b2=5,

35

所以雙曲線:-9=1的虛軸長(zhǎng)為26=2抵'，

故2石

14.圓x,+2X+/+4y-3=0被直線x+y+1=0截得弦長(zhǎng)為

【正確答案】2氓

【分析】求出圓心到直線的距離，再用弦長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】圓/+2x+/+4y-3=0的圓心為(-1,-2),半徑廠=20，

且離為d=tl尹1=夜，

則圓心(-1,-2)到直線x+y+1=0的月1

Vi+i

所以弦長(zhǎng)為2J,一"2=2卡，

故2瓜

15.已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為勺=(2〃-1)(2〃+1)'數(shù)列｛(｝的前〃項(xiàng)和為S“，則

&______

【正確答案】\

【分析】利用裂項(xiàng)相消法即可求解

【詳解】因?yàn)镽~-=7

(2〃-12n+l)'

所以S,+!)++(7~--------^-4+(----------=-(1———

23352/7--32/7-12n-i2〃+122〃+12〃+1

則兒吟

10

故與

等比數(shù)列｛“,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，

16.且a2a6=8,則

logjfl)+log2a2+log2a3++log2a7=

21

【正確答案】—

2

【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù),

所以=。：=8,故為=2之，

包21

+loa22

所以logzq+log2a2+bg2%+g27=log2Qa2a3%)=dg%=log=y

j,21

故工

2

四、解答題

17.記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知為=-3,S3=-15.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S,,的最小值.

【正確答案】⑴勺=2〃-9

⑵最小值為-16

【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)求和公式列出方程，求出44,進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式：

（2）利用等差數(shù)列求和公式求出邑=〃2-8〃，當(dāng)〃=4時(shí)，S,取得最小值，并計(jì)算出最小

值.

【詳解】（1）設(shè)｛%｝的公差為d,由題意得|〃；21=_3=-T

所以｛為｝的通項(xiàng)公式為《,=-7+2（〃-1）=2〃-9；

（2）由等差數(shù)列求和公式得：S“="（-7[2"9）=tf=（〃_4,_16,

故當(dāng)〃=4時(shí)，5“取得最小值，最小值為S4=42-8x4=76.

18.已知拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸（4,0）,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線方程；

（2）斜率為1的直線過點(diǎn)凡且與拋物線交于48兩點(diǎn)，求力08的面積.

【正確答案】（l）/=16x

（2）32&

【分析】（1）由題可得4=4,即可求出P；

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式可求出恒同，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三

角形的高，最后利用面積公式即可

【詳解】（1）尸（4,0）,則由拋物線性質(zhì)得］=4,

p=8,y2=l6x,

即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=16x.

（2）由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為尸（4,0）,

斜率為1的直線/的方程為y=x-4,4（占,必），8（%,%）,

"5-16'=>X2-24X+16=0,A=242-4X16>0

y=x_4

所以再+刀2=24,%3=16,

2

/.\AB\=Jl+FW-x2|=V2-^24-4X16=32.

原點(diǎn)。到直線/的距離為d=J^=2&,

Vl+1

所以/OB的面積S/以=；創(chuàng)322后=32立

19.如圖，四棱錐尸一/88中，「。_1平面/8?！辏?底面是正方形，PD=AB=2,

E為PC中點(diǎn)、.

（1）求證：P/〃平面BDE；

（2）求平面BDE與平面PAB的夾角余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

喈

【分析】（1）通過證明總與面8DE內(nèi)的一條直線平行，即可證明尸/〃平面50E.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出面8AE與面Q48的一個(gè)法向量，即可求出面80E與

面尸NB夾角的余弦值.

【詳解】（1）由題意

在正方形/BCD中，AB=AD=CD=2,

連接/C交8。于點(diǎn)尸，連接EF,則點(diǎn)尸為線段/C的中點(diǎn)

在△ZCP中，E為PC中點(diǎn)

PAHEF,

,.?力尸二面8?！?EFu面BDE

：.PAH面BDE

（2）由題意及（1）得，ADVCD

在四棱錐尸-48CD中，PZ）_L平面N8CD

：u面,CDu面/8CD

/.PDVAD,PDLCD

建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示

.?.4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),0(0,0,0),尸(0,0,2),￡(0,1,1)

在面80E中，=(2,2,0),￡)￡-(0,1,1)

設(shè)平面的一個(gè)法向量為心(x“y“zj,

則[力豪為+2m=。解得：卜=-必

n}-DE=y}+z]=0一~z\

當(dāng)兇=-1時(shí)，勺=(1,一1,1)

在面產(chǎn)45中,PA=（2,0,~2）,AB=（0,2,0）

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃2=(々,%/2),

y2=°

當(dāng)七=1時(shí)，%=（1,01）

設(shè)平面BDE與平面PAB的夾角為。

|lxl+O+lx

?cos，=

20.已知圓C的圓心在直線N=x上，且圓C經(jīng)過點(diǎn)”(-2,0)和點(diǎn)N。,一百).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)求經(jīng)過點(diǎn)。(2,1)且與圓C相切的直線方程.

【正確答案】(1?2+/=4

⑵x=2或3x+4y-10=0

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=/(r>0),進(jìn)而待定系數(shù)法

求解即可

(2)分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論求解即可

【詳解】(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-b)2=/(廠>0),

(-2-a)2+Z>2=r2

由已知得(1-。)，卜,

b-a

解得a=0,6=0/=2,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為r+/=4；

(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為卜-1=左(》-2),即米-y-2左+1=0,

由直線與圓C相切，得哈」=2,解得/=_；,

JF+14

此時(shí)直線的方程為y-l=-3(x-2)即3x+4y-10=0：

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=2,顯然與圓C相切.

所以所求直線的方程為x=2或3x+4y-10=0

21.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=l,前〃項(xiàng)和S“滿足勺=后+反(weN,fin>2).

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=3-,令%=anb?,求數(shù)列｛e?｝的前八項(xiàng)和7；.

【正確答案】⑴4=21；

⑵7；=(〃-1)3"+1.

【分析】(1)先由%=5,-5,1=回+瓦；凡>0,可得病-瘋二=1(〃22),從而可得

數(shù)列｛瘋｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求出后，從而可求出｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)由⑴得c“=a/,=(幼-1)3-,然后利用錯(cuò)位相減法可求出7；.

【詳解】(1)因?yàn)??！?邑-5,1=瓦+反凡>0(NCN*且"22),

所以瘋-67=1(〃22)，

所以得數(shù)列｛6｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以6'=1+(〃-1)="，

所以S,=〃2,

所以4,==〃+"T=2n-1(n>2),

因?yàn)?=1滿足上式，

所以%=2〃-1

(2)因?yàn)閎“=3"T,a?=2n-\,

所以c“=a也=(2“T)?3i,

所以7；=1X3°+3X315X32+…+(2〃-3)3"-2+(2〃_l)3"T,

所以37；=卜31+3*32+5、33+-+(2〃-3)3"-'+(2〃-1)3",

所以-27；=1+2x3,+2x3?+2x3^+…+2x3"-'-(2〃-1)3"

=1+2(3'+32+---+3,,-')-(2n-l)3,,

=]+2*3(1_3”')_(21)3“

1-3

=l+3(3,'-'-1)-(2H-1)3"

=-2-(2〃-2)3”

所以北=5-1)3"+1

22.已知橢圓C：q+￡=l(a>b>0)的離心率為孝，且短軸長(zhǎng)2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)/(0,2)的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線/的

方程.

2

【正確答案】(1)5+/=1

(2)y=~~x+2或y=—~^~x+2

【分析】(1)根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)和離心率，結(jié)合