2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省南通市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.sin64cos40-cos64°sin4=()

A.3B.：C,-3D.--

2222

【正確答案】A

【分析】直接運(yùn)用兩角差的正弦公式即可.

【詳解】sin64cos4-cos64sin4°=sin(64-4j=sin60=~~

故選:A.

2.已知“，人為不共線的向量，且A3=a+5/?，BC=-2a+Sb^CQ=4a+2b則()

A.A,8,C共線B.A8,￡>共線C.A,CO共線D.aC,O共線

【正確答案】B

【分析】根據(jù)AB，BC，CD求出AC和80,再根據(jù)A8與BC不共線，可得4,8,C不共線,

根據(jù)A8與80共線，且有公共點(diǎn)8,可得共線，根據(jù)AC與CD不共線，可得4C,￡>

不共線，根據(jù)BC與CO不共線，可得B,C,O不共線.

【詳解】因?yàn)锳B=a+56，BC=-2a+8b>C￡>=4a+2b，

所以8O=8C+CQ=2a+10Z>，AC=AB+BC=-a+13b，

因?yàn)閍，b為不共線，所以a,6為非零向量，

若存在;UR,使得A8=/13C，

貝!ld+5b=4(-24+86)=-2Aa+SAb,BP(1+22)6=(82-5)Z>,

,fl+2/l=0A=~2

因?yàn)閍,6不共線，所以。，<八，即<，此方程組無(wú)解，

OA—3=()1J

IA=—

8

故AB與BC不共線，所以A,B,C不共線，故A不正確；

因?yàn)?即AB與BO共線，又AB與BD有公共點(diǎn)B，所以共線，故B正確;

若存在；IGR,使得AC=/LC￡>，貝1」一4+13/?=4彳°+2；1。，即(1+42)。=(13-24止，

1+4/1=0

因?yàn)?,。不共線，所以,此方程組無(wú)解,

13-22=0

故AC與C。不共線，所以不共線，故C不正確;

右存在人wR,使得8c=2CZ)，則—2“+8h=44a+2効，即(42+2)4=(8—22)8,

[42+2=0彳=-丄

因?yàn)閍,6不共線，所以匕?八，即2,此方程組無(wú)解，

18-24=0卜=4

故BC與C。不共線，所以反C。不共線，故D不正確.

故選：B

3.設(shè)2(z-4+12=3(z+4+8i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.2iB.2C.-2iD.-2

【正確答案】B

【分析】設(shè)z="+齒(a,beR),則]=a-歷，利用復(fù)數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可求得。、b的值,

即可得解.

【詳解】設(shè)2=。+齒(abeR),則三=“_m，

由2(z-z)+12=3(z+z)+8i可得12+4〃i=6tz+8i,所以，解得a=/>=2,

因此，復(fù)數(shù)z的虛部為2.

故選：B.

4.在...ABC中，角A8,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且B=b=3,a=6,貝!|c=().

A.73B.2x/3C.3-73D.3

【正確答案】B

【分析】利用余弦定理可構(gòu)造方程直接求得結(jié)果.

【詳解】在_A3C中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=3+c2-y/3c=9.

即Gc—6=0,解得：c=2>/5或c=-G(舍)，.'.c=26.

故選：B.

5.已知在中，AB=2,AC=3,NBAC=(,點(diǎn)。為邊BC上靠近8的三等分點(diǎn)，則

A￡>.8C的值為（）

A.--B.--C.|D.-

3333

【正確答案】D

【分析】利用48、AC表示向量4。、BC，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得AD8C

的值.

【詳解】如下圖所示:

由平面向量數(shù)量積的定義可得AB-AC=|ABHAqcos（=2x3xg=3,

因此，ADBC^^(2AB+--2

4C).(AC-A8+ABAC-2AB

=1X(32+3-2X22)=^.

故選：D.

6.已知一ABC中，a,b,。分別是角A,B,C的對(duì)邊，且滿足Z?cosC=a+ccosB,則該

三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【正確答案】C

【分析】利用正弦定理將邊化為角，再逆用兩角差的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】因?yàn)閎cosC=〃+ccosB,

由正弦定理可得：sinBcosC=sinA+sinCcosB,

所以sinBcosC-sinCcos3=sin[%一(3+C)],

所以sin(B-C)=sin(3+C),

所以3—C=3+C或3—。=4一3-C,

即C=0(舍去)或8=5，

故_45C為直角三角形,

故選：c

7.已知sin]a則sin(2a+兀的值為(

)

6

D.V

A-ic-1

【正確答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式即可求解.

【詳解】由2a+二-2a+^=',^2a+-=-+2a--,

632623

7T

所以sin(2a+F=sin-+2a--=cosla--

23I3

所以sin12a+看=cosl2a--]=1-2sin21a--|=l-2x

3694

故選:A.

8.某觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西25方向，從A出發(fā)有一條南偏東35走向的公路，在C處

測(cè)得與。相距31m的公路8處有一個(gè)人正沿著此公路向A走去，走20而到達(dá)。，此時(shí)測(cè)得

CD距離為21析1,若此人必須在20分鐘內(nèi)從O處到達(dá)A處，則此人的最小速度為()

B

A.30切？/〃B.45kmihC.\4km/hD.\5hnlh

【正確答案】B

【詳解】由已知得/。48=25。+35。=60。，BC=31,CD=21,80=20,可得

皿3=此2+8庁-8；3『+2。2-212年那么s所竽

2BCxBD2x31x20

于是在“BC中，Q窯翳=24,

222222

在aABC中，BC=AC+AB-2ACABcos600fKfl31=24+AB-24AB,解得A8=35或

AB=-11(舍去)，因此AD=AB-BD=35~20=15.

故此人在。處距A處還有15km,若此人必須在20分鐘，即§小時(shí)內(nèi)從。處到達(dá)A處，則

其最小速度為15+g=45(km/h).

故選B.

二、多選題

9.歐拉公式/=cosO+isin，（其中i為虛數(shù)單位，是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，

該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論

里占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）

A./=也+立iB.啟為純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)*的模長(zhǎng)等于1D.方的共枕復(fù)數(shù)為丄-@i

e22

【正確答案】ABC

【分析】利用歐拉公式計(jì)算岀各選項(xiàng)指數(shù)式的復(fù)數(shù)代數(shù)形式，即可判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】A：由題意，/=cos&+isinX=^+《li,正確；

4422

B：由題意，=cos工+isin^=i為純虛數(shù)，正確；

22

C：由題意，/=cos乃+isin）=一1,其模長(zhǎng)為1,正確；

D：由題意，Ji=cos-+isin-=^+i,則其共輒復(fù)數(shù)為且一丄，錯(cuò)誤.

662222

故選：ABC

10.設(shè)向量a=（%,2）,k（l,-l）,則下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.若a與人的夾角為鈍角，則左<2且左工一2

B.口的最小值為2

c.與各共線的單位向量只有一個(gè)為孝，一孝）

D.若忖=2忖，貝也=2近或-2a

【正確答案】CD

【分析】利用向量的夾角公式可判斷A的正誤；利用向量的模長(zhǎng)公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可

判斷B的正誤；利用向量共線的坐標(biāo)表示可判斷C的正誤；利用模長(zhǎng)公式可求出％的值，

進(jìn)而判斷D的正誤.

【詳解】A：若a與6的夾角為鈍角，則有“力=k-2<0，且“與6不共線，

即上<2且厶片一2,故A正確;

B：口=厶2+4,當(dāng)且僅當(dāng)女=0時(shí)，也有最小值為2,故B正確；

c：與6共線的單位向量有（等，-孝和-4，乎］兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；

D：若忖=2忖，則42+4=20，解得左=±2,故D錯(cuò)誤；

故選：CD.

11.在一/WC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,以下說(shuō)法中正確的是（）

A.若4>B,則sinA>sin8

B.若a=4力=5,c=6,則一ABC為鈍角三角形

C.若a=5,b=10,A=:，則符合條件的三角形不存在

4

D.若acosA=%cos8,貝ijABC一定是等腰三角形

【正確答案】AC

【分析】利用正余弦定理，三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】若4>8,則”>b,所以由正弦定理可得sinA>sinB,故A正確；

若。=4,b=5,c=6,則/</+〃，即cosC/U”>0,所以角C為銳角，B|J.ABC

2ab

為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；

若a=5,b=10,4=￡,根據(jù)正弦定理可得sinB=%4=Wxe=0>l

4a52

所以符合條件的三角形不存在，即C正確；

若acosA=Z?cosB,則sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin28,因?yàn)?Ac（0,兀）,2Bs（0,兀）,

TT

所以2A=28或2/1+28=1,即A=B或4+8=萬(wàn)，

所以/SC為等腰或直角三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

12.已知；.ABC中，AB=1,AC=4,BC=JT5,。在3c上，AO為254C的角平分線,

E為AC中點(diǎn)下列結(jié)論正確的是（）

A.BE=y/3B..A6C的面積為舊

C.AD=-D.尸在的外接圓上，則/>8+2PE的最

5

大值為24

【正確答案】ACD

【分析】先由余弦定理算出N明C=q,再計(jì)算面積，驗(yàn)證B選項(xiàng)，在中，利

用余弦定理求BE驗(yàn)證A選項(xiàng)，用等面積法SA0C=SA.+SAS，求AD驗(yàn)證C選項(xiàng)，用正

弦定理表示尸8,PE,結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)驗(yàn)證D選項(xiàng).

【詳解】解：在.ABC中，由余弦定理得cosNBAC=4￡上上"二=丄，

2ACAB2

因?yàn)?B4Ce(O㈤，所以NBAC..

所以S〃比=；A?ACsinNBAC=6故B錯(cuò)誤；

在亠/WE中，BE2=AE1+AB--2AE-ABcosZBAE=3,所以BE=G，故A正確:

因?yàn)锳O為一班C的角平分線，

由等面積法得SABC=SABD+SACD=^AB-ADsin笞坦+；AC?AQsin考G,

整理得解得4。=生叵，故C正確；

45

P在的外接圓上，如圖

所以在aBPE中，記NPBE=a,4BEP=(i,由正弦定理得PB=2sin￡,PE=2sma,又

所以P5+2PE=2sin/+4sin。=2sin^-y--crj+4sincz=Gcos2+5sina

=2>/7sin（a+e）,其中tanp=#，

又因?yàn)閍e（0，K）,所以P8+2PE的最大值為2近，故D正確.

故選：ACD

本題考查正余弦定理的綜合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中檔題.

三、填空題

13.在復(fù)平面內(nèi)，AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1-i,4。對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i-3,則DB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

【正確答案】4-3i

【分析】由向量的線性運(yùn)算和復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算可求得答案.

【詳解】解：由題意可知，DB=AB-AD，則。B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（IT）一⑵一3）=4-3i.

故答案為.4-3i

2coslQOsin2Q

14-°=

,cos200,

【正確答案】73

【分析】利用cosl00=cos（30°-20°）展開(kāi)計(jì)算即可

［詳解］2cos10°-sin20°_2cos（30o-20°）-sin20°6cos20°+sin20°-sin20°_陋

cos20°cos20°cos20°

故答案為

15.已知向量a1的夾角為稱，若冋=1,|。+司=近，則|可.

【正確答案】3

222

【詳解】由題意可得：（a+/?）=a+b+2a-b=l+\bf+2xlx\b\xCOs^=7,

整理可得：好—2>岡小6=0,.??個(gè)—3）個(gè)+2）=0,

據(jù)此可得"|=3

四、雙空題

16.已知由sin2x=2sinxcosx,cos2x=2cos2x-l,cos3x=cos（2x+x）可推得三倍角余弦

公式cos3x=4cos3;c-3cosx,已知cos54=sin361結(jié)合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式

可得sinl8=;如圖，已知五角星ABCDE是由邊長(zhǎng)為2的正五邊形6小西和

五個(gè)全等的等腰三角形組成的，則HE-HG=

【正確答案】丄二5+75

4

【分析】由cos54=sin36結(jié)合三倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可得出關(guān)于sin18的

二次方程，結(jié)合0<sinl8<1可求得sinl8的值；求得N〃EG=18,NEHG=54,過(guò)點(diǎn)，作

HM丄BE,垂足為點(diǎn)求得“M=2cosl8,E”=上上電，然后利用平面向量數(shù)量積

sin18

的定義可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閏os54=cos（90-36）=sin36,所以，4cos“8-3cosl8=2sinl8cos18,

即4cos?18-3=2sin18,即4（l-sirr18）-3=2sinl8,即4$評(píng)18+2sinl8-1=0?

因?yàn)?<sin18<1?解得sin18--+^4+16_

84

在五角星ABCDE中，EG=EI,HG=H1,HE=HE,故△EHGwAEHI,

從而可得NHEG=」NCE8=18,NEHG=>NIHG=54,

22

過(guò)點(diǎn)H作“河丄BE,垂足為點(diǎn)M,則NGHM=18,于是cosNGHM=--

Gn

從而有MW=GHcosNGHM=2cosl8,于是EH=--------------=----------

sinZHEGsin18

2O18

所以，HEHG=\HE\\HG\CO354=2XCSxsin36=8cos218=8-8sin218

=8-8x=8-（3-V5）=5+V5.

故在zl；5+6

4

五、解答題

17.已知復(fù)4=l-2i,Zz=3+4i,i為虛數(shù)單位.

⑴若復(fù)數(shù)4+虛2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

(2)若2=纟三，求z的模.

【正確答案】丿

⑵應(yīng)

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)4+近2,求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)利用點(diǎn)在第四象

限，得到不等式組，即可求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

Z.—Z,

(2)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)2二七亠，從而求出其模.

馬+Z2

【詳解】(1)解：4=1-2i,a=3+4i,

/.Z]+az?=(1—2i)+a(3+4i)=(1+3a)+(4tz—2)i,

則復(fù)數(shù)Z+用在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1+3d4。-2),

由題意可得)c八，解得一〈”:，即?！旯?，3.

[4a-2<032I32丿

e2,-z(l-2i)-(3+4i)-2-6il+3i

(2)ft?-z=~2-=---------------=--------=---------

川干.z+z2(l—2i)+(3+4i)4+2i2+i

(l+3i)(2-i)2-i+6i-3i25+5i..

=-----------------=-------------------=---------=-1-i,

(2+i)(2-i)55

所以目=J(-l)2+(-l)2=VL

18.已知平面向量)=(1,2),6=(-3,-2).

(1))在a方向上的投影向量；

(2)當(dāng)上為何值時(shí)，ka+h^a-ibW.

【正確答案】

【分析】(1)直接利用投影向量的定義計(jì)算即可;

(2)由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.

,aab72)

HcosSy5，-5),

(2)????￡+「與￡-3與垂直,ka+b=(k-3,2k-2),a-3b=(10,8),

二(厶a+b)―(a-3〃)=0,即10(左一3)+8(2左一2)=0,解得厶=昌.

19.己知向量。=(cosa,J^sin/7+2sina),〃=(sina,々cos夕-2cosa),且W/8.

(1)求cos(a+/?)的值；

⑵若a/e(0,9,且tana=g,求2a+￡的值.

【正確答案】(1)厶叵；(2)

54

【分析】(1)由共線向量的坐標(biāo)表示列出等式，利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)等式即可得解;

(2)由cos(a+￡)的值求出ian(a+￡),再利用兩角和的正切公式求出tan(2a+〃)，根據(jù)

2。+夕的范圍即可求得2a+〃.

【詳解】(1)因?yàn)?〃)，所以cosa(&cos/一2cosa)-sina(逐sin/7+2sina)=0,

A/5(COSacos/3-sinasin戶)=2(cos2a+sin22)=2,

?77

A/5cos(cr+/?)=2,即cos(a+/?)=-y-.

(2)由得0va+夕〈冗，

又因?yàn)閏os(a+/)=—1>0,

所以0<a+/?<],則sin(a+")=手，tan(a+〃)=；,

11

—i—

因?yàn)閠ana=g,所以tan(2a+〃)=tana+tan(a+〃)32

11

I-tanatan(a+/3)?——x—

32

7TTT

因?yàn)?<a<—,所以0<2a+/?</,所以2々+夕=—.

24

本題考查兩角和與差的余弦、正切公式，已知三角函數(shù)值求角，涉及向量共線的坐標(biāo)表示,

屬于中檔題.

20.在“4BC中,內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為4c.已知asinA=4Z?sin8,

ac=^/5(a2-h2-c2).

(I)求cosA的值;

(II)求sin求8-A)的值.

【正確答案】(I)一好(II)-込

55

【詳解】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系。=?,再根據(jù)余弦定理

求出cosA,

進(jìn)而得到sinA,由a=2Z?轉(zhuǎn)化為sinA=2sinB,求出sin3,進(jìn)而求出cosB,從而求

出25的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.

試題解析：(I)解：由asinA=4Z?sinfi,及丿7=-^77，得〃=2/?.

sinAsinn

L,、石

^ac=45(a2-b2-c2)及余弦定理，得人b2^-c2-a2~^ac卮

\t'cosA=--------------=——-------=-------

2bcac5

(II)解：由(I),可得sin4=2，代入於inA=4加inB,得如8=竺她=好.

54〃5

由(I)知，A為鈍角，所以cosB=Jl-sin%=厶&.于是sin28=2sin8cos8=3,

53

cos2B=1-2sin2B=,故

百132石275

sin(28-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=—x-----------------X-----------=---------------

55J555

正弦定理、余弦定理、解三角形

【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊'’尋求邊的

關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角

函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角

和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.

21.某公園為了吸引更多的游客，準(zhǔn)備進(jìn)一步美化環(huán)境.如圖，準(zhǔn)備在道路48的一側(cè)進(jìn)行

綠化，線段AB長(zhǎng)為4百米，C,。都設(shè)計(jì)在以AB為直徑的半圓上.設(shè)

TT

（1）現(xiàn)要在四邊形A8CD內(nèi)種滿郁金香，若NCOO=],則當(dāng)8為何值時(shí)，郁金香種植面

積最大；

（2）為了方便游客散步，現(xiàn)要鋪設(shè)一條棧道，棧道由線段8C,8和D4組成，若BC=

CD,則當(dāng)。為何值時(shí)，棧道的總長(zhǎng)/最長(zhǎng)，并求/的最大值（單位：百米）.

7T7T

【正確答案】（1）當(dāng)6=三時(shí)，郁金香種植面積最大；（1）當(dāng)為時(shí)，棧道的總長(zhǎng)/最

長(zhǎng)，/的最大值為6百米.

【分析】（1）求出利用三角形的面積公式可得四邊形ABC。關(guān)于6的函數(shù)，利用三角函數(shù)的恒

等變換可以得到“一角一函”的形式，然后根據(jù)角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得面積最大

值；

（2）利用余弦定理求得8CD4關(guān)于。的三角函數(shù)，相加可求出/關(guān)于。的三角函數(shù)表達(dá)式，利

用二倍角公式和換元思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，進(jìn)而求解.

【詳解】解：（1）

???線段AB長(zhǎng)為4百米，所以圓的半徑為2百米，即。4=O