上海市進德中學2022-2023學年九年級上學期期中質量檢測數學試卷

上海市進德中學2022N023學年上學期期中質量檢測九年級

數學試卷

一、選擇題：(本大題共6題，每題4分，滿分24分)

1.Rf.ABC中，ZC=90°,BC=n,AC=5,那么cotB等于()

512125

A.—B.—C.—D.—

1313512

【答案】C

【解析】

【分析】作出直角三角形，結合余切函數的定義(鄰邊比對邊)可直接得出.

【詳解】解：直角三角形.ABC中，BC=12,AC=5,

AC5

故選：C.

【點睛】本題考查的是銳角三角函數的定義，理解余切函數的定義是解題關鍵.

2.拋物線產爐-4光+5的頂點坐標是()

A.(-2,1)B.(2,1)C.(-2,-1)D.(2,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】利用配方法化成頂點式求解即可.

【詳解】Vj=x2-4x+5=(x-2)2+l,

頂點坐標為(2,D,

故選:B.

【點睛】本題考查了二次函數性質，化成頂點解析式是求拋物線的頂點坐標的--種方法，也可以直接代入

頂點坐標公式.

3.已知4=3。，下列說法中不正確的是（)

D.同=3問

A.a-3b=0B.d與b方向相同C.a//b

【答案】A

【解析】

【分析】根據已知條件可知：a與〃的方向相同，其模是3倍關系.

【詳解】解：A、由〃=3。知："一3/?=0，選項不正確，符合題意;

B、由“=36知：。與方的方向相同，選項正確，不符合題意；

C、由a=3人知：。與的方向相同，則選項正確，不符合題意;

D、由。=3人知：同=3網，選項正確，不符合題意.

故選A.

【點睛】本題主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小.

4.如圖，在四邊形ABC。中，如果NADC=NR4C,那么下列條件中不能判定八4￡9和相似

B.C4是ZBCD的平分線

、ADDC

D.AC2=BC-CD

【答案】D

【解析】

【分析】已知NAQC=NB4C,則A、B選項可根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；C選項

可以根據兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定；D選項雖然也是對應邊成比例

但無法得到其夾角相等，所以不能推出兩三角形相似.

【詳解】解：在八4。。和4區(qū)4c中，ZADC=ZBAC,

A、當ND4C=NABC,則△A￡>CS2XBAC,故該選項不符合題意；

B、當C4是N5C。的平分線，即NOC4=NACB,則△ADCS^RAC,故該選項不符合題意；

c、當22=生，則△ADCSABAC,故該選項不符合題意;

ABAC

D、當AC?=8C?C。，即4G=匹，但夾角ZDC4與ZACB不一定相等，不能推出,

BCAC

故該選項符合題意;

故選：D.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關鍵.

5.如圖，ZAOB是放置在正方形網格中的一個角，則s加NAOB的值為（）

C也V2

2

【答案】D

【解析】

【分析】先利用勾股定理計算出△ABO的三邊，再判斷△ABO的形狀，最后利用正弦函數的定義即可.

【詳解】解:如圖，連接A3.

丁點。、A、B在格點上，

=2A/5,

(9A=V32+12=Vio，

AB=A/32+12=Vio-

?.?(何『+(而『=(2石『,

AB2+0A2—OB2-

AOAB直角三角形.

，5必呀"=羋=也

OB2石2

故選：D.

B

【點睛】本題主要考查了在直角三角形中求一個銳角的正弦，掌握勾股定理、直角三角形的邊角間關系是

解決本題的關鍵.

6.己知二次函數y=a(x-D2+Ha>0)的圖像上有A(；,y)、B(&%)兩個點，則()

A.X=>2B.C.D.無法確定

【答案】B

【解析】

【分析】由于。>0,開口向上，所以點A、B離對稱軸越近，對應的縱坐標越小，即可判斷出%、為

的大小關系.

(詳解】???y=a(x-I)2+k(a>0)

拋物線開口向上，對稱軸為x=l,開口向上.

?..點A橫坐標到對稱軸的距離是=-1='

22

點B到橫坐標對稱軸的距離是|夜-<；,

故選:B.

【點睛】本題考查判斷函數值大小，正確掌握二次函數圖象的性質和熟練應用數形結合思想是解題關鍵.

二、填空題：(本大題共12題，每題4分，滿分48分)

7.已知之=則口=__________.

34x

【答案】T

【解析】

【分析】根據*可得：y^-x,把>代入二二2運算求解即可.

343x

【詳解】解：???2=￡

34

4

/.V--X

3

.?.把y=&x代入q得:

3x

xx3

故答案為一3

【點睛】本題主要考查了比例的性質，掌握比例的性質正確計算是解題的關鍵.

8.拋物線y=ax2+2經過點(-2,6),那么。=.

【答案】1

【解析】

【分析】把點的坐標代入解析式，得6=4〃+2,解方程即可.

［詳解】???拋物線y=ax2+2經過點(-2,6),

6=4〃+2,

解得。=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了拋物線與點的關系，熟記圖像過點，點的坐標滿足函數的解析式是解題的關鍵.

9.如果兩個相似三角形對應邊之比是4:9,那么它們的周長之比等于.

【答案】4:9

【解析】

【分析】根據相似三角形的周長比等于相似比，即可求解.

【詳解】解：?.?兩個相似三角形對應邊之比是4:9,

它們的周長之比等于4:9.

故答案為：4:9

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關鍵.

10.二次函數y=x2-4x圖像上的最低點的縱坐標為.

【答案】-4

【解析】

【分析】直接利用二次函數最值求法得出函數頂點式，進而得出答案.

【詳解】解:，二次函數y=f-4X=(X—2)2—4,

二次函數圖象上的最低點的縱坐標為：-4.

故答案為：-4.

【點睛】本題主要考查了二次函數的最值，解題的關鍵是正確得出二次函數頂點式.

11.已知點P是線段43的黃金分割點，AP>PB.若AB=2,則AP=.

【答案】V5-l##-l+V5

【解析】

【分析】根據黃金分割點的定義，知4P是較長線段；則AP=避二代入數據即可得出AP的長.

2

【詳解】解：由于P為線段AB=2的黃金分割點，且AP是較長線段；

則”=2x誓1=癢1，

故答案為：75-1.

【點睛】本題考查了黃金分割點即線段上一點把線段分成較長和較短的兩條線段，且較長線段的平方等于

較短線段與全線段的積，熟練掌握黃金分割點的公式是解題的關鍵.

12.在直角坐標平面內有一點A(3,4),點A與原點0的連線與x軸的正半軸夾角為a,那么角a的余弦

值是.

【答案】|

【解析】

【分析】根據勾股定理求出OA的長度，根據余弦等于鄰邊比斜邊求解即可.

【詳解】?.?點A坐標為(3,4),

0A=J32+4z=5，

3

cosa=—,

5

3

故答案為彳

【點睛】本題主要考查銳角三角函數的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；

余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊，熟練掌握三角函數的概念是解題關鍵.

13.如圖所示，在Z7ABCZ)中，AC,BD交于點0,80=a,5c=4則OC=.

AD

【答柒】-2a+b

【解析】

【分析】利用向量相減平行四邊形法則：向量相減時，起點相同，差向量即從后者終點指向前者終點即可

求解.

【詳解】解：；四邊形ABC。是平行四邊形，AC,8。交于點。，

又BO=a，BC=b>

???BD=2BO=2a，

???DC=BC-BD=b-2a>

故答案為：一+

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，向量相減平行四邊形法則，解題的關鍵是熟練掌握向量相減平行四

邊形法則.

14.如果拋物線y=ax2-2ax+c與x軸的一個交點為（5,0）,那么與x軸的另一個交點的坐標是.

【答案】（-3,0）.

【解析】

【詳解】???拋物線丫=2*2-22乂+?（aWO）的對稱軸為直線x=l,且拋物線與x軸的一個交點為（5,0）,

.?.拋物線與x軸的另一交點坐標為（1X2-5,0）,即（-3,0）.

故答案為（-3,0）.

15.在直角AABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,G是重心，那么G到斜邊AB中點的距離是一.

【答案】

3

【解析】

【分析】根據勾股定理可求得AB=10,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=5,最后

根據重心的性質可求DG.

【詳解】解：；NC=90。，AC=8,BC=6,

???AB=VAC2+BC2=1。，

?.,CD為A8邊上的中線,

1

.?.CD=-AB=5,

2

?.?點G是重心，

15

??DG=—CD=—.

33

故答案為3.

3

【點睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質，掌握三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距

離的2倍是解題的關鍵

s1s

16.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC,對角線AC,8。交于點0,已知誠巨=不，則

〉BCD23BCD

【答案】|2

【解析】

An?

【分析】先根據等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，得出——=—,再根據△AODS^COB得出

BC2

再根據等高的兩個三角形的面積比等于邊長比計算即可

OBBC2

【詳解】解：作AELBC,CFLBD

C

BE

??SABD=1

SBCD2

???△ABD和△BCD等高，高均為AE

Q—AD9AE4八[

...SABD[2JD=1

SBCDLBC.AEBC2

2

?：AD//BC

：./\AOD^/\COB

.OP_AD_]

?.?△80C和△OOC等高，高均為CF

SBOCOB2

???---b-O-C-—-乙--------—----——

SDOC1OD-CF°。1

2

.SBOC__2

SBCD3

故答案為：!2

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、等高的兩個三角形的面積比等于邊長比，熟練掌握三角形的

面積的特點是解題的關鍵

AODEAE

17.如圖，在AABC中，NA=30。，NB=90。，。為AB中點，E在線段AC上，——=——，則一=

ABBCAC

【答案】；或，

24

【解析】

【分析】由題意可求出=，8C,取AC中點屈，連接。0,則OE是△ABC的中位線，滿足

2

!AF\

DEX=-BC,進而可求此時蕓==,然后在AC上取一點良，使得DEI=DE2,則。E,=—BC,證明

2AC22

△DE1E2是等邊三角形,求出E/E2='AC,即可得到空=:，問題得解.

4AC4

【詳解】解：；。為A8中點，

.ADDE_1

??-------———,即DE=——BC，

ABBC22

取AC中點自，連接。豆，則是AABC的中位線，此時。豆〃8C,DE.=-BC,

2

.AE.AD1

??------=一，

ACAB2

在4c上取一點E2,使得DEI=DE2,則

VZA=30°,ZB=90°,

ZC=60°,BC^-AC,

2

,:DE\〃BC,

：./DEIE2=60°,

...△DE/E2是等邊三角形，

DEI=DE2=EIE2=-BC,

2

：.EIE2=-AC,

4

AE.=-AC,

12

AE,=—AC,即AJ=J.

24AC4

A17.i

綜上，---的值為：5或一,

AC24

【點睛】本題考查了三角形中位線的性質，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質以及含30。角

的直角三角形的性質等，根據。E=4BC進行分情況求解是解題的關鍵.

2

18.若△ABC內一點P滿足NB4C=PCB=NP84,則稱點P為，ABC的布羅卡爾點，三角形的布羅卡

爾點是法國數學家和數學教育家克雷爾首次發(fā)現，后來被數學愛好者布羅卡爾重新發(fā)現，并用他的名字命

名.如圖，已知一ABC中C4=CB，NACB=120。，P為一48c的布羅卡爾點，若PA=5則

PC=.

【答案】叵

33

【解析】

【分析】過。作8,4?于。，由C4=CB,NACB=120°,CDLAB,可得43=百3。，根據P

為一ABC的布羅卡爾點，可得APABSPBC,即得以=四=竺，故且="=百，可解得答

PBPCBCPBPC

案.

【詳解】解：過C作CDLAB于D,如圖：

?:CA=CB,ZACB=120°,CDS.AB,

：.AD=BD=-AB,ZABC=ABAC=?>0P,

2

ACD=-BC,BD=>/3CD=—BC>

22

AB=y/3BC，

為ABC的布羅卡爾點，

/.APAC=/PCB=ZPBA,

NPAB=/PBC,

：..PABsPBC,

.PAPBAB

''~PB~~PC~~BC'

,:AB=6BC，PA=6，

.6PB區(qū)

??---=---=75,

PBPC

:?PB=1，PC=B,

3

故答案為：迫.

3

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，證明PABs,QBC是本題的關鍵.

三、解答題：(本大題共7題，滿分78分)

cot45°

19.計算：4sin450-2tan30°cos30°+———

cos60°

【答案】2垃+1

【解析】

【詳解】試題分析：將特殊三角函數的值代入，利用實數的混合運算計算即可.

解：原式=4XYLzxXIx正+T

2325

=2丘-1+2

=2&+1.

20.如圖，已知二次函數y=》2一ac的對稱軸為x=2,過點A(5,b).

(1)求出a,6的值；

(2)若點8是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，當AOAB的面積為15時，求8的坐標.

【答案】(1)a=4,Q5

(2)點B的坐標為(2,8)

【解析】

【分析】(1)運用待定系數法即可求得答案；

(2)設6(2,m)(加>0),運用待定系數法求得直線。4的解析式為產》,設直線。4與拋物線對

稱軸交于點，，則”(2,2),BH=\m-2\,利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案.

【小問1詳解】

'''一次函數y=x~—ax的對稱軸為x=2,

a=4,

?*.y^x~—4x,

???過點A(5,b)，

/?==25-20=5；

【小問2詳解】

?.?點8是拋物線對稱軸上的一點，且點3在第一象限,

，設8(2,ni)(w>0)，

設直線。4的解析式為丁=丘，

則弘=5,

解得：k=l,

直線on的解析式為y=x,

設直線與拋物線對稱軸交于點“，則”(2,2)，

BH^m—2,

,,S=[5

/.-^-x|/?-2|x5=15—x|/7z-2|x5=15,

解得：/?=8或/〃=一4(舍去)，

...點B的坐標為(2,8).

【點睛】本題考查二次函數的性質，待定系數法求函數解析式，三角形的面積，數形結合思想是解題的關

鍵.

2

21.如圖，已知在一ABC中，CDA.AB,垂足為點D,AD=2，8D=6,tanN8=§,點E是邊8C

的中點.

(1)求邊AC的長；

(2)求NE45的正切值.

【答案】⑴26

⑵2

5

【解析】

分析】(1)解直角三角形求出CO=4,再利用勾股定理求出AC即可;

(2)過點E作石”_LA6于點兒求出A”，EH.可得結論.

【小問1詳解】

解：,??C0_L43,

???^]ADC=CDB=90?.

BD=6,

/.CD=4,

AC=yJCD2+AD2=G+2?=2后；

【小問2詳解】

解：過點E作EH_LAB于點兒

VCDLAB,EHLAB,

：.EH//CD,

.BEBH

"~CE~~DH'

EC=EB,

：.DH=BH=-BD=3,

2

:.EH=LCD=2,

2

：.AH=AD+DH=2+3=5,

EH_2

tan?EAB

~AH~5

【點睛】本題考查解直角三角形、平行線的判定、平行線分線段成比例、三角形的中位線性質，解題的關

鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

22.如圖，為了測量建筑物A8的高度，先從與建筑物的底部B點水平相距100米的點C處出發(fā)，沿

斜坡8行走至坡頂。處，斜坡CD的坡度i=l：3,坡頂。到8C的距離￡＞岳=20米，在點。處測

得建筑物頂端A點的仰角為50。，點A、B、C、D、E在同一平面內，根據測量數據，請計算建筑物AB

的高度（結果精確到1米）（參考數據：5//?50°?0.77；CO550°?0.64；ten50°?1.19）

【答案】建筑物A3的高度約為68米

【解析】

【分析】過。作叱J_A3于凡由坡度的定義求出CE=3￡>E=60（米），則。/=￡?=40（米）,

再解直角三角形求出A廠的長，即可得出答案

【詳解】如圖，過。作_LAB于F.

則，FB=DE=20米，

?；斜坡CD的坡度z=l：3,坡頂D到BC的距離￡>E=20米，

CE=3PE=60（米），

DF=EB=BC-CE=1（X）—60=4（）（米），

在Rf_ADF中，ZADF=50°,

AC

tanZADF==tan500*1.19，

DF

二AF?1.19￡>F=1.19x40=47.6（米），

AB^AF+BF^47.6+20?68（米），

即建筑物AB的高度約為68米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題、坡度坡角問題，正確作出輔助線構造直角三角

形是解題的關鍵.

23.已知：如圖，已知△A8C與△AOE均為等腰三角形，BA=BC,DA=DE.如果點。在8c邊上，且

NE￡>C=N8AD點O為4C與OE的交點.

（1）求證：△ABCsaAOE；

（2）求證：DAPC=OD，CE.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

QAnA

【分析】(1)根據三角形的外角的性質和角的和差得到NB=NAOE,由于——=—=1,根據SAS得

BCDE

到結論；

(2)根據相似三角形的性質得到NBAC=/D4E,于是得到NBAQ=NC4E=NCZ)￡,證得

△CODsMEOA,根據相似三角形的性質得到生=型，由NAOO=/COE,推出△A0￡>S4C0E,根

OEOA

據相似三角形的性質即可得到結論.

【小問1詳解】

NADC=ZABC+ZBAD^ZADE+ZEDC,

；.NB=NADE,

BADA,

——=——=1,

BCDE

：.△ABCs△7!&￡；

【小問2詳解】

?/AABC^AADE,

/8AC=NDAE,

/BAO=NC4E=ZCDE,

,：ZCOD=ZEOA,

：./\COD^/\EOA,

.OCOD

??---=----，

OEOA

'：ZAOD^ZCOE,

：.△AO￡>S/\EOC,

：.DA：CE=OD：OC,

B|JDA>OC=OD-CE.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的外角的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理是

解題的關鍵.

1,

24.如圖，拋物線丁=一萬必+加:+。經過點4(-2,0),點B(0,4).

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)P是拋物線對稱軸上的點，聯(lián)結A8、PB,如果/PBO=/BA。，求點尸的坐標；

(3)將拋物線沿)，軸向下平移〃7個單位，所得新拋物線與y軸交于點。，過點。作QE〃x軸交新拋物線

于點E,射線E。交新拋物線于點F,如果EO=2OF,求〃i的值.

i7

【答案】(1)y=-X2+X+4;(2)P(1,-);(3)3或5.

22

【解析】

【分析】(1)將點A、B代入拋物線y=—gV+笈+，，用待定系數法求出解析式.

(2)對稱軸為直線x=l,過點P作PGLy軸，垂足為G,由NPBO=/BAO,得tan/PBO=tan/BAO,即

PGB0

可求出P的坐標.

1,

(3)新拋物線的表達式為y=-]x2+x+4—加，由題意可得。￡=2,過點尸作軸，垂足為“，

j-yFEODO2

：DE//FH,E0=20F,：.——=—=——=一，.然后分情況討論點。在y軸的正半軸上和在y

FHOFOH1

軸的負半軸上，可求得相的值為3或5.

【詳解】解：(1)???拋物線經過點A(-2,0),點B(0,4)

—2—2b+c=0b=\

c=4'解得

c=4'

1,

...拋物線解析式為y=——X2+X+4,

11?9

(2)y--—x2+x+4-——(x-1)+—,

對稱軸為直線x=l,過點P作PG_LyW，垂足為G

,ZZPBO=ZBAO,；.tanNPBO=tan/BA。，

.PGBO

??茄一茄’

.12

??一，

BG1

(3)設新拋物線的表達式為^=一；/+尤+4—根

則￡)(0,4-￡(2,4-㈤，DE=2

過點尸作軸，垂足為“，-：DE//FH,EO=WF

工FH=1.

點。在y軸的正半軸上，則/(-Lg

:.OH=m——,

2

DO_4-m_2

m=3,

點。在y軸的負半軸上，則尸卜,■!一"?

9

2

DO_根一4_2

???~OH-9-7，

m—

2

/.771=5,

...綜上所述〃7的值為3或5.

【點睛】本題是二次函數和相似三角形的綜合題目，整體難度不大，但是非常巧妙，學會靈活運用是關鍵.

25.在RtZiABC中，ZA=90°,AB=4,AC=3,DAB邊上一動點(點D與點A、B不重合)，聯(lián)結

CD,過點D作DELDC交邊BC于點E.

(1)如圖，當ED=EB時，求AD的長；

(2)設AD=x,BE=y,求y關于x的函數解析式并寫出函數定義域；

(3)把aBCD沿直線CD翻折得△CDB，，聯(lián)結AB，，當△CAB，是等腰三角形時，直接寫出AD的長.

【答案】(1)AD=-；(2)y=20X5X(0<X<4).(3)—-土叵或%+生叵

49+4x43434343

【解析】

An3

【分析】(1)根據等角的余角相等，證明/ACD=/EDB=NB,推出tan/ACD=tan/B,得到丁=—

34

即可求出AD；

34

(2)求出sin/B=j,cosZB=y,表達出EH,BH,DH,證明△ACDsaHDE,利用相似比即可解

答；

(3)分兩種情形：①如圖3-1中，設CB，交AB于K,作AEJ_CK于E,DN_LBC于

N.利用角平分線的性質定理求出BD即可.②如圖3-2中，當CB，交BA的延長線于K時，同法可得

BD.

【詳解】解：(1)VED=EB,

.\ZEDB=ZB,

VCD±DE,

ZCDE=ZA=90°,

VZACD+ZADC=90°,ZADC+ZEDH=90°,

AZACD=ZEDB=ZB,

/.tanZACD=tanNB,

.ADAC

**AC-AB?

.AD_3

??=—，

34

9

，AD=—.

4

(2)如圖1中，作EH_LBD于H.