隨機(jī)變量的分布列（決策類）-2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

二輪大題專練48—隨機(jī)變量的分布列(決策類)

i.在一個(gè)系統(tǒng)中，每一個(gè)設(shè)備能正常工作的概率稱為設(shè)備的可靠度，而系統(tǒng)能正常工作的

概率稱為系統(tǒng)的可靠度，為了增加系統(tǒng)的可靠度，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在

使用的設(shè)備出故障時(shí)才啟動(dòng)的設(shè)備).已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器系統(tǒng)采用的是“一用兩備”

(即一臺(tái)正常設(shè)備，兩臺(tái)備用設(shè)備)的配置，這三臺(tái)設(shè)備中，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算

機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.設(shè)三臺(tái)設(shè)備的可靠度均為一卜，它們之間相互不影響.

(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,求r的最小值；

(2)當(dāng)r=0.9時(shí)，求能正常工作的設(shè)備數(shù)X的分布列；

(3)已知某高科技產(chǎn)業(yè)園當(dāng)前的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中每臺(tái)設(shè)備的可靠度是0.7,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知，

計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉可能給該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)約50萬(wàn)的經(jīng)濟(jì)損失.為減少對(duì)該產(chǎn)業(yè)園帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損

失，有以下兩種方案：

方案1：更換部分設(shè)備的硬件，使得每臺(tái)設(shè)備的可靠度維持在09更新設(shè)備硬件總費(fèi)用為8

萬(wàn)元；

方案2：對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8,設(shè)備維護(hù)總費(fèi)用為5萬(wàn)元.

請(qǐng)從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？

解：(1)要使系統(tǒng)的可靠度不低于0.992,

則尸(X蝎)=1一尸(X<l)=l-P(X=0)=l-(l-r)30.992,

解得r..0.8,故r的最小值為0.8.

(2)X正常工作的設(shè)備數(shù)，由題意可知，X~B(3,r),

尸(X=0)=c；X0.9°x(l-0.9)3=0.001,

P(X=1)=C；x0.91x(l-0.9)2=0.027,

P(X=2)=C；x0.92x(l-0.9)1=0.243,

P(X=3)=C；X0.93x(l-0.9)°=0.729，

從而X的分布列為

X0123

P0.0010.0270.2430.729

(3)設(shè)方案1、方案2的總損失分別為X1,X2,

采用方案1，更換部分設(shè)備的硬件，使得設(shè)備可靠度達(dá)到0.9,由(2)可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)斷掉

的概率為0.001,不斷掉的概率為0.999,

因?yàn)镋(X1)=80000+0.001x500000=80500元.

采用方案2,對(duì)系統(tǒng)的設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，使得設(shè)備可靠度維持在0.8,由(1)可知計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)

斷掉的概率為0.008,

E(X2)=50000+0.008X500000=54000元,

因此，從期望損失最小的角度，決策部分應(yīng)選擇方案2.

2.為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造、智能制造，把我國(guó)制造業(yè)和實(shí)

體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一

些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時(shí)要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).某一小型工廠自己沒(méi)有

管理軟件的高級(jí)技術(shù)員，欲購(gòu)買軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某一管理

軟件服務(wù)公司提供了如下兩種方案：

方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，每次提供軟件服務(wù)時(shí)，再另外收取200

元.

方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過(guò)15次,

不另外收費(fèi)；若超過(guò)15次，超過(guò)部分的軟件服務(wù)每次的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為500元.

(1)設(shè)該管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元，每月提供軟件服務(wù)的次數(shù)為無(wú)，試寫出兩種

方案中y與X的函數(shù)關(guān)系式.

(2)該工廠對(duì)該管理軟件服務(wù)公司近20個(gè)月每個(gè)月為另一個(gè)工廠提供軟件服務(wù)的次數(shù)

進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形圖.該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，服務(wù)次數(shù)為13次和

16次的月份中任選3個(gè)月，求這3個(gè)月中恰好有1個(gè)月的服務(wù)次數(shù)為13次，2個(gè)月的服

務(wù)次數(shù)為16次的概率.

(3)依據(jù)條形圖中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，從節(jié)約服務(wù)成本的角度考慮，以一個(gè)月管理服務(wù)費(fèi)的平

均值為決策依據(jù)，從兩種方案中選擇一種，該工廠選擇哪種方案更合適？請(qǐng)說(shuō)明理由.

8

7

6

5

4

3

2

1

0

解：(1)由題意知方案一中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：

y=200x+4800,xeN.

方案二中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系為：

’7600,x<15,且x€N,

y=i

500x+100,x〉15,且x€N.

(2)記選擇的3個(gè)月中，恰好有1個(gè)月的服務(wù)次數(shù)為13次，2個(gè)月的服務(wù)次數(shù)為16次

為事件A,

由題中條形圖得服務(wù)次數(shù)為13次的2個(gè)月份，分別記為A,B,

服務(wù)次數(shù)分別為16次的4個(gè)月份記為a,b,c,d,

從這6個(gè)月中隨機(jī)選擇3個(gè)月，所有可能的情況有20種，分別為：

(A,B,a),(A,B,Z?),(A,B,c),(A,B,d),

(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),

(A,b,d),(A,c,d),(B,a,b),(B,a,c),

(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),

(〃，b,c),(〃，b,d),(〃，c,d),Qb,c,d),

這3個(gè)月中恰好有1個(gè)月的服務(wù)次數(shù)為13次,2個(gè)月的服務(wù)次數(shù)為16次包含的基本事件

有12種，分別為：

(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,b,c),(A,b,d),(A,c,d),

(B,a,b),(B,a,c),(B,a,d),(B,b,c),(B,b,d),(B,c,d),

???這3個(gè)月中恰好有1個(gè)月的服務(wù)次數(shù)為13次，2個(gè)月的服務(wù)次數(shù)為16次的概率為P

=1一2二—3?

205

(3)設(shè)方案一中管理軟件服務(wù)公司的平均收費(fèi)為同，

由已知和(1)中的結(jié)果可得二二工(7400X2+7600X8+7800X2+8000X4+8200X4)

丫120

=7800(元)，

設(shè)方案二中管理軟件服務(wù)公司的平均月收費(fèi)為二二工乂(7600X12+8100X4+8600X4)

y220

=7900(元)，

?..?.從節(jié)約服務(wù)成本的角度考慮，記工廠選擇方案一更合適.

3.為了推進(jìn)產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，加強(qiáng)自主創(chuàng)新，發(fā)展高端制造、智能制造，把我國(guó)制造業(yè)和實(shí)

體經(jīng)濟(jì)搞上去，推動(dòng)我國(guó)經(jīng)濟(jì)由量大轉(zhuǎn)向質(zhì)強(qiáng)，許多企業(yè)致力于提升信息化管理水平.一

些中小型工廠的規(guī)模不大，在選擇管理軟件時(shí)都要進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).某一小型工廠自己沒(méi)

有管理軟件的高級(jí)技術(shù)員，欲購(gòu)買管理軟件服務(wù)公司的管理軟件，并讓其提供服務(wù)，某

一管理軟件服務(wù)公司有如下兩種收費(fèi)方案.

方案一：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠4800元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)，每次另外收費(fèi)

200元；

方案二：管理軟件服務(wù)公司每月收取工廠7600元，若每月提供的軟件服務(wù)不超過(guò)15次,

不另外收費(fèi)，若超過(guò)15次，超過(guò)部分的軟件服務(wù)每次另外收費(fèi)500元.

(1)設(shè)管理軟件服務(wù)公司月收費(fèi)為y元，每月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)為無(wú)，試寫出兩種

方案中y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該工廠對(duì)該管理軟件服務(wù)公司為另一個(gè)工廠過(guò)去20個(gè)月提供的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)

行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，該工廠要調(diào)查服務(wù)質(zhì)量，現(xiàn)從服務(wù)次數(shù)為13次

和14次的月份中任選3個(gè)月求這3個(gè)月，恰好是1個(gè)13次服務(wù)、2個(gè)14次服務(wù)的概率;

(3)依據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，把頻率視為概率從節(jié)約成本的角度考慮該工廠選擇哪種

方案更合適，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)由題意知，方案一中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=

200x+4800,x￡N,

方案二中管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)y與x的函數(shù)關(guān)系為：

<7600,x<15,x€N,

y=i

500x+100,x>15,x€N.

(2)記選擇的3個(gè)月恰好是1個(gè)13次服務(wù)、2個(gè)14次服務(wù)為事件A,

CoCo7

則P(A)=:8=,

c315

^10

(3)對(duì)于方案一，設(shè)管理軟件服務(wù)公司的月收費(fèi)為孑元,

由條形統(tǒng)計(jì)圖得W的取值為7400,7600,7800,8000,8200,

P(^=7400)=0.1,

P聶=7600)=0.4,

P(1=7800)=0.1,

P(3=8000)=0.2,

P(§=8200)=0.2,

的分布列為：

74007600780080008200

P0.10.40.10.20.2

E(p=7400X0.1+7600X0.4+7800X0.1+8000X0.2+8200X0.2=7800.

對(duì)于方案二，設(shè)管理軟件服務(wù)公式的月收費(fèi)為“元，

由條形統(tǒng)計(jì)圖得n的可能取值為7600,8100,8600,

P(T]=7600)=0.6,

P(口=8100)=0.2,

P5=8600)=0.2,

Ail的分布列為：

n760081008600

P0.60.20.2

E(口)=7600X0.6+8100X0.2+8600X0.2=7900.

■:E(p<￡(T]),

???從節(jié)約成本的角度考慮，該工廠選擇方案一更合適.

4.小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲

方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì),

超過(guò)54單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)20元.

（1）請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)〃的函數(shù)關(guān)系式;

（2）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下

條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在

（二二工，21]（〃=1,2,3,4,5）時(shí)，日平均派送量為50+2〃單，若將頻率視為概率，

55

回答下列問(wèn)題：

①估計(jì)這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代

表）：

②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為x（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的

日薪X的分布列及數(shù)學(xué)期望.請(qǐng)利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合

適？并說(shuō)明你的理由.

解：（1）甲方案中派送員日薪y(tǒng)（單位：元）與送單數(shù)”的函數(shù)關(guān)系式為：y=100+”，nGN,

乙方案中派送員日薪y(tǒng)（單位：元）與送單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為：y=

fy=140,n<54

J、，

y=20n-940,n》55,

⑵①(0.1X1+0.3X1.5+0.5X1+0.7X1+0.9X0.5)X0.2=0.44

②所以X甲的分布列為:

X甲152154156158160

P0.20.30.20.20.1

所以E（X甲）=152X0.2+154X0.3+156X0.2+158X0.2+160X0.1=155.4,

所以X乙的分布列為：

X乙140180220260

P0.50.30.20.1

所以E（X乙）=140X0.5+180X0.3+220X0.2+260X0.1=176,

由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E（X甲）＜E（X乙），

即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望，所以小明應(yīng)選擇乙方案.

5.某班級(jí)體育課進(jìn)行一次籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互

獨(dú)立.在A處每投進(jìn)一球得3分，在8處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分.將學(xué)生得分

逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定為通過(guò)測(cè)試，立即停止投籃，否則

應(yīng)繼續(xù)投籃，直到投完三次為止.現(xiàn)有兩種投籃方案：

方案1：先在A處投一球，以后都在8處投；

方案2：都在3處投籃.

已知甲同學(xué)在A處投籃的命中率為工，在8處投籃的命中率為居.

45

（I）若甲同學(xué)選擇方案1,求他測(cè)試結(jié)束后所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（II）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大？說(shuō)明理由.

解：（I）設(shè)甲同學(xué)在A處投中為事件A,在8處第次z?投中為事件5冊(cè)=1,2）,

由己知p（A）=[,X的取值為0,2,3,4.

則P(X=0)=P(AB1B2)=P(A)P(B1)P(B2)4-X^-X^-=-^r

i，1/455100

——R41R146

P(X=2)=P(ABB)+P(ABB)=TX-FXF+TXFXF=7F，

‘1乙2,1乙243343b

1—QA4.19

P(X=3)=P(A)4，P(X=4)=P(AB1B2)=yX-^X-^=^-

4’4455N3

X的分布列為:

X0234

P3612

10025125

X的數(shù)學(xué)期望為：6(乂)=0><磊+2又條+3又4+4又條或今=3.15，

1UU4ZD1UU

(II)甲同學(xué)選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為P1,選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為P2,

則Pi=P(X=3)+P(X=4)4m^7=0-73，

TC1UU

——AAlA4414119

P2=P(B1B2)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=?X-4yX-X-4TX-X-=I2ro.896

?：P2>P1,

.?.甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)測(cè)試的可能性更大.

6.2017年H月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國(guó)城市”，吸引了大批投資商的目光,

一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將

四百萬(wàn)元投資到三門峽下列兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)之中.

項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實(shí)

物見證.現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個(gè)天坑院，每個(gè)天坑院投資0.2百萬(wàn)元，假設(shè)每個(gè)天坑院是

否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，到2020年底每個(gè)天坑院盈利的概率為p(0<p<l),

若盈利則盈利投資額的40%,否則盈利額為0.

項(xiàng)目二：天鵝湖國(guó)家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)

市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2020年底可能盈利投資額的50%,也可能虧損投資額的

30%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為。和1-p.

(1)記X(單位：百萬(wàn)元)為投資項(xiàng)目一盈利額，求E(X)(用p表示)；

(2)試以項(xiàng)目盈利的期望為依據(jù)，針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)項(xiàng)

目，并說(shuō)明理由.

解：(1)由題意，記為盈利的田坑院個(gè)數(shù)，則Xi?8(20,p),

則盈利的田坑院數(shù)的均值E(Xi)=20p,

故盈利的均值為￡(X)=E(0.08X1)=0.08E(Xi)=0.08X20p=1.6p；

(2)記X2為投資項(xiàng)目二盈利額，則X2的分布列為：

X22-1.2

PP1-p

盈利的均值E(X2)=2p-12(1-p)=3.2p-1.2.

①當(dāng)E(0.08X1)=E(X2)時(shí)，L6p=3.2p-1.2,

解得p=2,故兩個(gè)項(xiàng)目均可投資；

4

②當(dāng)E(0.08X1)>E(X2)時(shí)，L6p>3.2p-1.2,

解得0<p<3,此時(shí)選擇項(xiàng)一；

4

③當(dāng)E(0.08X1)<E(X2)時(shí)，1.60<3.2p-1.2,

解得p>旦，此時(shí)選擇項(xiàng)二.

4

7.某智能機(jī)器人生產(chǎn)企業(yè)對(duì)一次性購(gòu)買4臺(tái)機(jī)器人的客戶，推出了3種超過(guò)質(zhì)保期后延期

2年內(nèi)維修優(yōu)惠方案：

方案1：不交維修延保金，維修1次費(fèi)用6000元；

方案2：交納延保金3000元，維修費(fèi)用每次3000元；

方案3：交納延保金5000元，在延保期內(nèi)總共免費(fèi)維修2次，超過(guò)2次每次維修費(fèi)用2000

兀.

通過(guò)大數(shù)據(jù)得知，每臺(tái)智能機(jī)器人在2年延保期內(nèi)沒(méi)有故障的概率為2,每臺(tái)機(jī)器人出

3

現(xiàn)1次故障的概率為工.

3

記X表示這4臺(tái)智能機(jī)器人超過(guò)質(zhì)保期后延保的2年內(nèi)，共需維修的次數(shù).

（1）求X的分布列；

（2）以3個(gè)方案所需費(fèi)用（所交延保金及維修費(fèi)用之和結(jié)果，保留為整數(shù)）的期望值作

為決策依據(jù)，客戶選擇哪種延保方案更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）X的所有可能取值為0,1,2,3,4

則P(X=0)=

P（X=l）=「1X邑）3x」=絲,

匕匕，381

P(X=2)=C：X(y)2x

母2嚕

P(X=3)=「3義(A)3=W,

4381

p(x=4)=4=J_,

所以X的分布列為

X01234

P16322481

81比瓦81-81

（2）選擇延保方案1,所需費(fèi)用H元的分布列為:

Y106000120001800024000

P16322481

81

E(H)=0XJA+6000X32.+12000X^1+18000X_^+24000X_1_=8000,

8181818181

選擇延保方案2,所需費(fèi)用“元的分布列為:

Y23000600090001200015000

P16322481

81比8?8181

選擇延保方案3,所需費(fèi)用n元的分布列為：

Y3500070009000

P81

比81

E(73)=5000X.§.+7000X-L+9000X-L^5247,

98181

E(丫3)<E(P2)<E(Ki),

所以客戶選擇第3種延保方案更合算.

8.經(jīng)過(guò)多年的努力，天水市秦安縣白鳳桃在國(guó)內(nèi)乃至國(guó)際上逐漸打開了銷路，成為部分農(nóng)

民脫貧致富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售，現(xiàn)從某村的白鳳桃樹上隨機(jī)摘下了100個(gè)白鳳

桃進(jìn)行測(cè)重，其質(zhì)量分布在區(qū)間［200,500］內(nèi)(單位：克)，統(tǒng)計(jì)質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率

分布直方圖如圖所示：

(I)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在［350,400),［400,450)的白鳳桃中隨機(jī)抽取5個(gè),

再?gòu)倪@5個(gè)白鳳桃中隨