數(shù)學歸納法的再認識

關于數(shù)學歸納法的再認識復習自然數(shù)的基數(shù)理論如何定義自然數(shù)及其運算？序數(shù)理論呢？算術系統(tǒng)：定義了加法和乘法的自然數(shù)系統(tǒng)，它是數(shù)學中最基礎的一個公理系統(tǒng)。但已證明“算術系統(tǒng)的相容性不可能用自身的公理加以證明”。第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天證明與自然數(shù)有關的命題上節(jié)課用序數(shù)理論數(shù)學歸納法的再認識設使……成立的所有a組成的集合為M，為證M＝N，證（1）1εM；（2）假定aεM，要證a+εM歸納公理可證第一數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法的其他6種形式第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天定理：第一數(shù)學歸納法設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若（1）(奠基)P(n)在n＝1時成立；（2）（歸納)在P(k)(k是任意自然數(shù))成立的假定下可以推出P(k+1)成立，則P(n)對一切自然數(shù)n都成立．移動起點的第一數(shù)學歸納法n=n0

第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學歸納法的再認識邏輯推理方法分演繹和歸納數(shù)學歸納法是完全歸納法嗎？數(shù)學歸納法是一種演繹方法數(shù)學歸納法是一種遞推法前面有限個我們可以逐個去驗證，但是為了使判定的工作可以一個接一個地自動進行，需要設計一種方案：假定當自然數(shù)n取某一個值k時，命題已被判為真，那么若能證明當n＝k＋1時，命題也是真的，就做好了自動傳遞推證的準備工作。兩步：奠基，啟動遞推裝置；遞推兩步缺一不可第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天防止貌合神離用數(shù)學歸納法證明n3+5n能被6整除錯證：（1）當n=1時，13+5×1=6，命題成立；（2）假設當n=k時，k3+5k能被6整除，當n=k+1時，(k+1)3+5(k+1)=(k+1)[(k+1)2+5]=k(k+1)(k+2)+6(k+1)因為三個連續(xù)自然數(shù)的積能被6整除，第2項也能被6整除，所以n=k+1時命題也成立。由（1）、（2），原命題成立。5=-1+6未用數(shù)學歸納法第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學歸納法的幾種其他形式第二數(shù)學歸納法（串值歸納法）設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若P(n)在n=1時成立假設P(m)對于所有適合m<k的自然數(shù)m成立，則P(k)成立則P(n)對一切自然數(shù)n都成立增多起點的第二數(shù)學歸納法P(1)、P(2)真P(k)、P(k+1)真→P(k+2)真與第一數(shù)學歸納法的區(qū)別？若用“第一”不行，用“第二”是否有可能行？第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學歸納法的幾種其他形式（續(xù)）跳躍式歸納法（加大跨度）設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若P(1)、P(2)、…、P(m)真在P(k)(k是任意自然數(shù)）成立的假定下可以推出P(k+m)成立則P(n)對一切自然數(shù)n都成立第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學歸納法的其他幾種形式反向歸納法設P(n)是關于自然數(shù)n的命題，若有無限多個值使P(n)成立P(k)真可以推出P(k－1)真則P(n)對一切自然數(shù)n都成立螺旋歸納法設A(n)、B(n)是兩個與自然數(shù)n有關的命題，若A(1)是成立的假設A(k)成立，能導出B(k)成立，假設B(k)成立，你導出A(k+1)成立則A(n)、B(n)對一切自然數(shù)n都成立第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天數(shù)學歸納法的其他幾種形式參變歸納法（對其中的一個用數(shù)學歸納法，另一個看作參數(shù)）二重歸納法（對一個用數(shù)學歸納法時同時再對另一個用數(shù)學歸納法）第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例：已知f(x)是定義在N上，又在N上取值的函數(shù)，并且(1)f(2)=2(2)對任何自然數(shù)m,n,有f(mn)=f(m)f(n)(3)當m>n時，f(m)>f(n)求證f(x)=x在N上恒成立例：設n>5,證明每一個正方形可以分為n個正方形。反向歸納法串值歸納法跳躍式歸納法第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天用反向歸納法證明易證有無限多個自然數(shù)2n,使命題成立若f(x)=x,(x>1),可證f(x-1)<f(x)≤x-1再證f(x-1)≥x-1f(x-1)>f(x-2),∴f(x-1)≥f(x-2)+1≥f(x-3)+2≥…≥f(1)+x-2=x-1第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天用串值歸納法證明由串值歸納法第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天用跳躍式歸納法證明先證可以分成6、7、8個正方形再假設命題對于n（n>8)成立，先將其分成n個正方形，再將其中一個正方形分為4個相等的正方形，原來的正方形就被分為n+3個第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例：已知大小可能不一的幾個正方形，證明可以把它們剪拼成有限塊，再重新拼成一個大正方形。勾股定理的割補證明趙爽對勾股定理的證明

ab第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天劉徽對勾股定理的證明

第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天觀察、歸納與證明觀察異同歸納猜想不完全歸納完全歸納（由每一對象都具有某種性質得到的）證明或推翻猜想第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天探索一個整數(shù)是3、9、11的倍數(shù)的特征各是什么？一個整數(shù)是3的倍數(shù)，則各位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)一個整數(shù)是9的倍數(shù)，則各位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)一個整數(shù)是11的倍數(shù)，則其奇數(shù)位上數(shù)字的和減去偶數(shù)位上數(shù)字的和是11的倍數(shù)第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天觀察猜想要小心數(shù)列：1，2，4，8，16，？32√熟悉這個模式31

√1，2，4，8，16，31，An1，2，4，8，15，Bn1，2，4，7，

Cn1，2，3，

Dn4112657第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1，2，4，8，16，31，？Dn:1，2，3，4，……Cn:1，2，4，7，11，……Cn+1－Cn=Dn=nCn－Cn-1=n-1C2－C1=1所以Cn+1=1+(1+…+n)Cn=1+(1+…+n-1)=……同理求出Bn、An第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天連接圓上所有點圓上的點數(shù)圓被分割成的區(qū)域數(shù)11223448516631757第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天平面上凸n邊形內(nèi)部最多被分為m塊，m+n即為所求圓上每4個點，連線后多1個點,于是一共增加C(n,