余弦函數的性質與圖象高一下學期數學人教B版（2019）必修第三冊

余弦函數的性質與圖象問題情境問題1什么叫正弦函數？如何畫正弦函數的圖象？新知探究問題2

cosx是函數嗎？余弦函數與正弦函數有什么關系呢？余弦函數對于任意一個角x，都有唯一確定的余弦cosx與之對應，因此y＝cosx是一個函數，一般稱為余弦函數．由誘導公式知新知探究問題3

研究余弦函數的性質，你能給出幾種不同的方案呢？請你選擇其中一種方案，研究余弦函數的性質．定義域與值域：余弦函數y＝cosx的定義域是R，值域是[－1，1]，當且僅當x＝π＋2kπ，k∈Z時，函數值的最小值是－1．余弦函數y＝cosx是周期函數，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．當且僅當x＝2kπ，k∈Z時，函數值的最大值是1，余弦函數y＝cosx是偶函數，其圖象關于y軸對稱．余弦函數y＝cosx在區(qū)間[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上遞增，在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上遞減．余弦函數y＝cosx的零點為kπ＋

（k∈Z）．新知探究【想一想】函數y＝cos（－x）的單調增區(qū)間為____________________________．y＝cos（－x）＝cosx

，所以y＝cos（－x）的單調增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）．[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）新知探究問題4可否利用正弦函數的圖象得到余弦函數的圖象？－2π－ππ2π1－1xyOy＝sinxy＝coxx1．一般地，函數y＝cosx的圖象稱為余弦曲線．根據，只需把y＝sinx，x∈R的圖象向左平移

個單位長度，即可得到y(tǒng)＝cosx，x∈R的圖象．2．余弦函數y＝cosx的圖象對稱軸為x＝kπ，對稱中心為，其中k∈Z．3．畫余弦函數y＝cosx的圖象時也可以用五個關鍵點：初步應用例1

判斷下列函數的奇偶性解答：（1）把函數y＝cosx＋2記作f（x）＝cosx＋2，因為定義域為R，且f（－x）＝cos（－x）＋2＝cosx＋2＝f（x），（2）把函數y＝sinxcosx記作f（x）＝sinxcosx，因為定義域為R，且f（－x）＝sin（－x）cos（－x）＝－sinxcosx＝－f（x），（1）y＝cosx＋2；（2）y＝sinxcosx．所以y＝cosx＋2是偶函數．所以y＝sinxcosx是奇函數．初步應用例2

求下列函數的值域（1）y＝－3cosx＋1；（2）y＝（cosx＋

）2－3解答：（1）因為－1≤cosx≤1，且－2≤－3cosx＋1≤4，即－2≤y≤4，當cosx＝1時，ymin＝－2；當cosx＝－1時，ymax＝4，因此y＝－3cosx＋1的值域為[－2，4]．所以3≥－3cosx≥－3，初步應用例2

求下列函數的值域（2）令t＝cosx，則（1）y＝－3cosx＋1；（2）y＝（cosx＋

）2－3y＝（t＋

）2－3，t∈[－1，1]．因為－1≤t≤1時，所以0≤（t＋）2≤

，因此－3≤（t＋）2≤當t＝1時，ymax＝當t＝

時，ymin＝－3，因此y＝（cosx＋

）2－3的值域為初步應用例3

求函數

的最大值和最小值．方法一：由余弦函數的性質可知，f（x）＝cosx在遞增，在遞減，又因為所以函數的最大值為1，最小值為初步應用例3

求函數

的最大值和最小值．當角的余弦線為

時，f（x）取得最小值方法二：如圖所示，作出示意圖，其中OP為角

的終邊，OP′為角

的終邊，區(qū)間

內的角的終邊只能在直線PP′的右上方，因此當角的余弦線為

時，f（x）取得最大值f（0）＝cos0＝1．1PMNP'Oxy初步應用例4

求函數

的周期和其圖象的對稱軸方程．解答：因為所以所以函數

的周期為6π，其圖象的對稱軸方程為x＝

＋3kπ（k∈Z）．令（k∈Z），解得x＝

＋3kπ（k∈Z）．初步應用【思考】如何由y＝cosx的圖象得到函數

的圖象？將y＝cosx的圖象向右平移

個單位得到函數的圖象；將圖象上所有點橫坐標伸長為原來的3倍，終坐標不變，得到函數

的圖象；再將圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變，得到函數

的圖象．初步應用例5

用五點法作出函數y＝1－cosx（0≤x≤2π）的簡圖．解答：列表：描點連線，如圖．x0π2πcosx10－1011－cos

x01210練習練習：教科書練習A：1～5．歸納小結定義域與值域：余弦函數y＝cosx的定義域是R，值域是[－1，1]，當且僅當x＝π＋2kπ，k∈Z時，函數值的最小值是－1．余弦函數y＝cosx是周期函數，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．當且僅當x＝2kπ，k∈Z時，函數值的最大值是1，余弦函數y＝cosx是偶函數，其圖象關于y軸對稱．余弦函數y＝cosx在區(qū)間[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上遞增，在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上遞減．余弦函數y＝cosx的零點為kπ＋

（k∈Z）．歸納小結一般地，函數y＝cosx的圖象稱為余弦曲線．即可得到y(tǒng)＝cosx，x∈R的圖象．函數y＝Acos（ωx＋φ）的圖