桿件的內(nèi)力分析-彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系（建筑力學）

桿件的內(nèi)力分析二、彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系在內(nèi)力圖繪制中的應(yīng)用在數(shù)學上，一階導數(shù)的幾何意義是曲線上切線的斜率。所以，dQ（x）dx、dＭ（x）dx分別代表剪力圖、彎矩圖上的切線的斜率。dQ（x）dx＝q（x)表明：剪力圖曲線上某點處切線的斜率等于該點處分布荷載的集度。dＭ（x）dx＝Ｑ（x)表明：彎矩圖曲線上某點處切線的斜率等于該點的剪力值。二階導數(shù)d2Ｍ（x）dx2＝q（x)可以用來判斷彎矩圖曲線的凹凸性。根據(jù)上述各關(guān)系式及其幾何意義，可得畫內(nèi)力圖的一些規(guī)律如下：（1）q(x)=0時。當梁段上沒有分布荷載作用時，q(x)=0，由dQ（x）dx＝q（x)＝0可知，Q(x)=常量，此梁段的剪力圖為水平線。由dM（x）dx＝Q（x)＝常量可知，M(x)為x的線性函數(shù)，此梁段的彎矩圖為斜直線。當Ｑ（x）>0時，M(x)為增函數(shù)，彎矩圖為向右下斜直線；當Ｑ(x)<0時，M(x)為減函數(shù)，彎矩圖為向右上斜直線。（2）q(x)=常量時。當梁段上作用有均布荷載時，q(x)=常量，由dQ（x）dx＝q（x)＝常量可知，Q(x)為x的線性函數(shù)，此梁段的剪力圖為斜直線。由dM2（x）/dx2＝q（x)可知，M(x)為x的二次函數(shù)，此梁段的彎矩圖為二次曲線。當均布荷載向下作用時，dQ（x）dx＝q(x)<0，Q(x)為減函數(shù)，剪力圖為向右下斜直線；由d2Ｍ（x）/dx2＝q（x)<0可知，彎矩圖應(yīng)向下凸。當均布荷載向上作用時，dQ（x）dx＝q（x)>0，Q(x)為增函數(shù)，剪力圖為向右上斜直線；由d2Ｍ（x）/dx2＝q（x)>0可知，彎矩圖應(yīng)向上凸。由dM（x）dx＝Q（x)可知，在Q(x)＝0處M(x)有極值，即剪力等于零的截面上彎矩有極大值或極小值。（3）集中力F作用處。如上節(jié)所述，在集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，且突變值等于該集中力的大??；彎矩圖出現(xiàn)尖角，且尖角的方向與集中力的方向相同。（4）集中力偶作用處。如上節(jié)所述，在集中力偶作用處，剪力圖不變化；彎矩圖發(fā)生突變，且突變值等于該集中力偶的力偶矩。掌握上述荷載與內(nèi)力圖之間的規(guī)律，將有助于繪制和校核梁的剪力圖和彎矩圖。將這些規(guī)律列于表3-1。根據(jù)表中所列各項規(guī)律，只要確定梁上幾個控制截面的內(nèi)力值，就可按梁段上的荷載情況直接畫出各梁段的剪力圖和彎矩圖。一般取梁的端點、支座及荷載變化處為控制截面。如此，繪梁的內(nèi)力圖不需列內(nèi)力方程，只求幾個截面的剪力和彎矩，再按內(nèi)力圖的特征畫圖即可，非常簡便。這種畫圖方法稱為簡捷法。下面舉例說明?！纠?-12】用簡捷法繪出圖3-28（a）所示簡支梁的內(nèi)力圖。解：求支座反力為：ＦＡ＝6kN（↑）ＦB＝18kN（↑）根據(jù)荷載變化情況，該梁應(yīng)分為AC、CB兩段。表3-1梁的荷載、剪力圖、彎矩圖之間的關(guān)系（1）剪力圖。CB梁段有均布荷載，剪力圖為斜直線，可通過QC=6kN，QB左＝－FB=－18kN畫出。該梁段Q=0處彎矩有極值。設(shè)該截面到B支座距離為a，極值點位置計算：Ｑ0＝－ＦB＋qa＝0a＝ＦB/q＝18/6＝3（m）AC梁段無外力，剪力圖為水平線，可通過Q=FA=6kN畫出。剪力圖如圖3-28（b）所示。由圖可見，Ｑmax＝18kN，作用在B左截面。（2）彎矩圖。AC梁段無外力，彎矩圖為斜直線，可通過MA=0，MC左=FA×2=12（kN·m）畫出。CB梁段有向下的均布荷載，彎矩圖為下凸的二次拋物線。可通過MC右＝MC左＋m=24（kN·m），MB=0，Ma=FB×a－q×a2/2=27（kN·m）畫出。彎矩圖如圖3-28（c）所示。由圖可見：Ｍmax＝27kN·m，作用在距B支座3m處?！纠?-13】試繪制圖3-29（a）所示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。解：求支座反力為ＦＡ＝7kN（↑）ＦB＝5kN（↑）梁分段為AC、CD、DB、BE四段。（1）剪力圖。先確定各控制截面內(nèi)力，再按內(nèi)力圖特征畫圖。AC段：QA右＝FA＝7kNQC左＝QA右－q×4=3（kN）CD段：QC右＝QC左－F1=1kNQD＝QC右－q×4=－3（kN）因Q變號，M有極值。Q=0截面位置可由幾何關(guān)系確定，如圖3-29（d）所示。x/4＝1/4x＝1mDB段：QD＝QB左=－3kNBE段：QB右＝QE左=2kN剪力圖如圖3-29（c）所示。由圖可見：Ｑmax＝7kN,作用在截面A右。（2）彎矩圖：AC段：MA=0ＭＣ＝ＦＡ×4－q×4×4/2＝20（kN·m）CD段：MＦ＝ＦＡ×5－q×5×5/2－Ｆ1×1＝20．5（kN·m）MD左＝ＦＡ×8－q×8×8/2－Ｆ1×4＝16（kN·m）DB段：MD右＝MD左－mz＝6kN·mBE段：MB=MD右－3×4＝－6kN·mME=0彎矩圖如圖3-29（c）所示。由圖可見：Ｍmax＝20．5kN·m，作用在距A支座5m處。

簡捷法繪制梁內(nèi)力圖的步驟如下：（1）求支座反力。（2）根據(jù)外力情況將梁分段，一般分界截面即梁內(nèi)力圖的控制截面。（3）確定各控制截面內(nèi)力值。（4）根據(jù)各梁段內(nèi)力圖特征，逐段畫內(nèi)力圖。（5）校核內(nèi)力圖并確定內(nèi)力最大值。

桿件的內(nèi)力分析一、彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系梁在荷載作用下，橫截面上將產(chǎn)生彎矩和剪力兩種內(nèi)力。若梁上作用一分布荷載q(x)，則橫截面上的彎矩、剪力和分布荷載的集度都是x的函數(shù)，三者之間存在著某種關(guān)系，這種關(guān)系有助于梁的內(nèi)力計算和內(nèi)力圖的繪制。下面從一般情況推導這種關(guān)系式。設(shè)梁上作用有任意分布荷載q(x)，如圖3-27（a）所示，規(guī)定q(x)以向上為正、向下為負。坐標原點取在梁的左端。在距左端為x處截取長度為dx的微段梁研究其平衡。微段梁上作用有分布荷載q(x)。由于微段dx很微小，在dx微段上可以將分布荷載看作是均勻的。微段左側(cè)橫截面上的剪力和彎矩分別為Q(x)和M(x)；微段右側(cè)截面上的剪力和彎矩分別為Q(x)+dQ(x)和M(x)+dM(x)，如圖3-27(b)所示。

彎矩、剪力、荷載集度間的關(guān)系桿件的內(nèi)力分析

由微段梁平衡條件∑Fy=0可得Ｑ(x)＋q(x)·dx－［Q(x)＋dQ(x)］＝0整理得到：dQ（x）dx＝q（x）（3-3）即剪力對x的一階導數(shù)等于該截面分布荷載的集度。

由微段梁平衡條件∑MＯ=0（矩心O取在右側(cè)截面的形心）可得：［Ｍ（x）＋dＭ（x）］－Ｍ（x）－Ｑ（x）dx－q（x）dx·dx/2＝0略去二階微量整理得到：dＭ（x）dx＝Ｑ（x）（3-4）