第19講等腰三角形和直角三角形講義（9類知識點8類命題點AB分層）

第19講等腰三角形和直角三角形（解析版）第一部分知識點知識點1等腰三角形的概念和性質(zhì)1．（2023秋?北海期末）已知一個等腰三角形的兩邊長分別為3和5，則它的周長為（）A．11 B．13 C．11或13 D．12或13【思路引領(lǐng)】由等腰三角形兩邊長為3、5，分別從等腰三角形的腰長為3或5去分析即可求得答案，注意分析能否組成三角形．【解答】解：①若等腰三角形的腰長為3，底邊長為5，∵3+3＝6＞5，∴能組成三角形，∴它的周長是：3+3+5＝11；②若等腰三角形的腰長為5，底邊長為3，∵5+3＝8＞5，∴能組成三角形，∴它的周長是：5+5+3＝13，綜上所述，它的周長是：11或13．故選：C．【總結(jié)提升】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．2．（2023秋?北海期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若∠C＝70°，則∠ABE＝（）A．30° B．40° C．60° D．70°【思路引領(lǐng)】根據(jù)等邊對等角即可求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離相等得出EA＝EB，于是得出∠A＝∠ABE，從而求出∠ABE的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠C＝70°，∴∠ABC＝70°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠ABE＝40°，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，求出∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠【解答】解：∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD=12∠∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，以及等角對等邊的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，題目比較好，難度適中．4．（2023?宿遷）若等腰三角形有一個內(nèi)角為110°，則這個等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°【思路引領(lǐng)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答．【解答】解：當?shù)妊切蔚捻斀菫?10°時，則它的底角=180°?110°故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．知識點2等腰三角形的判定5．（2023秋?安陸市期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分別是線段BC、AC上的一點，根據(jù)下列條件之一，不能確定△ADE是等腰三角形的是（）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72° C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°【思路引領(lǐng)】首先求出∠BAC＝108°，則∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分別根據(jù)四個選項中的條件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再進行比較即可得出答案．【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，對于選項A，當∠1＝2∠2時，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，∴∠AED＝∠ADE，故選項A能確定△△ADE是等腰三角形；對于選項B，當∠1+∠2＝72°時，則∠1＝72°﹣∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，∴∠DAE＝∠AED，故選項B能確定△△ADE是等腰三角形；對于選項C，當∠1+2∠2＝90°時，則∠1＝90°﹣2∠2，∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，故選項C不能確定△△ADE是等腰三角形；對于選項D，當2∠1＝∠2+72°時，則∠1=1∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（12∠2+36°）＝72°?∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（12∠2+36°）﹣∠2＝72°?∴∠DAE＝∠ADE，故選項D能確定△ADE是等腰三角形．綜上所述：選項C不能確定△△ADE是等腰三角形．故選：C．【總結(jié)提升】此題主要考查了等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，熟練掌握等腰三角形的判定，靈活運用三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角定理進行角度計算是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為973【思路引領(lǐng)】過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BH＝HC=12BC＝3，根據(jù)勾股定理求出AH=AC2?CH2=4，證明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CE＝BC＝6，證明CD∥AH，得到CDAH=CEHE，求出CD【解答】解：過A作AH⊥BC于H，延長AD，BC于E，如圖所示：則∠AHC＝∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC=12∴AH=A∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED，∴DB＝DE，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∴EH＝CE+CH＝9，∴AE=A∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴ADAE∴AD97解得AD=97故答案為：973【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．知識點3等邊三角形的概念和性質(zhì)7．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【思路引領(lǐng)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝60°，根據(jù)等邊三角形三線合一可得∠CBD＝30°，再根據(jù)作圖可知BD＝ED，進一步可得∠DEC的度數(shù)．【解答】解：在等邊△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC邊上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?岳麓區(qū)期中）如圖，邊長為5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此時陰影部分的周長為12cm．【思路引領(lǐng)】由平移的性質(zhì)及等邊三角形的定義可判定陰影部分是邊長為4的等邊三角形，進而可求解．【解答】解：由題意得，△ABC為等邊三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且陰影部分為等邊三角形，∴陰影部分的周長為3×4＝12cm，故答案為12．【總結(jié)提升】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．知識點4等邊三角形的判定9．（2022秋?威縣期末）若一個三角形是軸對稱圖形，且有一個內(nèi)角為60°，則這個三角形一定是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．上述三種情形都有可能【思路引領(lǐng)】三角形是軸對稱圖形，則該三角形是等腰三角形，根據(jù)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，即可作出判斷．【解答】解：因為三角形是軸對稱圖形，則該三角形是等腰三角形，根據(jù)有一個內(nèi)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了等邊三角形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握判定方法，此題比較簡單，易于掌握．知識點5垂直平分線的性質(zhì)10．（2023秋?寧陽縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直線DE是AC的垂直平分線，E在BC上，∠BAE：∠BAC＝1：5，則∠C＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【思路引領(lǐng)】根據(jù)線段垂直平分線得到AE＝CE，推出∠EAC＝∠C，設(shè)∠BAE＝x，∠BAC＝5x，利用直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC+∠C＝5x+4x＝90°，由此求出答案．【解答】解：∵直線DE是AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，設(shè)∠BAE＝x，∠BAC＝5x，∴∠EAC＝∠C＝4x，∴∠BAC+∠C＝5x+4x＝90°，解得x＝10°，∴∠C＝4x＝40°．故選：B．【總結(jié)提升】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，直角三角形兩銳角互余，解題的是關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．11．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是13．【思路引領(lǐng)】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分線．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案為：13．【總結(jié)提升】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識點630°的直角三角形的性質(zhì)12．（2023秋?瀘縣期末）已知直角三角形30°角所對的直角邊長為5，則斜邊的長為（）A．5 B．10 C．8 D．12【思路引領(lǐng)】根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．【解答】解：∵直角三角形中30°角所對的直角邊長是5，∴斜邊的長＝5×2＝10．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．知識點7直角三角形斜邊中線的性質(zhì)13．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路引領(lǐng)】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出CD的長．【解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點D為線段AB的中點，∴CD=12AB＝3故選：B．【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．（2023?赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16【思路引領(lǐng)】先論證四邊形CFDE是平行四邊形，再分別求出CF，CD，DF，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求出即可．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知DF∥CE，DF＝CE，∴四邊形CFDE是平行四邊形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=A在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，點F是AB的中點，∴CF=12∵DF∥CE，點F是AB的中點，∴ADAC=AFAB=∴點D是AC的中點，∴CD=12∵點F是AB的中點，點D是AC的中點，∴DF是Rt△ABC的中位線，∴DF=12∴四邊形CFDE的周長為2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四邊形CFDE的面積為DF?CD＝3×4＝12．故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理等知識，推到四邊形FDE是平行四邊形和DF是Rt△ABC的中位線是解決問題的關(guān)鍵．知識點8勾股定理及勾股定理逆定理15．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是（）A．5 B．6 C．655 【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得△ABC的周長＝3+4+5＝12，得到AD＝3，CD＝2，過D作DE⊥BC于E【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC=A∴△ABC的周長＝3+4+5＝12，∵BD平分△ABC的周長，∴AB+AD＝BC+CD＝6，∴AD＝3，CD＝2，過D作DE⊥BC于E，∴AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∴DEAB∴DE3∴DE=65，CE∴BE=12∴BD=B故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023?樂山）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ＝（）A．45 B．35 C．25【思路引領(lǐng)】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以求出斜邊各邊的長，然后即可計算出sinθ的值．【解答】解：設(shè)大正方形的邊長為c，直角三角形的短直角邊為a，長直角邊為b，由題意可得：c2＝25，b﹣a=1=1，a2+b2＝c解得a＝3，b＝4，c＝5，∴sinθ=b故選：A．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出各邊的長．17．（2023秋?洋縣期末）下列各組數(shù)分別作為一個三角形的三邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，2，1 B．2，3，2 C．2，2，22 【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷較小兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，則可以判斷各個選項的三條線段能否構(gòu)成直角三角形，本題得以解決．【解答】解：A、12+22≠22，故選項A中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；B、22+22≠32，故選項B中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；C、22+22＝（22）2，故選項C中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；D、32+32≠32，故選項D中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：C．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．18．（2023秋?威寧縣期末）下列各組數(shù)，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，22，10 D．7，24，25【思路引領(lǐng)】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A、12+22≠53，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；B、0.3，0.4，0.5都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；C、6，22，10都不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故不符合題意；D、72+242＝252，能構(gòu)成直角三角形，所以是勾股數(shù)，故符合題意；故選：D．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股數(shù)的定義．知識點9勾股定理的應(yīng)用19．（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是8尺．【思路引領(lǐng)】利用勾股定理建立方程，解方程得出門高即可．【解答】解：設(shè)竿長為x尺，則門寬為（x﹣4）尺，門高（x﹣2）尺，門對角線是x尺，根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．則門高：10﹣2＝8．故答案為：8．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)未知數(shù)建立關(guān)于未知數(shù)的方程是解題的關(guān)鍵．20．（2023?麗水）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB為腰作等腰直角三角形BAE，頂點E恰好落在CD邊上，若AD＝1，則CE的長是（）A．2 B．22 C．2 【思路引領(lǐng)】如圖，過點A作AF⊥BC于F，過點E作GH⊥BC于H，交AD的延長線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，證明四邊形AFHG是正方形，則AG＝GH，再證明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，則DG＝EG，CH＝EH，最后根據(jù)勾股定理可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，過點E作GH⊥BC于H，交AD的延長線于G，則∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四邊形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE=1解法二：如圖2，過點E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AEBE∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴ADEF∵AD＝1，∴EF=2∴CE＝EF=2故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形和正方形的性質(zhì)和判定等知識，正確作輔助線構(gòu)建△AFB和△AGE全等是解本題的關(guān)鍵．第二部分命題點舉一反三命題點1等腰三角形的判定與性質(zhì)【典例1】（2022秋?韓城市期末）如圖，已知點D，E分別是△ABC的邊BA和BC延長線上的點，作∠DAC的平分線AF，若AF∥BC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分線交AF于點G，若∠B＝40°，求∠AGC的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)角平分線定義得到∠DAF＝∠CAF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根據(jù)角平分線定義得到∠ACG=12【解答】（1）證明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴∠ACG=12∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023秋?新泰市期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于E、F．（1）試說明△CEF是等腰三角形．（2）若點E恰好在線段AB的垂直平分線上，試說明線段AC與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）首先根據(jù)條件∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，可證出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根據(jù)同角的補角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角對等邊即可得出答案；（2）線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分線，得到∠CAE＝∠EAB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB，∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴△CEF是等腰三角形；（2）∵點E恰好在線段AB的垂直平分線上，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AC=12【總結(jié)提升】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春?楊浦區(qū)期末）已知在△ABC中，AB＝AC，點D是邊AB上一點，∠BCD＝∠A．（1）如圖1，試說明CD＝CB的理由；（2）如圖2，過點B作BE⊥AC，垂足為點E，BE與CD相交于點F．①試說明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠BDC＝∠A+∠ACD，從而可得∠BDC＝∠ACB，然后根據(jù)等量代換可得∠ABC＝∠BDC．再根據(jù)等角對等邊可得CD＝CB，即可解答；（2）①根據(jù)垂直定義可得∠BEC＝90°，從而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后設(shè)∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的結(jié)論可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；②根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BFD＝3α，然后分三種情況：當BD＝BF時；當DB＝DF時；當FB＝FD時；分別進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一個外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，設(shè)∠CBE＝α，則∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一個外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三種情況：當BD＝BF時，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；當DB＝DF時，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；當FB＝FD時，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，綜上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度數(shù)為45°或36°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點E，過點E作EF∥BC，交AC于點F，G為BC的中點，連接FG．求證：FG=12【思路引領(lǐng)】由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得∠ACD＝∠FEC，即可證明EF＝CF，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明AF＝CF，即可得GF是△ABC的中位線，進而可證明結(jié)論．【解答】證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCD，∴∠ACD＝∠FEC，∴EF＝CF，∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACD＝90°，∠AEF+∠FEC＝90°，∴∠EAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AF＝CF，∵G是BC的中點，∴GF是△ABC的中位線，∴FG=12【總結(jié)提升】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線等知識的綜合運用，證明GF是△ABC的中位線是解題的關(guān)鍵．命題點2等邊三角形的性質(zhì)與判定【典例2】（2023秋?高安市期中）已知：如圖所示，△ABC是邊長6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)等邊三角形的判定得：BP＝BQ，列等式可得t的值；（2）分兩種情況：當∠BQP＝90°時，BP＝2BQ，則6﹣2t＝3t，②當∠BPQ＝90°時，BQ＝2BP，則1.5t＝2（6﹣2t），分別求出t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，則BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，當△PBQ為等邊三角形時，則有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得t=12即當t=127s（2）當∠BQP＝90°時，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得t=6當∠BPQ＝90°時，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得t=24綜上可知當t為65s或2411【總結(jié)提升】、本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì)，利用t表示出BP和BQ，化“動”為“靜”，是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為2cm．【思路引領(lǐng)】先由平行線的性質(zhì)可得∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理可得AB＝BC，則可得出AB的長．【解答】解：∵直尺的兩對邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．故答案為：2．【總結(jié)提升】此題主要是考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，能夠得出AB＝BC是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為27．【思路引領(lǐng)】連接AC、BD交于點O，過點E作EF⊥AC，交AC于點F，先證明△BCD是等邊三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝23，最后運用勾股定理求得AB即可．【解答】解：如圖：連接AC、BD交于點O，過點E作EF⊥AC，交AC于點F，又∵BC＝DC，∠C＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝BC＝CD＝8，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC⊥BD，BO＝DO=12∴∠ACD＝∠ACB=12∠又∵AE∥CD，∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．∴AE＝EC＝6，過點E作EF⊥AC，交AC于點F，∴CF＝CE?cos30°＝6×32=AF＝AE?cos30°＝6×32=CO＝BC?cos30°＝8×32=∴AC＝CF+AF＝63，∴AO＝AC﹣CO＝63?43=2在Rt△BOA中，AB=BO2故答案為：27．【總結(jié)提升】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂直平分線、勾股定理、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線成為解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春?東港市期末）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；（2）根據(jù)全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，結(jié)合（1）中的結(jié)論可得∠ADO為90°，那么可得所求三角形的形狀；（3）根據(jù)題中所給的全等及∠AOB的度數(shù)可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等分類探討即可．【解答】證明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①當∠AOD＝∠ADO時，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②當∠AOD＝∠OAD時，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③當∠ADO＝∠OAD時，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．綜上所述：當α＝110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．【總結(jié)提升】綜合考查了全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；注意應(yīng)分類探討三角形為等腰三角形的各種情況．命題點3直角三角形的性質(zhì)【典例3】（2023?金安區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC，BC上滑動，且DE＝6，若點M、N分別是DE、AB的中點，則MN的最小值為（）A．10?41 B．41?3 C．241?【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得CN=12AB=41，CM=12DE=3，由當C、M、N【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，∴AB=AC2∵DE＝6，點M、N分別是DE、AB的中點，∴CN=12AB=41當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為：41?故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝3．【思路引領(lǐng)】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AB＝2CD＝10，根據(jù)勾股定理得到BC=A【解答】解：∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC=A∵E為AC的中點，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12故答案為：3．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?惠山區(qū)月考）已知，如圖，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC，BD的中點．求證：①BM＝DM；②MN⊥BD．【思路引領(lǐng)】（1）連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM＝DM=12（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）證明：如圖，連接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點，∴BM＝DM=12∴BM＝DM；（2）∵點N是BD的中點，BM＝DM，∴MN⊥BD．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并連接輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?石獅市期末）如圖，在△ABC中，CO⊥AB于點O，BA＝BC＝3，AO＝1．（1）求CO的長；（2）若點D是射線OB上的一個動點，過點D作DE⊥AC于點E．①當點D在線段OB上時，若AO＝AE，求OD的長；②設(shè)直線DE交射線CB于點F，連接OF，若S△OBF：S△OCF＝1：4，求OD的長．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)BA和AO的長可得BO的長度，再利用勾股定理可得CO的長度；（2）①根據(jù)OA和OC的長度利用勾股定理可得AC的長度．利用AAS可得△AED≌△AOC，進而求得AD＝AC，減去AO長即為OD長；②點D是射線OB上的一個動點，那么點D可能在線段OB上或線段OB的延長線上．所給的兩個三角形有一個公共頂點O，若向?qū)呉咕€，得到有相同的高，那么面積的比就等于底邊的比．就可以計算出BF的值，結(jié)合等腰三角形的等邊對等角，可得BD＝BF，計算即可．【解答】解：（1）∵BA＝BC＝3，AO＝1．∴OB＝2．∵CO⊥AB，∴∠COB＝∠AOC＝90°．∴CO=BC（2）∵∠AOC＝90°，AO＝1，OC=5∴AC=AO∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°．在△AED和△AOC中，∠AED=∠AOC∠A=∠A∴△AED≌△AOC（AAS）．∴AD＝AC=6∴OD＝AD﹣AO=6②Ⅰ、點D在線段OB上時，過點O作OM⊥CF于點M．∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM為它們共同的高，∴BF：CF＝1：4．∵BC＝3，∴BF＝1．∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠ADE＝∠CFD．∵∠BDF＝∠ADE，∴∠CFD＝∠BDF．∴BD＝BF＝1，∴OD＝OB﹣BD＝2﹣1＝1．Ⅱ、點D在線段OB的延長線上時，過點O作OM⊥CF于點M．∵S△OBF：S△OCF＝1：4，OM為它們共同的高，∴BF：CF＝1：4．∵BC＝3，∴BF＝3×1∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CEF＝90°．∴∠D＝∠CFE．∵∠BFD＝∠CFE，∴∠BFD＝∠D．∴BD＝BF＝0.6，∴OD＝OB+BD＝2+0.6＝2.6．綜上，OD的長為：1或2.6．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的綜合應(yīng)用．關(guān)鍵是找到所求線段所在的直角三角形．動點問題要注意分類探討．命題點4勾股定理及其逆定理【典例4】（2023春?萊西市期末）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，E是邊AC的中點，連接AD，BE．（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求證：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面積．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)中點的定義和勾股定理的逆定理即可證明；（2）根據(jù)中點的定義求出AC，根據(jù)勾股定理求出CD，再求出BC，然后利用三角形面積公式列式計算即可求解．【解答】（1）證明：∵D是邊BC的中點，E是邊AC的中點，CD＝8，CE＝6，∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，∵AB＝20，∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠C＝90°；（2）解：∵E是邊AC的中點，AE＝6，∴AC＝2AE＝12．在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，∴CD=A∴BC＝2CD＝10，∴△ABC的面積=12AC?BC【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理及其逆定理，線段中點的定義，三角形的面積，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023秋?蘇州期中）如圖，△ABC中，E為AB邊上的一點，連接CE并延長，過點A作AD⊥CE，垂足為D，若AD＝7，AB＝20，BC＝15，DC＝24．（1）試說明∠B為直角；（2）記△ADE的面積為S1，△BCE的面積為S2，則S2﹣S1的值為66．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)勾股定理求出AC=AD2+DC2=25，進而推出AB2（2）根據(jù)題意推出S2﹣S1＝S△ABC﹣S△ACD，根據(jù)三角形面積公式求解即可．【解答】解：（1）∵AD⊥CE，∴∠D＝90°，∵AD＝7，DC＝24，∴∵AB＝20，BC＝15，202+152＝252，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B為直角；（2）∵S1+S△ACE＝S△ACD，S2+S△ACE＝S△ABC，∴S1＝S△ACD﹣S△ACE，S2＝S△ABC﹣S△ACE，∴S2﹣S1＝（S△ABC﹣S△ACE）﹣（S△ACD﹣S△ACE）＝S△ABC﹣S△ACD，∵S△ABC=12BC?AB=12×15×20＝150，S△ACD=∴S2﹣S1＝150﹣84＝66，故答案為：66．【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理逆定理，熟記勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023?濟寧）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α【思路引領(lǐng)】過B點作BG∥CD，連接EG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABG＝∠CFB＝α．根據(jù)勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，進而求出∠ABE的度數(shù)．【解答】解：如圖，過B點作BG∥CD，連接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理及其逆定理，平行線的性質(zhì)，準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．命題點5勾股定理的應(yīng)用【典例5】（2023秋?清新區(qū)期中）如圖，一塊四邊形空地，已知AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，且AB⊥BC，（1）求這塊空地的面積；（2）若在這塊空地上種植草皮，每平方米需要100元，問需要投入多少資金種植草皮？【思路引領(lǐng)】（1）在直角三角形ABC中可求得AC的長，由AC、AD、DC的長度關(guān)系可得三角形DAC為一直角三角形，DA為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC構(gòu)成，則容易求出面積；（2）根據(jù)單價和面積求得總資金即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝32+42＝52，∴AC＝5．在△DAC中，CD2＝122，AD2＝132，而122+52＝132，即AC2+CD2＝AD2，∴∠DCA＝90°，△DAC為直角三角形，∴S四邊形ABCD＝S△BAC+S△DAC=12?BC?AB+12=12×4×3+1答：空地ABCD的面積為36m2．（2）總資金為：36×100＝3600元，答：需要投入3600元資金種植草皮．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識，通過勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡單，求出四邊形ABCD的面積是解題關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為50km．【思路引領(lǐng)】根據(jù)題意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，從而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定義可得∠ABC＝90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=AB2∴A，C兩港之間的距離為50km，故答案為：50．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件畫出圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．2．（2023?寶雞一模）如圖，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O，機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好在點C處截住了小球，如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人行走的路程BC是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【思路引領(lǐng)】設(shè)BC＝x，則OC＝25﹣x，再利用在Rt△OBC中OC2+BO2＝BC2，列出方程解答即可．【解答】解：設(shè)BC＝xm，則OC＝（25﹣x）m，依題意知BC＝AC＝xm，在Rt△OBC中，OC2+BO2＝BC2，即（25﹣x）2+52＝x2，解得x＝13，∴BC＝13米．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能利用勾股定理正確列出方程．3．（2023?鄖陽區(qū)模擬）小強家因裝修準備用電梯搬運一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是1m，1m，2m，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長度是（）A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m【思路引領(lǐng)】運用勾股定理求解即可．【解答】解：如圖：根據(jù)勾股定理：AB2＝12+12＝2，AC2＝AB2+BC2＝2+4＝6，故AC=6故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．命題點6與等腰三角形有關(guān)的動點問題【典例6】（2023秋?豐南區(qū)期中）如圖1，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．（1）若∠MON＝70°，則∠ACG＝55°（直接寫出答案）；（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示并寫出理由）；（3）如圖2，若∠MON＝80°，過點C作CF∥OA交AB于點F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAO+∠ABO，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案；（2）仿照（1）的解法解答；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACF＝∠CAG，根據(jù)（2）的結(jié)論解答．【解答】解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠BAO+∠ABO＝110°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝55°，故答案為：55°；（2）∵∠MON＝n°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣n°，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠CBA=12∠ABO，∠CAB=1∴∠CBA+∠CAB=12（∠ABO+∠BAO）＝90°?∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝90°?12（3）∵CF∥OA，∴∠ACF＝∠CAG，∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝90°?1【總結(jié)提升】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握兩直線平行、內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（3，3），點P在x軸上運動，若以點A，P，O為頂點作等腰三角形，則能作出的三角形個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【思路引領(lǐng)】利用分類討論思想，當OP＝OA時，有兩種情況，當AP＝OA時，有一種情況，當OP＝AP時，有一種情況，共有四種情況，能作出四個三角形．【解答】解；如圖所示，當OA＝OP時，以點O為圓心，OA為半徑與x軸有兩個交點，分別為P1，P2，當OA＝AP時，以點A為圓心，OA為半徑與x軸有兩個交點，一個交點為O，一個交點為P3，當OP＝AP時，點P在OA的垂直平分線上，OA的垂直平分線與x軸只有一個交點，交點為P，故以點A，P，O為頂點作等腰三角形，則能作出的三角形個數(shù)是4個，故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查等腰三角形，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?瑞安市期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，已知BD＝6，AD＝8．（1）求CD的長．（2）動點P從點B出發(fā)，沿射線BD以每秒1個單位長度的速度運動，Q為射線DA上一點，DQ＝BP，連結(jié)PQ，設(shè)點P運動的時間為t秒．①當點P在線段BD上時，若△CPQ是以CP為腰的等腰三角形，求t的值．②在點P的整個運動過程中，作點Q關(guān)于AP的對稱點Q'，連結(jié)BQ'，當BQ'∥AC時，請直接寫出此時PD的長：4.8或8．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)BD⊥AC，BD＝6，AD＝8，由勾股定理可求出AB＝AC＝10，進而可求出CD的長；（2）①依題意得BP＝DQ＝t，則PD＝BD﹣BP＝6﹣t，CQ＝CD+DQ＝2+t當△CPQ是以CP為腰的等腰三角形，有以下兩種情況，連接CP，（ⅰ）當CP＝PQ時，由BD⊥AC得DQ＝CD＝2，據(jù)此可求出t的值；（ⅱ）當PC＝CQ時，則PC＝2+t，CD＝2，PD＝6﹣t，由勾股定理可求出t的值；②分兩種情況討論如下：（?。┊旤cP在線段BD上運動時，過點A作AT⊥BQ'交BQ'的延長線于T，過QQ'作Q'H⊥AC于H，先證四邊形BDHQ'和四邊形ADBT均為矩形，再證Rt△PBQ'和△QDP全等，從而可得AT＝6，TQ'＝2+t，AQ'＝8﹣t，然后由勾股定理可求出t＝1.2，進而可得PD的長；（ⅱ）當點P在BD的延長線上時，連接AQ'，PQ，PQ'，過點Q作QM⊥BQ'角BQ'的延長線于M，同理可證四邊形QDBM為矩形，△PBQ'和△QDP全等，由此可證△QMQ'為等腰直角三角形，再證四邊形AQMQ'為矩形得AQ'＝QM，由此得出t﹣8＝6，則t＝14，進而可得PD的長．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，BD＝6，AD＝8，由勾股定理得：AB=A∴AB＝AC＝10，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2．（2）①依題意得：BP＝DQ＝t，由（1）可知：CD＝2，∴PD＝BD﹣BP＝6﹣t，CQ＝CD+DQ＝2+t∵△CPQ是以CP為腰的等腰三角形，∴有以下兩種情況，連接CP，如圖1所示：（?。┊擟P＝PQ時，∵BD⊥AC，∴DQ＝CD＝2，即t＝2，（ⅱ）當PC＝CQ時，在Rt△PCD中，PC＝2+t，CD＝2，PD＝6﹣t，由勾股定理得：PC2＝CD2+PD2，即（2+t）2＝22+（6﹣t）2，解得：t＝2.25．綜上所述：t＝2或2.25時，△CPQ是以CP為腰的等腰三角形．②分兩種情況討論如下：（?。┊旤cP在線段BD上運動時，連接PQ'，過點A作AT⊥BQ'交BQ'的延長線于T，過Q'作Q'H⊥AC于H，如圖2所示：∵BQ'∥AC，BD⊥AC，Q'H⊥AC∴∠Q'BD＝∠AGB＝∠Q'HD＝90°，∴四邊形BDHQ'為矩形，∴BQ'＝DH，HQ'＝BD＝6，∵AT⊥BQ'，∴∠TQ'H＝∠Q'HA＝∠T＝90°，∴四邊形ADBT為矩形，∴AT＝HQ'＝6，TQ'＝AH＝AD﹣DH＝8﹣BQ'，依題意得：BP＝DQ，由對稱的性質(zhì)得：PQ'＝PQ，AQ'＝AQ＝AD﹣DQ＝8﹣t，在Rt△PBQ'和△QDP中，BP=DQPQ′=PQ∴Rt△PBQ'≌△QDP（HL），∴BQ'＝PD＝6﹣t，∴TQ'＝8﹣BQ'＝8﹣（6﹣t）＝2+t，在Rt△ATQ'中，AT＝6，TQ'＝2+t，AQ'＝8﹣t，由勾股定理得：AQ'2＝AT2+TQ'2，即（8﹣t）2＝62+（2+t）2，解得：t＝1.2，∴PD＝6﹣t＝6﹣1.5＝4.8，（ⅱ）當點P在BD的延長線上時，連接AQ'，PQ，PQ'，過點Q作QM⊥BQ'角BQ'的延長線于M，如圖3所示：同理可證：四邊形QDBM為矩形，∴QM＝BD＝6，BM＝DQ，依題意得：BP＝DQ＝t，則PD＝t﹣6，AQ＝DQ﹣AD＝t﹣8，同理可證：△PBQ'≌△QDP（HL），∴BQ'＝PD＝6﹣t，∵BM＝DQ＝t，∴MQ'＝BM﹣BQ'＝t﹣（t﹣6）＝6，∴QM＝MQ'＝6，∴∠T＝90°，∴△QMQ'為等腰直角三角形，∴∠MQQ'＝45°，∴∠Q'QA＝45°，由對稱性可知：AQ＝AQ'＝t﹣8，∴∠AQ'Q＝∠Q'QA＝45°，∴∠QAQ'＝90°，又∵∠M＝∠AQM＝90°，∴四邊形AQMQ'為矩形，∴AQ'＝QM，∴t﹣8＝6，解得：t＝14，∴PD＝t﹣6＝14﹣6＝8．綜上所述：PD的長為4.8或8．故答案為：4.8或8．【總結(jié)提升】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，正確地添加輔助線構(gòu)造矩形，以及分類討論思想的應(yīng)用是解決問題的難點，漏解是易錯點之一．命題點7與直角三角形有關(guān)的動點問題【典例7】（2022秋?海勃灣區(qū)期末）如圖，點A是射線BC外一點，連接AB，AB＝5cm，點A到BC的距離為3cm．動點P從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運動．設(shè)運動的時間為t秒，當t為2或258秒時，△ABP【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理，先求出BH的長，再分情況討論：當∠APB＝90°時，當∠BAP＝90°時分別求解即可．【解答】解：過點A作AH⊥BC，∵點A到BC的距離為3cm，∴AH＝3cm，∵AB＝5cm，根據(jù)勾股定理，得BH＝4cm，當∠APB＝90°時，如圖所示：此時點P與點H重合，根據(jù)題意，得2t＝4，解得t＝2；當∠BAP＝90°時，如圖所示：∵AB＝5cm，BP＝2tcm，AH＝3cm，BH＝4cm，∴HP＝（2t﹣4）cm，根據(jù)勾股定理，得AP2＝BP2﹣AB2＝4t2﹣25，AP2＝9+（2t﹣4）2，∴4t2﹣25＝9+（2t﹣4）2，解得t=25∴t＝2s或258s故答案為：2s或258s【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．【舉一反三】1．（2023春?定南縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一動點（不與B，C重合），DE⊥AB于點E，點F是線段AD的中點，連接EF，CF．（1）試猜想線段EF與CF的大小關(guān)系，并加以證明．（2）若∠BAC＝30°，連接CE，在D點運動過程中，探求CE與AD的數(shù)量關(guān)系．【思路引領(lǐng)】（1）EF和CF分別是直角△AED和直角△ACD斜邊上的中線，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證得；（2）證明△EFC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的定義以及直角三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）EF＝CF，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵點F是線段AD的中點，∴EF=12AD，CF=∴EF＝CF．（2）由（1）可知EF＝AF＝CF，∴∠AEF＝∠EAF，∠ACF＝∠CAF，∴∠EFD＝2∠EAF，∠CFD＝2∠CAF，∴∠EFC＝2∠BAC＝60°，又EF＝CF，∴△EFC為等邊三角形，∴CE＝EF=12【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證得△EFC是等邊三角形是關(guān)鍵．2．（2023秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝8，D為AC邊上的一個動點，連接BD，E為BD上的一個動點，連接AE，CE，當∠ABD＝∠BCE時，線段AE的最小值是（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【思路引領(lǐng)】如圖，取BC的中點T，連接AT，ET．首先證明∠CEB＝90°，求出AT，ET，根據(jù)AE≥AT﹣ET，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，取BC的中點T，連接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB=12∴ET=12BC＝4，AT∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥1，∴AE的最小值為1，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是求出AT，ET的長，屬于中考?？碱}型．3．（2023春?碑林區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=22，AC=2，BC=10，點P為邊BC上一動點，過點P分別作PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，點F為AP中點，連接DFA．2105 B．255 C．【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理是逆定理求出∠BAC＝90°，根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到DF=12【解答】解：∵AB＝22，AC=2，BC=∴AB2+AC2＝10，BC2＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴BC邊上的高為：2×2∵PD⊥AB，點F為AP中點，∴DF=12當AP最小時，DF最小，∵當AP⊥BC時，AP最小，最小值為210∴DF的最小值為105故選：C．【總結(jié)提升】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、垂線段最短，根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的面積公式求出BC邊上的高是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋?建鄴區(qū)月考）如圖，OA⊥OB，垂足為O，P、Q分別是射線OA、OB上的兩個動點，點C是線段PQ的中點，且PQ＝4．則動點C運動形成的路徑長是π．【思路引領(lǐng)】連接OC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OC=12PQ，再判斷出點C運動的路徑為以【解答】解：如圖，連接OC，∵點C是線段PQ的中點，∴OC=12PQ∴動點C運動形成的路徑是以O(shè)為圓心的扇形，∴路徑長=90?π?2180故答案為：π．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，軌跡，判斷出點C運動的路徑是扇形是解題的關(guān)鍵．命題點8與等腰直角三角形有關(guān)的證明【典例8】（2023秋?建甌市期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是線段BC上一點，連接AP，延長BC至點Q，使得CQ＝CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．（1）若∠CAP＝20°，則∠AMQ＝65°．（2）判斷AP與QM的數(shù)量關(guān)系，并證明．【思路引領(lǐng)】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝45°，則∠PAB＝25°，再由直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）連接AQ，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AP＝AQ，則∠QAC＝∠PAC．再證∠QMA＝∠MQB+45°，∠QAM＝∠QAC+45°，然后證∠BQM＝∠PAC，得∠QMA＝∠QAM，即可得出結(jié)論．【解答】（1）∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠B＝45°．∵∠CAP＝20°，∴∠PAB＝25°．∵QH⊥AP于點H，∴∠AHM＝90°．∴∠AMQ＝90°﹣∠PAB＝90°﹣25°＝65°，故答案為：65．（2）解：AP＝QM，證明如下：連接AQ，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥PQ．又∵CQ＝CP，∴AP＝AQ．∵AC⊥PQ，∴∠QAC＝∠PAC．∵∠QMA＝∠MQB+∠B，∴∠QMA＝∠MQB+45°．∵∠QAM＝∠QAC+∠CAB，∴∠QAM＝∠QAC+45°．∵AC⊥PQ，AP⊥MQ，∴∠BQM＝∠PAC．∵∠QAC＝∠PAC，∴∠QAC＝∠MQB．∴∠QMA＝∠QAM．∴AP＝QM．【總結(jié)提升】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明∠QMA＝∠QAM是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】1．（2023?寶應(yīng)縣一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一點，CD＝AB，過點D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．（1）求證：△ACE是等腰直角三角形；（2）延長DE至F，使得EF＝CD，連結(jié)BF并與CE的延長線相交于點G，求∠BGC的度數(shù)．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)已知條件由SAS證明△ABC≌△ODE，從而得到∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，故∠DCE+∠DEC＝∠DCE+∠ACB＝∠ACE＝90°，即可得證；（2）由AB∥DF及AB＝EF可得四邊形AEFB是平行四邊形，所以∠BGC＝∠AEC＝45°．【解答】（1）證明：DE⊥BC，∴∠EDC＝90°＝∠CBA，∠DCE+∠DEC＝90°，在△ABC和△CDE中，AB=CD∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠ACB＝∠DEC，AC＝CE，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；（2）解：∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴AB∥DF，∵△ABC≌△CDE（已證），∴AB＝CD，∵EF＝CD，∴AB＝EF，四邊形AEFB是平行四邊形，∴BF∥AE，∴∠BGC＝∠AEC，∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°，∴∠BGC＝∠AEC＝45°．【總結(jié)提升】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)和判定，掌握等腰三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第三部分自我反饋分層訓(xùn)練A組1．（2023秋?夏邑縣期末）等腰△ABC中AB＝AC，AD、BE為三角形的角平分線，且AD、BE交于點O，若∠C＝64°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．108° B．116° C．122° D．134°【思路引領(lǐng)】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠ABC＝∠C＝64°，AD⊥BC，得到∠ODB＝90°，由角平分線定義得到∠OBD=12∠ABC＝32°，由三角形外角的性質(zhì)求出∠AOB＝∠ODB+∠【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝64°，∵BE為三角形的角平分線，∴∠OBD=12∠∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∴∠AOB＝∠ODB+∠OBD＝90°+32°＝122°．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB＝90°．2．（2023秋?銅官區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D和點E分別在BC和AC上，AD＝AE，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2 C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45°【思路引領(lǐng)】由AB＝AC，AD＝AE，可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．由三角形外角的性質(zhì)可得∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，則∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．∵∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，∴∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理得∠1＝2∠2．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?臨高縣期末）如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝9，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，則△AEF的周長為（）A．16 B．17 C．18 D．19【思路引領(lǐng)】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝8，AC＝9，∴△AEF的周長為AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+9＝17．故選：B．【總結(jié)提升】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，證得ED＝EB，F(xiàn)D＝FC是解此題的關(guān)鍵．4．（2023秋?川匯區(qū)期末）如圖，點P在∠MON內(nèi)，點P關(guān)于OM，ON的對稱點分別為E，F(xiàn)，若EF＝OP，則∠MON的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【思路引領(lǐng)】連接OE，OF，證明△OEF是等邊三角形，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接OE，OF．∵點P關(guān)于OM，ON的對稱點分別為E，F(xiàn)，∴OP＝OE＝OF，∩POM＝∠EOM，∠PON＝∠NOF，∴∠EOF＝2∠MON，，∵OP＝EF，∴OE＝OD＝EF，∴△OEF是等邊三角形，∴∠EOF＝60°，∴∠MON＝30°，故選：B．【總結(jié)提升】本題考查軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)．5．（2022秋?方城縣期末）如圖，一個等腰直角三角板的直角頂點C在MN上，頂點A在PQ上，∠PAC＝∠ACN，∠1＝22°，則∠2的大小為（）A．21° B．22° C．23° D．20°【思路引領(lǐng)】先判斷PQ∥MN，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1+45°+90°+∠2＝180°，求出∠2即可．【解答】解：∵∠PAC＝∠ACN，∴PQ∥MN，∴∠PAC+∠ACM＝180°，∴∠1+45°+90°+∠2＝180°，∵∠1＝22°，∴∠2＝45°﹣22°＝23°．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出等式．6．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝5．【思路引領(lǐng)】過點D作DE⊥AB于點E，由角平分線的性質(zhì)得到CD＝DE，再通過HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根據(jù)勾股定理可求出AB＝10，進而求出AE＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分線，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，CD=DEBD=BD∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，AB=A∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，設(shè)CD＝DE＝x，則AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案為：5．【總結(jié)提升】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解二元一次方程，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用角平分線的性質(zhì)和勾股定理解決問題．7．（2023?泰州）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為9里．【思路引領(lǐng)】由AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，得到OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，由勾股定理求出AC=AB2?BC2【解答】解：如圖，⊙O表示圓形城堡，由題意知：AB切圓于D，BC切圓于C，連接OD，∴OD⊥AB，OC⊥BC，BD＝BC＝9里，∵AD＝6里，∴AB＝AD+BD＝15里，∴AC=A∵tanA=OD∴OD6∴OD＝4.5（里）．∴城堡的外圍直徑為2OD＝9（里）．故答案為：9．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長定理，關(guān)鍵是理解題意，由銳角的正切得到ODAD=BC8．（2022秋?唐山期末）下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：3 C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【思路引領(lǐng)】A．應(yīng)用股溝定理的逆定理進行計算即可得出答案；B．應(yīng)用股溝定理的逆定理進行計算即可得出答案；C．應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可得出答案；D．應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可得出答案．【解答】解：A．設(shè)AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因為AB2+BC2＝（3a）2