醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1函數(shù)解析

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)1.2極限1.3連續(xù)

4/12/20241醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.1實(shí)數(shù)、區(qū)間與鄰域1.1函數(shù)1.1.2常量與變量1.1.3函數(shù)的定義隱函數(shù)單值函數(shù)和多值函數(shù)函數(shù)的定義4/12/20242醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.4反函數(shù)基本初等函數(shù)奇偶性初等函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)有界性周期性1.1.6分段函數(shù)1.1.7函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)1.1.5初等函數(shù)1.1函數(shù)4/12/20243醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.1實(shí)數(shù)、區(qū)間與鄰域1.實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)由有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩部分組成，全體實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，每一實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合稱為實(shí)數(shù)集。實(shí)數(shù)必是數(shù)軸上某一點(diǎn)的坐標(biāo)，反之，數(shù)軸上沒(méi)一點(diǎn)的坐標(biāo)必是一個(gè)實(shí)數(shù)。每一實(shí)數(shù)集與數(shù)軸上的全體點(diǎn)形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。4/12/20244醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)2.區(qū)間區(qū)間是指介于某兩個(gè)數(shù)之間的全體在數(shù)軸上，區(qū)間是介于某兩個(gè)點(diǎn)之間實(shí)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)。的一條線段上點(diǎn)的全體，兩點(diǎn)間的距離也就是線段的長(zhǎng)度，稱為區(qū)間的長(zhǎng)度。區(qū)間可以分成以下幾類：開(kāi)區(qū)間，閉區(qū)間，半開(kāi)區(qū)間4/12/20245醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)上述區(qū)間都稱為有限區(qū)間.如果區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)中至少有一個(gè)是(無(wú)限數(shù)）例如則稱該區(qū)間為無(wú)限區(qū)間。都是無(wú)限區(qū)間.全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合R可記作也是無(wú)限區(qū)間在以上區(qū)間中，由于a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，因此4/12/20246醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)3.鄰域我們把以點(diǎn)為中心，某一很小的正數(shù)稱為在后面的章節(jié)中經(jīng)常會(huì)用到一種特殊的開(kāi)為半徑的開(kāi)區(qū)間區(qū)間，稱之為鄰域。的鄰域，其中點(diǎn)，即記為稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑。正數(shù)4/12/20247醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)將點(diǎn)的全體，即的一切點(diǎn)x距離小于表示與點(diǎn)鄰域鄰域，記為的去心所得到的的實(shí)數(shù)全體，稱為點(diǎn)鄰域中去掉中心點(diǎn)，即稱為稱為其中的4/12/20248醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.2常量與變量1.常量在某一現(xiàn)象或過(guò)程中始終保持同一數(shù)值不變的量稱為常量。4/12/20249醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)2.變量在某一現(xiàn)象或過(guò)程中量有變化，可以取不注意一個(gè)量是常量還是變量不是絕的，同的數(shù)值，這種量稱為變量。常量與變量是相對(duì)“場(chǎng)合”而言的。4/12/202410醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.3函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域因變量自變量4/12/202411醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)注意：函數(shù)的兩要素為：定義域和對(duì)應(yīng)法則兩個(gè)函數(shù)f(x)，g(x)相等是指：它們定義域相同，且對(duì)于定義域內(nèi)任意一點(diǎn)x，都有f(x)=g(x)4/12/202412醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)（1）函數(shù)的定義域的確定函數(shù)的定義域D通常按以下兩種情形確定：①當(dāng)函數(shù)是用抽象的算式（解析式）表達(dá)②當(dāng)函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用時(shí)，其定義域不僅要使構(gòu)成的集合。時(shí)，其定義域是使算式有意義的一切實(shí)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式有意義，還要有實(shí)際意義來(lái)確定。其定義域是4/12/202413醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)法則---函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法（2）函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的表達(dá)形式4/12/202414醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)函數(shù)的表達(dá)主要是用解析法，下面舉一個(gè)解析法表達(dá)的函數(shù)例假設(shè)16歲以上的成年人每天服用某藥物的劑該函數(shù)的定義域是，但在定義域的不同區(qū)間上，函數(shù)關(guān)系是用兩個(gè)解析式表示的。量Q是2mg，而16歲以下的未成年人每天服用該藥物的劑量Q與年齡t成正比，比例系數(shù)為0.125mg/歲，則劑量Q與年齡t的函數(shù)關(guān)系為4/12/202415醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)2.單值函數(shù)和多值函數(shù)在函數(shù)定義1-1中，如果自變量x在D內(nèi)任取一個(gè)值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這樣的函數(shù)又確定了一個(gè)稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)注意：在本書(shū)中，若無(wú)特殊說(shuō)明，所稱的函數(shù)例如在方程都有兩個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)中，對(duì)于每一個(gè)以x為自變量、y為因變量的多值函數(shù).因此，方程都是單值函數(shù).4/12/202416醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)3.隱函數(shù)稱這種方式表達(dá)的函數(shù)為顯函數(shù)。如果因變量y是用x的明顯表達(dá)式表示出來(lái)的，而有些函數(shù)的表達(dá)方式卻不是這樣，因變量與系隱含在這個(gè)方程中，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。自變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由一個(gè)方程確定的，函數(shù)關(guān)都是隱函數(shù).例如4/12/202417醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)如果變量y與x滿足一個(gè)方程那么就說(shuō)方程當(dāng)變量x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)相應(yīng)地總有滿足這方程的y值與之對(duì)應(yīng)，在該區(qū)間內(nèi)確定了以x為自變量y為因變量的隱函數(shù).在一定條件下，有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，但顯化有時(shí)很困難，甚至不可能。4/12/202418醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.4反函數(shù)定義1-2量，哪個(gè)是因變量并不是絕對(duì)的，要根據(jù)所研究一個(gè)叫做因變量，但在實(shí)際問(wèn)題中，哪個(gè)是自變的具體問(wèn)題而定。在函數(shù)定義中的兩個(gè)自變量，一個(gè)叫做自變量，反函數(shù)的一般定義如下：都有唯一的且滿足如果對(duì)于每一個(gè)設(shè)f(x)是定義在D上的一個(gè)函數(shù)，值域?yàn)閃.4/12/202419醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)關(guān)系式x

的與之對(duì)應(yīng)，則確定了一個(gè)定義在W上、以y為自變量、x為因變量的新函數(shù)，稱為y=f(x)

的反函數(shù)，記為互為反函數(shù)而原來(lái)的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù)，或稱它們我們通常用x表示自變量，y表示因變量這時(shí)我們說(shuō)因此，可以把改寫(xiě)為是y=f(x)的反函數(shù)。4/12/202420醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)表示變量y和x的同一種函數(shù)關(guān)系，y=f(x)和的圖形以y=x為軸翻轉(zhuǎn)它們的圖形是同一條曲線；

y=f(x)

注意：就得到的圖形.也就是說(shuō)它們的圖形是關(guān)于y=x對(duì)稱。4/12/202421醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)見(jiàn)圖1-1圖1-14/12/202422醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)例求下列函數(shù)的反函數(shù)：由改變變量的記號(hào)，即得到反函數(shù)為：由y=5x+6，解得（1）y=5x+6，解得改變變量的記號(hào)，即得到反函數(shù)為：解：（2）（1）4/12/202423醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)注1：并不是任何函數(shù)y=f(x)

都有反函數(shù)，因?yàn)閷?duì)于y的某些值，滿足y=f(x)這一條件的x值可能不止一個(gè).有些函數(shù)的反函數(shù)存在，但不一定能夠注2：用一個(gè)顯函數(shù)表示出來(lái)，即由y=f(x)可能解不出x=g(y),

但反函數(shù)存在，這時(shí)y=f(x)

的反函數(shù)表示為隱函數(shù)形式.4/12/202424醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.5初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)3.初等函數(shù)

4/12/202425醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)六類函數(shù)：1.基本初等函數(shù)常函數(shù)、4/12/202426醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.基本初等函數(shù)常函數(shù)常函數(shù)的定義域?yàn)樗膱D形是一條水平直線。4/12/202427醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域依例如而定，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)榈亩x域?yàn)榈亩x域?yàn)榈徽撊『沃?，?dāng)x>0時(shí)，它總是有定義的，其圖象都經(jīng)過(guò)(1,1)點(diǎn).為實(shí)數(shù)與與1.基本初等函數(shù)4/12/202428醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)冪函數(shù)為實(shí)數(shù)1.基本初等函數(shù)4/12/202429醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.基本初等函數(shù)4/12/202430醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)不論a為何值，函數(shù)圖象均經(jīng)過(guò)(0,1)點(diǎn).定義域值域當(dāng)a>1時(shí)，ax單調(diào)增；當(dāng)0<a<1時(shí)，ax單調(diào)減.1.基本初等函數(shù)4/12/202431醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)函數(shù)不論a為何值，函數(shù)圖象均過(guò)(1,0)點(diǎn).定義域值域當(dāng)a>1時(shí)，logax嚴(yán)格單增；當(dāng)0<a<1時(shí)，logax

嚴(yán)格單減.1.基本初等函數(shù)4/12/202432醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)三角函數(shù)常用的包括以下幾種：有界函數(shù)(1)正弦函數(shù)y

=sinx.定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)4/12/202433醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)有界函數(shù)（2）余弦函數(shù)

y

=cosx.定義域值域偶函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)4/12/202434醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)（3）正切函數(shù)

y=tanx定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)4/12/202435醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)（4）余切函數(shù)

y=cotx定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)4/12/202436醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù).由于三角函數(shù)都是周期函數(shù)，故對(duì)于值域的每個(gè)y值，與之對(duì)應(yīng)的x值有無(wú)窮多個(gè)，因此，在三角函數(shù)的整個(gè)定義域上，其反函數(shù)是不存在的,必須限制在三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上才能建立反三角函數(shù).1.基本初等函數(shù)4/12/202437醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)奇函數(shù)，單調(diào)增.（1）反正弦函數(shù)正弦函數(shù)

y

=sinx，在上單調(diào)增，定義域值域1.基本初等函數(shù)4/12/202438醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余弦函數(shù),單調(diào)減.（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù)

y

=cosx，在上單調(diào)減，其定義域值域1.基本初等函數(shù)4/12/202439醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)（3）反正切函數(shù)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正切函數(shù)，奇函數(shù)，單調(diào)增。正切函數(shù)

y

=tanx，在上單調(diào)增，其定義域值域1.基本初等函數(shù)4/12/202440醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)（4）反余切函數(shù)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余切函數(shù)單調(diào)減.余切函數(shù)

y

=cotx，在其定義域值域上單調(diào)減，1.基本初等函數(shù)4/12/202441醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)2.復(fù)合函數(shù)掌握：

復(fù)合?分解

f(u)稱為外函數(shù)，g(x)稱為內(nèi)函數(shù)，u稱為中間變量.4/12/202442醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)例（1）設(shè)則故與可以復(fù)合成復(fù)合函數(shù)：復(fù)合注兩個(gè)函數(shù)y=f(u)與u=g(x)可復(fù)合成復(fù)合函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)4/12/202443醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)注（2）設(shè)則故與不能復(fù)合成復(fù)合函數(shù).求兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，實(shí)際上就是將外函數(shù)表達(dá)式中的自變量用內(nèi)函數(shù)表達(dá)式來(lái)代替，從而得到復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式.4/12/202444醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)例

已知求

f(x－1),f(－x)解：已知外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，直接代入即可.4/12/202445醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)解：故有求f(x).令解得反函數(shù)為因?yàn)閺亩阎?/12/202446醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)解例4/12/202447醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)綜上所述4/12/202448醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)很重要，分解的關(guān)鍵是分解出來(lái)的簡(jiǎn)單函數(shù)都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算得到的函數(shù)(簡(jiǎn)單函數(shù)）．分解將下列復(fù)合函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)例#4/12/202449醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)3.初等函數(shù)由常數(shù)和五類基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算與有限次的復(fù)合所得到的且僅用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù).本書(shū)中討論的函數(shù)基本上都是初等函數(shù)．例如：注并非所有函數(shù)都是初等函數(shù).4/12/202450醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)1.1.6分段函數(shù)在定義域的不同部分內(nèi)用不同的解析式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。但這也不是絕對(duì)的，例如分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).4/12/202451醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)注用解析式表示函數(shù)，并不要求函數(shù)在整個(gè)集上，函數(shù)表達(dá)式不一樣.如例中的符號(hào)函數(shù)y=sgnx

這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).定義域D上有統(tǒng)一的解析表達(dá)式，在D不同子#4/12/202452醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)注2分段函數(shù)的解析式不只一個(gè)，但它是一個(gè)函數(shù)，其定義域是各段之并.

圖象分段就是分段函數(shù).分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段作出，但不要認(rèn)為#4/12/202453醫(yī)藥高等數(shù)學(xué)5.函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）單調(diào)性（2）奇偶性（3）周期性（4）有界性4/12/