2023屆上海市曹楊二中高三年級(jí)調(diào)研考試四數(shù)學(xué)試卷

2023屆上海市曹楊二中高三年級(jí)調(diào)研考試（四）數(shù)學(xué)試題試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知過(guò)點(diǎn)P（l,l）且與曲線），=1相切的直線的條數(shù)有（）.

A.0B.1C.2D.3

22

2.已知雙曲線C:=-4=l（“>0力>0）的右焦點(diǎn)為F,過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M

a'b-

點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）

A.75-1B.0C.y/3D.y[5

3.如圖，A4BC內(nèi)接于圓。，AB是圓。的直徑，DC=BE,DC//BE,DC人CB,DC人CA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-ABC體積的最大值為（）

4.已知片，乃是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的-一個(gè)公共點(diǎn)，且/耳設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分

別為et,e2,則6],e2的關(guān)系為（）

2+,=441,

y+2產(chǎn)2=4

134

c.-=4D.e；+3e，=4

5.如圖，在AABC中，點(diǎn)/，N分別為C4,CB的中點(diǎn)，若AB=y^,CB=\,且滿足3AG=CA?+CB?，

則AG-AC等于（）

W

A0

r-28

A.2B.J5C.-D.-

33

6.已知ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=O）O,BD=2DC,AE=EC,則（）

7.已知（1+x）"的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）.

A.2'2B.2"C.210D.29

8.已知當(dāng)m,nel-l,1）時(shí)，sin--sin—<n3-m3,則以下判斷正確的是（）

22

k.m>nB.Im|<|n\

C./?<?D.加與”的大小關(guān)系不確定

9.已知函數(shù)/（%）=-，4113了+。+。（。>0,XQ1<）的值域?yàn)閇-5,3],函數(shù)g（x）=8-coso￥,則g（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)

中心為（）

（k/r_Y,。（k兀兀A..

A.[5eZ）B.[+G，-5J（左eZ）

C.t-4卜eZ）D.仁+a_4）（壯與

10.已知集合4={-2,-1,0,1,2）,B={x\x2-4x-5<0},貝!JAM=（）

A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1,2}C.{-1,（）,1}D.{0,1,2}

11.在（1一為5+（1-幻6+（1-尤y+（i-x）8的展開(kāi)式中，含V的項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.74B.121C.-74D.-121

12.某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成

樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）

A.方差B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.平均數(shù)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x<3

13.若滿足<x+，22,則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最大值為.

14.展開(kāi)式中天3項(xiàng)系數(shù)為160,則。的值為.

15.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.，若S.3=6,S7=28,則a“=_____,冬口的最大值是_____.

3”+4

16.“直線九分+y+l=O與直線/2：4》+做+3=0平行”是％=2”的條件（填“充分不必要”、“必要不充

分”、"充分必要”或"既不充分又不必要

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)召開(kāi)期間，某校舉行了“冰上運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽”，為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中

隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題:

（1）求a、b、C的值及隨機(jī)抽取一考生其成績(jī)不低于70分的概率；

（2）若從成績(jī)較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識(shí)”志愿活動(dòng)，并指定2名負(fù)責(zé)人，求

從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.

組號(hào)分組頻數(shù)頻率

第1組[50,60)150.15

第2組[60,70)350.35

第3組[70,80]b0.20

第4組[80,90]20C

第5組[90,100)100.1

合計(jì)a1.00

18.（12分）如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=0,AF=1,M是線段EF的

中點(diǎn).

求證：（1）AM〃平面BDE；

(2)AM_L平面BDF.

（=2cosa

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系九0y'中，曲線C：＜.’為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

y=sma

極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為夕=-2sin氏

（1）求曲線G的普通方程和曲線的普通方程

（2）若P,Q分別為曲線G，G上的動(dòng)點(diǎn)，求IPQI的最大值.

20.（12分）語(yǔ)音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場(chǎng)上流行多種可實(shí)現(xiàn)語(yǔ)音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小愛(ài)同學(xué)，，智能音箱和阿里巴巴的，，天貓精靈，，智能音箱，它們可以通過(guò)語(yǔ)音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷(xiāo)商為了

了解不同智能音箱與其購(gòu)買(mǎi)者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”和100名購(gòu)買(mǎi)“天貓精

靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下:

“小愛(ài)同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)

男4560105

女554095

合計(jì)100100200

（1）若該地區(qū)共有13000人購(gòu)買(mǎi)了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買(mǎi)了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性

比購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性多多少人?

（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)?

n^ad-bcy

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)

P(K2>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系直刀中，有一個(gè)微型智能機(jī)器人（大小不計(jì)）只能沿著坐標(biāo)軸的正方向或負(fù)方向行進(jìn),

且每一步只能行進(jìn)1個(gè)單位長(zhǎng)度,例如：該機(jī)器人在點(diǎn)（1,0）處時(shí)，下一步可行進(jìn)到（2,0）、（0,0）、（1,1,）、（1,-1）這四

個(gè)點(diǎn)中的任一位置.記該機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)。出發(fā)、行進(jìn)〃步后落在）’軸上的不同走法的種數(shù)為L(zhǎng)（〃）.

（D分別求“I）、“2）、"3）的值；

（2）求L（〃）的表達(dá)式.

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，M為直線y=X-2上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作M拋物線C：V=y的兩條切線MA,MB,

切點(diǎn)分別為A,B,N為48的中點(diǎn).

（1）證明:軸；

（2）直線A3是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

設(shè)切點(diǎn)為（x°,y°）,則y°=x03,由于直線]經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)X。處

的切線斜率，建立關(guān)于X。的方程，從而可求方程.

【詳解】

若直線與曲線切于點(diǎn)（X。,y°）（x°w0）,則k==x/X。+1,

又=3x2,二丫卜=x（）=3X（/,2x：-x0-1=（）,解得x0=],x0

.??過(guò)點(diǎn)P（l,l）與曲線C:y=x，相切的直線方程為3x-y-2=0或3x—4y+l=0,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何

意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

設(shè)加3/），則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（幺|上《），代入雙曲線的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,

求出工的值，即可得答案.

a

【詳解】

22

雙曲線CJ-提=1（。>0力>0）的右頂點(diǎn)為A（a,0）,右焦點(diǎn)為F（C,O）,

crb~

M所在直線為x=。，不妨設(shè)M（a,。），

.?.M尸的中點(diǎn)坐標(biāo)為（彳,?）.代入方程可得（等）［3,

22----------------k=1

ab

=9,e2+—4=0>**?e=-s/5-1（負(fù)值舍去）.

4a24

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意

構(gòu)造dc的齊次方程.

3、B

【解析】

根據(jù)已知證明8E1平面A8C,只要設(shè)AC=x,則BC=J亡m（0<x<2）,從而可得體積

222

VE.ABC=|xj4-x=1^X（4-X）>利用基本不等式可得最大值?

【詳解】

因?yàn)镈C=BE,DCUBE,所以四邊形DCBE為平行四邊形.又因?yàn)镈C1CB,DC±CA,CBryCA^C,CB平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。C_L平面A8C,所以應(yīng)1平面ABC.在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

設(shè)4C=x,則BC=，4-X2（O<X<2>

所以S?BC=；AC-BC=；X?日f(shuō),所

I____I________/2,A_2Y

以％-A8c二巨=—V，又因?yàn)楦福?一%2）＜K+,當(dāng)且僅當(dāng)

66I2,

/（丫242、2

X2（4-X2）＜,即1=血時(shí)等號(hào)成立，

1

-

3-

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為X,

用建立體積K與邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

4、A

【解析】

歸耳|+|P聞=2%

設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得

\PF\-\PF^=2a2

PF=q+a

}2然后在△耳p心中，由余弦定理得:

PF2=a]-a2

a

（4+4）+（4-2）-2（芻+4）,（芻一4），cos等化簡(jiǎn)求解.

【詳解】

設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為出,雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

a2,

]P用+|P周=2%

由橢圓和雙曲線的定義得:

'\PF\-\PF^=2a2'

解得倒KU）設(shè)gm，/"—?

在△KPF2中，由余弦定理得：4c之=（4+a2）'+（a,-一2（q+a2）■-a2）?cos春，

化簡(jiǎn)得3a；+a；=4c2,

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

5、D

【解析】

選取布，前為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.

【詳解】

由題意G是AABC的重心，

2一———一1一一一1一一一

3AGMB=3x-AN(.-BM)=-2(BN-BA)--(<BC+BA)^(BA--BC)-(BC+BA)

-----212111

=——BC+-BABC^5——+-BABC

2222

CA+CB^(BA-BC)2+\^BA-2BABC+BC+l=^5-2BABC+l+\，

9|——.....——--____

：.-+-BABC=1—2BABC,而.正=1，

22

2-...............21--—————21——■>3———一，2138

AGAC=-ANAC--(-BC-BA)-(BC-BA)=-(-BC'--BCBA+BA)=-(一一2+5)=2，

3323223223

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這樣做目標(biāo)明

確，易于操作.

6、C

【解析】

以區(qū)4,8C為基底，將AO,BE用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.

【詳解】

22

BD=2DC,BD=-BC,AD=BD-BA=-BC-BA,

AE=EC,：.BE=gBC+gBA,

ADBE=(|BC-+|BA)

1211、2

=-BC——BCBA——BA

362

=1「——x2exe3xl—=—1.

622

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

7、D

【解析】

因?yàn)?1+x)"的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以C：=C，解得=10，

所以二項(xiàng)式(1+幻|°中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為:：.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和.

8,C

【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得：^/(x)=?+siny,xe[-l,l],求得可得/(x)為增函數(shù)，又陽(yáng)，ne,1）時(shí),

根據(jù)條件得/(加)</(〃)，即可得結(jié)果.

【詳解】

解：f\x)=x3+sin,xe[-1,1],

貝!If(x)=3x2+Tcos->0,

即/(x)=/+sin卷,xe[—1,1]為增函數(shù)，

?,,兀ni.兀n33

又m,n&[-\,1),sin----sin——<n-m,

22

■r.兀m3.3

即sin----\-m<sin---\-n,

22

所以/(加)</(〃)，

所以相<〃.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題.

9、B

【解析】

由值域?yàn)閇-5,3]確定a*的值，得g(x)=-5-cos4x,利用對(duì)稱(chēng)中心列方程求解即可

【詳解】

因?yàn)?(x)eg,2a+句，又依題意知/(x)的值域?yàn)閇-5,3],所以2。+8=3得a=4,b=T,

■jrK7E7T

所以g(x)=-5-cos4x,令4x=k/jkeZ),得x=*+J/eZ),則g(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為

248

(dT(ZeZ).

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，重點(diǎn)考查值域的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫(xiě)為0

10>D

【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合B,再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)榧?={-2,—1,0,1,2},8={w。-5)(》+1)<0}={刈-1<%<5}

.?.AnB={-2,-l,0,l,2}n{x|-l<x<5}={0,l,2},

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

根據(jù)(1—4+(17)6+(17)7+(17)8,利用通項(xiàng)公式得到含*3的項(xiàng)為：(爆++窩+。；)(一王)3,進(jìn)而得到

其系數(shù)，

【詳解】

因?yàn)樵?1—x)5+(1—x)6+(1—x)7+(1—x)8,

所以含V的項(xiàng)為:(管++雋)(一)3,

所以含V的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是-(圖+或+/+屐)，

=-(10+20+35+56)=-121,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，

12、A

【解析】

通過(guò)方差公式分析可知方差沒(méi)有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.

【詳解】

由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.

本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了5（）,所以（斗-￡）2沒(méi)有改變，

1__

根據(jù)方差公式S2=3（X「X）2++（4-》）2］可知方差不變.

O

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答

案.

【詳解】

x<3

由約束條件，x+y22作出可行域如圖，

y<x

化目標(biāo)函數(shù)z=y—2x為y=2x+z,

由圖可得，當(dāng)直線y=2x+z過(guò)點(diǎn)3時(shí)，直線在>軸上的截距最大,

x+y=2Ix=1/、

由《?得〈，即8(1,1),貝!|z有最大值z(mì)=l—2=—l,

[x=y[y=l

故答案為-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”:

(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線)；(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的

目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解)；(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.

14、-2

【解析】

表示該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第項(xiàng)，令其指數(shù)為3,再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.

【詳解】

該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第什1項(xiàng)為.+]=笳(ax2=(-lf-心-「笳-產(chǎn)-3廠

令12—3“3=r=3,所以。=(一1)3.a6-3cl-x12-3x3=-20a3%3，貝!J一20a3=160=a=-2

故答案為：-2

【點(diǎn)睛】

本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.

I

15、n-

7

【解析】

利用等差數(shù)列前“項(xiàng)和公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

a.+aa,+a

式，可求出」廠n的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出」廠n的最大值.

*\+4

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛a,J的公差為d,貝!I;」c-“，解得,，

0=7q+21d=28[d=l

所以，數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式為%=q+(〃—l)d=〃；

d_〃(6+%)_〃(〃+1)/+?“=2(1+”)

S'=一^~1S“+4一(〃+5)(〃+4)‘

4+_2t_2

令，=〃+l,貝！R22且/eN,s…—(r+4)1+3)——12+7,

t

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=t+p+7在fe(0,26)時(shí)單調(diào)遞減，在/e(26,+8)時(shí)單調(diào)遞增，

a.+a1

當(dāng)f=3或4時(shí)，氣口取n得最大值為一.

S〃=47

故答案為：〃；—.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16、必要不充分

【解析】

先求解直線6與直線平行的等價(jià)條件，然后進(jìn)行判斷.

【詳解】

“直線A：以+y+l=O與直線，2：4%+歐+3=0平行”等價(jià)于。=±2,

故“直線人依+丁+1=0與直線/2：4x+ay+3=0平行”是％=2"的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

7

17、(1)。=100,。=20,c=0.20,口=0.5；(2)—

10

【解析】

(1)根據(jù)第1組的頻數(shù)和頻率求出。，根據(jù)頻數(shù)、頻率、。的關(guān)系分別求出4c,進(jìn)而求出不低于70分的概率；

(2)由(1)得c=0.20,根據(jù)分層抽樣原則，分別從3,4,5抽出2人，2人，1人，并按照所在組對(duì)抽出的5人編號(hào),

列出所有2名負(fù)責(zé)人的抽取方法，得出第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的抽法數(shù)，由古典概型概率公式，即

可求解.

【詳解】

152

(1)a=---=100,Z?=l(X)xO.2O=2O,c=----=0.20,

0.15100

由頻率分布表可得成績(jī)不低于70分的概率約為：

p=0.20+0.20+0.10=0.5

(2)因?yàn)榈?、4、5組共有50名學(xué)生，

所以利用分層抽樣在50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，每組分別為：

202020

第3組：乂5=2人，第4組：，x5=2人，第5組：，x5=l人，

505050

所以第3、4、5組分別抽取2人，2人，1人

設(shè)第3組的3位同學(xué)為Al、A2,第4組的2位同學(xué)為用、B2,

第5組的1位同學(xué)為C1,則從五位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有10種可能抽法如下:

(A1,A2),(Al,51),(Al,32),(Al,Cl),(A2,B1),(A2,B2),

（A2,C1）,（B1,B2）,（Bl,Cl）,（52,Cl）,

其中第4組的2位同學(xué)Bl、B2至少有一位同學(xué)是負(fù)責(zé)人有7種抽法,

7

故所求的概率為歷.

【點(diǎn)睛】

本題考查補(bǔ)全頻率分布表、古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACCBD=N,連結(jié)NE.

孝，冬（）］,E（0,0,1）,A（V2.0，0），MfV272.

則N

2'2'

:.NE=AM且NE與AM不共線..,.NE〃AM.

VNEu平面BDE,AMcZYffiBDE,.,.AM〃平面BDE.

⑵由⑴知AM=c,A,I

VD（V2?0,0）,F（V2，后，1），ADF=（0.近,1）,

AM-DF'AMJIDF.同理AMJ_BF.又DFPBF=F,.\AM_L平面BDF.

19、(1)—+/=1,x2+(y+l)2=1；(2)逑+1

43

【解析】

試題分析：(1)由si^e+cos2a=1消去參數(shù)a,可得G的普通方程，由/+；/=P2,丁=0sin?？傻肎的普通

方程；

⑵設(shè)P(2cosa,sina)為曲線G上一點(diǎn)，點(diǎn)P到曲線Q的圓心(0,-1)的距離d=＞卜ina—J+與，結(jié)合

since]—1』可得最值，|PQ|的最大值為4+「，從而得解.

試題解析：

2

(1)G的普通方程為3r+：/=1.

?；曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=-2sin。，

二曲線G的普通方程為爐+V=_2y,即f+(y+ip=].

(2)設(shè)P(2cosa,sina)為曲線G上一點(diǎn)，

則點(diǎn)P到曲線G的圓心(。,一1)的距離

d=^4cos2a+(sina+1)2=J-3sin2a+2sins+5=J-3卜ina-+-^■

.,.當(dāng)sina=；時(shí)，d有最大值35.

又；P,Q分別為曲線G，曲線G上動(dòng)點(diǎn)，

???儼。|的最大值為〃+r=半+1.

20、(1)多2350人；(2)有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【解析】

(D根據(jù)題意，知100人中購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性有40人，即可估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買(mǎi)“小

愛(ài)同學(xué)”的女性人數(shù)和購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈''的女性的人數(shù)，即可求得答案；

(2)根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出K?，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)由題可知，100人中購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性有55人，購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性有40人，

由于地區(qū)共有13000人購(gòu)買(mǎi)了“小愛(ài)同學(xué)”，有12000人購(gòu)買(mǎi)了“天貓精靈”，

估計(jì)購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性有喘?x55=7150人.

估計(jì)購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈'’的女性有"吧x40=4800人.

100

則7150—4800=2350,

...估計(jì)該地區(qū)購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”的女性比購(gòu)買(mǎi)“天貓精靈”的女性多2350人.

2

⑵由題可知，^=200X(45X40-60X55)=45II>384I>

105x95x100x100

.?.有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)“小愛(ài)同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

21、(1)"1)=2,"2)=6,"3)=20,(2)L(n)=C；,

【解析】

(1)根據(jù)機(jī)器人的進(jìn)行規(guī)律可確定L(l)、L(2)、”3)的值；

(2)首先根據(jù)機(jī)器人行進(jìn)規(guī)則知機(jī)器人沿x軸行進(jìn)，〃步，必須沿x軸負(fù)方向行進(jìn)相同的步數(shù)，而余下的每一步行進(jìn)方向

都有兩個(gè)選擇(向上或向下)，由此結(jié)合組合知識(shí)確定機(jī)器人的每一種走法關(guān)于人〃的表達(dá)式,并得到L(")的表達(dá)式，然

后結(jié)合二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

【詳解】

解：⑴"1)=2

"2)=6,

"3)=20,

(2)設(shè)，〃為沿x軸正方向走的步數(shù)(每一步長(zhǎng)度為1)，則反方向也需要走加步才能回到)'軸上，所以

0,1,2，……,|,(其中［為不超過(guò)g的最大整數(shù))

總共走〃步，首先任選步沿x軸正方向走，再在剩下的n-m步中選，〃步沿x