2023-2024學(xué)年上海市高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試題5

2023-2024學(xué)年上海市高一上冊期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.若一個暴函數(shù)的圖像過點(27,3),則該函數(shù)的表達式為.

【正確答案】y=j

【分析】設(shè)暴函數(shù)為y=代入點的坐標即可求出結(jié)果.

1I

【詳解】設(shè)嘉函數(shù)為則27a=3,即a=g,所以該函數(shù)的表達式為產(chǎn)，

3J

1

故答案為.丫=/

y入

2.終邊在直線y=x上的角a構(gòu)成的集合可以表示為.

7T

【正確答案】a=k冗吟、keZ

4

【分析】寫出終邊落在直線y=x上且在第一、三象限的角的集合，即可得到結(jié)果.

【詳解】???角a的終邊在直線y=x上，

；?角a的終邊在一、三象限的角平分線上，

JI

/.a=k7r+—,keZ.

4

^\a\a=kn+^,k&Z^.

3.化簡：sin(a+0)cosa-cos(a+0)sina=.

【正確答案】sin/7

【分析】根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)的公式，化簡運算，即可求解.

【詳解】由題意，根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)的公式，

nJsin(a+(3)cosa-cos(?+(3)sina=sin[(cr+P)-a]=sin￡.

故答案為sin夕.

本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)的公式的化簡、運算，其中解答中熟記兩角和與差的三角

恒等變換的公式是簡單的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知56"=14,試用〃表示log756為.

2

【正確答案】---

【分析】指對互化可得。，由換底公式可得log?2,由log756=l+31og,2可得答案.

,一log,14log72+1l-a

【詳解】因為56"=14,所以4=1*5614=7^=07,可得kg2=產(chǎn)

log,56310g72+173i/-l

1一〃2

log56=log（7x8）=l+31og2=l+3x-------=--------.

7773〃-13a-1

2

故答案為引

5.函數(shù)y=lg(mf-4jnr+m+3)的定義域為R,則實數(shù)機的取值范圍是

【正確答案】［0,1)

【分析】由條件可得對VxeR都有,加2-4,我+機+3>0,然后分，"=0、，"呈0兩種情況討

論求解即可.

【詳解】因為函數(shù)y=愴(爾2-4爾+〃?+3)的定義域為R,

所以對VxwR都有mx2-4/nr+6+3>0,

當(dāng)m=0時成立，

當(dāng)時有《=16>_4，”(加+3)<0'解得0<加<1,

綜上可得OW/MVl,

故［0,1)

6.若扇形的周長為16,問當(dāng)圓心角為時，扇形面積最大？

【正確答案】2

【分析】設(shè)該扇形的弧長為/、半徑為R、圓心角為a,根據(jù)條件可將S表示成關(guān)于R的二

次函數(shù)，由此可得答案.

【詳解】設(shè)該扇形的弧長為/、半徑為R、圓心角為a,

因為扇形的周長為16,所以/+2/?=16,

所以S=；//?=g(16_2R)R=_R2+8R,

所以當(dāng)R=4時S最大，此時/=8,a=q=2,

故2.

7.已知角a的終邊上一點P(-4a,3a),a^Q,則3sinar+cosa的值為.

【正確答案】±1

【分析】利用三角函數(shù)的定義，求得正弦值與余弦值，可得答案.

【詳解】由角a的終邊上一點尸(T。,3a),則

.3a3-4a4

當(dāng)。>0時，sma~I~~,cosa=i==~~即3sinc+cosa=l；

J1669+9/5y/16a27+9a259

.3a3-4a4

當(dāng)a<0時，sina-i-=-~~,cosa=.==—,即3sina+cosa=-l.

116/+9/5J16/+9q25

故答案為.±1

8.奇函數(shù)“X)在(r&0)上是嚴格減函數(shù)，且/(-3)=0,則x-/(x)<0的解集是.

【正確答案】(7,-3)(3,物)

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案.

【詳解】由奇函數(shù)“X)在(-8,0)上是嚴格減函數(shù)，則“X)在(0,+8)上是嚴格減函數(shù)，

由〃-3)=(),則奇函數(shù)"3)=0,且當(dāng)3)5。，3)時,/(x)>0,當(dāng)

xe(-3,0)53,+60)時，/(x)<0,

即不等式“X)<0的解集為(Y,-3).(3,依).

故(YO,-3)(3,+OO)

9.在區(qū)間；,2上，函數(shù)〃司=9+笈+c(b,ceR)與g(x)=t±W在同一個點取得相同

的最小值，那么/(X)在區(qū)間；，2上的最大值為.

【正確答案】4

【分析】將g(X)化簡得g(X)=X+g+l,運用均值不等式得g(xL=g⑴，所以

/(力*=/(1)，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得f(x)的解析式，再求出了(X)的最大值，得解.

【詳解】由屋力=/丁1=_+-+122氏+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，得

g(%=g6=3，

b.

--=1

/、42f[b=-2

于是/(x)也在x=l處取得最小值3,則]〃[)=3,解得gc=4，即

/(X)=X2-2X+4=(X-1)2+3,

所以〃x)在區(qū)間g，2上的最大值為f(2)=4.

故填：4.

本題考查雙勾函數(shù)和二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵在將雙勾函數(shù)g（x）化簡運用均值不等式求

最值和二次函數(shù)運用配方法求最值，屬于中檔題.

10.已知A6C的外接圓半徑是2,c=2y［3,A=f,邊長匕=_____.

6

【正確答案】2或4##4或2

【分析】先利用正弦定理求出。，再利用余弦定理列方程可求出從

【詳解】因為的外接圓半徑是2,A=9，

所以由正弦定理得a=2Rsin4=2x2sin匹=2,

6

由余弦定理得/=〃2+C2-2）CCOSA，

4=〃+12-4&x立，化簡得〃-6b+8=0,

2

解得6=2或方=4,

故2或4

二、單選題

11.下列命題中真命題是（）

A.第一象限的角為銳角B.鈍角是第二象限的角

C.小于］的角是銳角D.終邊在x軸負半軸上的角既是第二象限角

又是第三象限角

【正確答案】B

【分析】根據(jù)象限角和銳角和鈍角的定義判斷依次判斷各選項即可.

【詳解】對于選項A,若。=t，則a為第一象限角，但。不是銳角，A錯誤；

對于選項B,若尸為鈍角，則］＜夕＜明所以夕為第二象限角，B正確；

對于選項C,若/=一兀，則/＜曰，但/不是銳角，C錯誤；

對于選項D,終邊在x軸負半軸上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D錯誤；

故選：B.

12.關(guān)于某函數(shù)y=Y及其圖象，有下列四個命題：其中正確的命題個數(shù)是（）

①其圖象一定不通過第四象限；②當(dāng)%>0時，函數(shù)y=f是增函數(shù);

③當(dāng)％<0時，其圖象關(guān)于直線y=x對稱；④)，=/的圖象與丫=廠人的圖象至少有兩個交點.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【正確答案】B

【分析】利用基函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，舉例可判斷②③④.

【詳解】對于①，因為x>0時，幕函數(shù)y=f>0,所以其圖象一定不通過第四象限，故正

確；

對于②，當(dāng)％>0時，如％=2時，y=d在xeR上不是增函數(shù)，故錯誤；

對于③，當(dāng)％<0時，如女=一3時，y=4在其圖象不關(guān)于直線y=x對稱，故錯誤；

X

對于④，當(dāng)％=g時，？=?與>=如聯(lián)立解得x=l,y=l,其圖象交點為(1,1),

只有1個交點，故錯誤.

故選：B.

13.在AA5C中，“sinA>sin8”是“力>6”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【詳解】試題分析：由正弦定理三二二二上，得sinA=f,sinB=9,由sinA>sinB得

sinAsmBkk

即由大邊對大角得/>6；當(dāng)/>6得。>b,即/>9，由正弦定理得

kkkk

sinA>sinB,因此“sinA>sinB”是“4>6”的充要條件,故答案為C.

1、正弦定理的應(yīng)用；2、充要條件的判斷.

14.已知函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)=/(x>g(x)的圖象可能

是()

【正確答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合y=〃x).g(x)在定義域上的函數(shù)值的正負即可判斷.

【詳解】由圖知，y=/(x)的定義域為(―，+8),y=g(x)的定義域為(y,O)U(O,田)，

令/(x)=0時，X=X1或X=X”且又］<0<々，

設(shè)〃(x)=/(x),g(x),則函數(shù)網(wǎng)力的定義域為(e,O)U(O,M),關(guān)于原點對稱，

因為y=f(X)為偶函數(shù)，y=g(x)為奇函數(shù)，所以〃r)=/(x),g(T)=-g(x),

貝|J/i(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),

所以函數(shù)〃(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，

對于選項A,因為Mx)=/(x)-g(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故A錯誤；

對于選項B,因為〃(x)=/(x>g(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故B錯誤；

對于選項C當(dāng)xw(x，O)時,/(x)<0,g(x)<0,所以“x).g(x)>0,故C錯誤；

對于選項D,由圖知，當(dāng)xe(-oo,xj時，/(x>g(x)<0,當(dāng)xe(X|,O)時，/(x)-g(x)>0,

結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可得XG(O,~)時的圖象，故D正確.

故選：D.

三、解答題

15.設(shè)集合4=卜卜-4<2},8=姜？<1

(1)若Au3=3,求實數(shù)。的取值范圍.

(2)若Ac8=0,求實數(shù)”的取值范圍.

【正確答案】⑴[0,1]

(2)(^?,-4]u[5,+oo)

【分析】(1)先求出集合AB,再由=得AqB,從而可求出實數(shù)。的取值范圍;

(2)由AcB=0,列出關(guān)于。的不等式，從而可求出實數(shù)〃的取值范圍.

[詳解】(1)4={小_同<2}=詞"2cxea+2},

2x-\

B=\x\l[={x|-2<x<3},B=x|-2<x<3}

x+2x+2

因為=所以AqB,

a-2>-2

所以解得0<<1,

a+2<3

所以實數(shù)。的取值范圍為[0』]；

(2)因為Ac8=0,

所以。+2W-2或a-2N3,

解得a<-4或Q之5,

所以實數(shù)。的取值范圍為(e,-4]35,M)

16.己知5由(：一%)=^^0<]<;).

(1)求：cos[1+x)的值；

⑵求sin2x的值.

【正確答案】(1)立

3

⑵2

9

【分析】(1)由誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.

(2)由差角公式、完全平方公式可得結(jié)果.

[詳解】(1)cos(—+x)=cosx)]=sin(--x)=

42443

/.cos(￡+x)的值為變.

43

(2),:sin(--x)=sin—cosx-cos—sinx=(cosx-sinx)

44423

.2

..cosx-sinx=一

3

又(cosx-sinjf)2=cos2x+sin2x-2sinxcosx=l-sin2x=—

..sin2x=—

9

17.某居民小區(qū)的自來水蓄水池足夠大，現(xiàn)存有40噸水，水廠每小時可向蓄水池中注入8

噸水，同時蓄水池又向居民不間斷地供水，x小時的供水總量為324噸(04x424).

(1)設(shè)蓄水池中的水量y=/(x),當(dāng)x為何值，蓄水池中的水量最小，最小水量是多少？

(2)若蓄水池中水量少于10噸時，就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，試問在24小時內(nèi)，有多少小時

會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象？

【正確答案】(1)當(dāng)*=4時，蓄水池中水量最小，最小水量為8噸；

(2)4小吐

【分析】(1)由題意得到了(x)的解析式，然后可得答案；

(2)解出不等式〃x)<10可得答案.

【詳解】(1)由題意可得/(x)=40+8x-32或=8(。-2)+8(04x424),

所以當(dāng)6=2,即x=4時，蓄水池中水量最小，為8噸.

(2)由40+8x-32&<10可得8x-32五+30<0,(2?-3乂4五-10)<0

,35925259.

所rci.以r二，BBnP—<,—-----=4；