2023-2024學(xué)年北京市高二年級上冊期末練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年北京市高二上冊期末練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若向量2=(1,l,0),?=(-l,0,2),則,+0=()

A.√5B.4C.5D.√Γ7

【正確答案】A

【分析】由空間向量坐標(biāo)的加減運算，和模長公式計算即可.

【詳解】由題意，得α+8=(0,l,2),

.?.∣α+?∣=?/θ2+12+22=√5.

故選：A.

2.已知點A(l,()),直線/：x-y+3=0,則點A到直線/的距離為()

A.1B.2C.y∣2D.2√2

【正確答案】D

【分析】利用點到直線的距離公式計算即可.

【詳解】已知點41,0),直線/"-y+3=0,則點A到直線/的距離=2夜,

√12+12

故選.D

3.若直線y=x+%是圓/+y2+2y=0的一條對稱軸，則用的值為()

A.—B.—1C.2D.1

2

【正確答案】B

【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于〃?的方程，解之即可求得小的值

【詳解】圓V+y2+2y=0的圓心坐標(biāo)為(0,—1),

又直線y=x+帆是圓f+>2+2y=0的一條對稱軸，

則圓心(。,一1)在直線y=χ+Μ上，則一1=0+∕π,則m=-l

故選：B

22

4.已知橢圓γ+%=ιe>o）的離心率為貝m=（）

A.√2B.√3C.2D.3

【正確答案】B

Y—力2

【分析】由/=幺3即可求解.

a-

2222

【詳解】橢圓的離心率滿足C?=￡

tz-?_4-?_≡,即可解得力=√5e>o）.

β2-4-B

a

故選：B

5.如圖，在直三棱柱48C-ABe中，若4A=1,AB=AC=叵,BlCI=2,則異面直線

AC與4G所成的角的余弦值為（）

C√3D考

Vz.----

3

【正確答案】C

【分析】因為5C〃BC,所以NACB或其補角為異面直線AC與4G所成的角，連接A1,

根據(jù)余弦定理即可求得答案.

如圖，連接AB,則AB=+(0)2=5AC=Jl2+(02=GBC=2,

因為4G//BC,所以NACB或其補角為異面直線A1C與BC所成的角,

AC2+BC2-AB23+4-3√3

cos/ACB=ti

2A,CBC2×√3×2^3

則異面直線AC與Be所成的角的余弦值為

故選：C.

6.已知拋物線丁=8》的焦點為凡準(zhǔn)線為/,點P在拋物線上，PQL/于點Q.若APQF

是銳角三角形，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是()

A.(0,1)B.(l,"o)C.(0,2)D.(2,+∞)

【正確答案】D

【分析】在X軸上取點A(4,0),推導(dǎo)出Z4"為銳角，設(shè)點P(X,y),可得出E4?FP>0,

可求得X的范圍.

在X軸上取點A(4,0),由拋物線的定義可得IPQl=IPΛj,則NpFQ=/PQE,

由于4P0尸為銳角三角形，則NFP0為銳角，

由已知可得PQ〃X軸，所以NAFP=NFPQ,則ZAEP為銳角，

焦點方(2,0),設(shè)點P(x,y),則網(wǎng)=(2,0),FP=(x-2,y),

則E4?FP=2(x-2)>0,解得x>2,

因此，點尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是(2,+8).

故選：D.

7.設(shè)直線4的方向向量為1(l,ɑ),4的法向量為；=(4T,2),則=2”是U”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【正確答案】A

【分析】因為4所以α=2或α=T,再利用充分必要條件的定義判斷得解.

【詳解】解:因為“d，所以4x(—=-1.?,?a2-a-2=0,.'.(a—2)(α+l)=O,

所以a=2或a=—1.

當(dāng)a=2時，…成立,所以“a=2"是”的充分條件;

當(dāng)/-4時，a=2不一定成立，所以“a=2”是“41。的非必要條件.

所以“a=2”是“，//的充分不必要條件.

故選：A

8.設(shè)A是圓U(x+lf+y2=9上的動點，E4是圓的切線,且照=4,則點P到點Q(8,θ)距

離的最小值為()

A.15B.6C.5D.4

【正確答案】D

【分析】本題首先可根據(jù)題意得出伊。=5,則點P的軌跡方程為(χ+lf+∕=25,然后用圓

心到點Q(8,0)的距離減去半徑即可得出結(jié)果.

【詳解】解：由圓的方程(x+iy+y2=9,易知圓心C(—1,0),半徑為3,

因為PA是圓的切線，且∣P4∣=4,

所以Ipcf=IpAl2+32=25,IpCI=5,

所以，點戶的軌跡方程為(χ+ip+y2=25,

點尸到點。(8,0)距離的最小值為J(8+1)?+0-5=4,

故選：D.

9.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸

的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為64的

矩形ABa>截某圓錐得到橢圓r,且T與矩形A8C3的四邊相切.設(shè)橢圓r在平面直角坐標(biāo)

22

系中的方程為芯+方=l(a>6>0),下列選項中滿足題意的方程為()

A.Xb??+τ=1

6416

22

C.工+匕=D-?4=1

25616

【正確答案】B

【分析】由題意可得到對于橢圓有曲=16成立，由此一一驗證各選項是否滿足，即得答案.

【詳解】???用面積為64的矩形AHC。截某圓錐得到橢圓L且7與矩形ABCD的四邊相切,

.*.4ab=64,即H?=16,

對于A,—+—=\Λ=8,b=4,不滿足出?=16,故A錯誤；

6416

對于B,—+?=1,a=8,?=2,滿足a>b>0,ub=16,故B正確;

644

22

對于C,三一+匕=1,O=16,b=4,不滿足必=16,故C錯誤；

25616

22

對于D,—+?-=1,a=8,h=4?∣2不滿足=故D錯誤.

6432

故選：B.

10.在等比數(shù)列｛%｝中,at=-9,%=T記北=W36…%ι(〃=1，2,…).則數(shù)列｛4｝

()

A.有最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項D.無最大項，無最小項

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意易求得等比數(shù)列幾｝的公比4,設(shè)數(shù)列也,｝為等比數(shù)列｛為｝的奇數(shù)項

al,a3,a5,...,a2n,l(?=1,2,...),則數(shù)列也｝是以外為首項，為公比的等比數(shù)列，再分

奇偶討論數(shù)列｛1｝的項，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為9,

則,F4=J所以d=；,

ɑl-×?

設(shè)數(shù)列也｝為等比數(shù)列｛叫的奇數(shù)項4，如為，…(〃=1，2,...),

則數(shù)列｛d｝是以-9為首項，；為公比的等比數(shù)列，

則a=-9χ(g)=-

所以<=aΛa5???a2,,-l=h,h2b3hn，

當(dāng)“≥4時，聞<1,當(dāng)1≤n≤3時，∣M≥1,

當(dāng)”為奇數(shù)時，Tn<0,因為&=-1,

所以<≥4=-27,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，Tn>0,因為a=-1,

所以(≤(=27,

綜上所述，數(shù)列｛1｝有最大項4=27和最小項7；=-27.

故選：A.

II.在正方體ABCO-ABCA中，點P在正方形BCe百內(nèi)，且不在棱上，則()

A.在正方形DCG。內(nèi)一定存在一點。，使得「?！ˋC

B.在正方形。CGR內(nèi)一定存在一點Q,使得尸Q_LAC

C.在正方形。CG。內(nèi)一定存在一點Q,使得平面PQG〃平面ABC

D.在正方形。CGR內(nèi)一定存在一點。，使得ACL平面PQG

【正確答案】B

【分析】對于A,通過作輔助線，利用平行的性質(zhì)，推出矛盾，可判斷A;對于B,找到特

殊點，說明在正方形。CCQ內(nèi)一定存在一點。，使得尸QLAC,判斷B;利用面面平行的性

質(zhì)推出矛盾，判斷C;利用線面垂直的性質(zhì)定理推出矛盾，判斷D.

【詳解】A、假設(shè)在正方形OCG"內(nèi)一定存在一點Q，使得PQ〃AC，

作，垂足分別為E,F,連接Ei,則PEF。為矩形，且所與AC相交,

故PQ〃EF,由于P0/AC,則AC〃所，這與AC,E尸相交矛盾，故A錯誤；

B、假設(shè)尸為正方形BCCg的中心，。為正方形QCGR的中心，

作P”，BC,QG_L8,垂足分別為4,G,連接”,G,則尸”GQ為矩形，

則PQ〃//G,且”,G為8C,8的中點，連接GH,BD,

則Gb〃B。,因為AClBf），所以G〃LAC,即PQLAC,故B正確;

C、在正方形OCClA內(nèi)一定存在一點。，使得平面PQG〃平面ABC,

由于平面ABCC平面QCCQ=C，平面PQG平面。CGR=G。,

故Cr>〃G。，而60〃c。，則Q在GA上，這與題意矛盾，C錯誤;

D、假設(shè)在正方形OCGR內(nèi)一定存在一點。，使得AC，平面P0G，

GQU平面PQG,則AC，G。，

又CG，平面ABCZZACi平面43C。，故GCJ.AC,

而CCCIQ=CI，CC,GQu平面。CGR,故ACJ_平面OCGR,

由于AD，平面。CGR,故c,￡>重合，與題意不符，故D錯誤，

故選：B

22

12.已知片，F(xiàn)?分別橢圓a+方=l（">人>0）的左右焦點，尸為橢圓上一點，滿足

ZPΛΛ=∣）線段W交y軸于點Q，若IQ同=缶，則橢圓的離心率是（）

A.?B.也C.匕在D.應(yīng)7

223

【正確答案】D

【分析】由題意得Pg垂直于X軸，OQ"PQ。為P耳的中點，利用直角三角形斜邊上中

h1

線等于斜邊的一半，結(jié)合橢圓的方程可得IPEI="，由勾股定理和離心率公式，計算可得

a

答案.

【詳解】由題意可得PF?垂直于X軸，。。〃P8，

因為。為耳招的中點，則。為PE的中點，可得IPG=2∣QG∣=2√Σc,

由X=C可得鼻+當(dāng)_=[,JjIlIy=+?/][—￡_.=±—,BP?^∣PF2|=—?

（2h-?a2aa

在直角三角形尸耳尸2中，可得I丹;I2=IF+|時F,

A4

即有8C2=4+4C0可得。2=2訛，即/+2〃c—∕=o,

CT

由e=—可得，/+2e-l=0,解得e=0-l或6=-夜-1（舍去）,

a

故選：D.

13.一些二次曲面常常用于現(xiàn)代建筑的設(shè)計中，常用的二次曲面有球面、橢球面、單葉雙曲

V2?2公

面和雙曲拋物面、比如，中心在原點的橢球面的方程為/+%+∕=l（α>O*>O,c>O）,

中國國家大劇院就用到了橢球面的形狀（如圖1）,若某建筑準(zhǔn)備采用半橢球面設(shè)計（如圖2）,

半橢球面方程為]+[+z2=l（z≥0）,該建筑設(shè)計圖紙的比例（長度比）為1：50（單位:

m）,則該建筑的占地面積為（）

A.l(X?m2B.5000萬m2C.8000Λ-∏I2D.10000^?m2

【正確答案】B

【分析】令z=0,得到XOy平面上的曲線方程為/+丁=2,為一個圓，求出面積即可求解.

【詳解】解析：求占地面積即求半橢球面的底面積，

所以，至IJXQy平面上的曲線方程為V+=2,為一個圓，

所以，該半橢球面的底面是一個半徑為灰的圓，

因為該建筑設(shè)計圖紙的比例（長度比）為1：50（單位：m）

所以，建筑時選的半徑為夜x50=500米，

所以，建筑的占地面積為nx（50√2）2=50007平方米.

故選：B

二、填空題

14.已知a=（x,|,3）,b=（-l,y,2）,若α與b共線，則.

【正確答案】2.5

【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示得出x-N的值.

x=-λ

335

【詳解】解：因為〃與b共線，所以〃即5=-左八解得x=-],y=ι,則元一y=—].

3=2λ

M5

故一].

15.在公差為d的等差數(shù)列｛q｝中，‰=35,1則3等于.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】由SH)=得IO"+等d=3(5q+等，nq=3d,所以號=3.

故3.

16.設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為/,P為拋物線上一點，PALI,A為垂足.若直

線AF的斜率為-石，則IPFl=.

【正確答案】4

【分析】設(shè)準(zhǔn)線與X軸焦點為8,可得8的坐標(biāo)為(TO),忸H=2,

由直線AF斜率為-石，可得NAF3=60°,結(jié)合拋物線的定義，

可得ARA尸是等邊三角形，即可得答案.

【詳解】如圖

由拋物線方程為V=4x,可得其焦點為F(l,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

設(shè)準(zhǔn)線與X軸焦點為B,則B的坐標(biāo)為(TO),?BF?=2

由直線AF斜率為-石，所以NAF8=60°,可得∣4F∣=?忸。=4,

cos60

因為A尸〃X軸，所以NPAF=ZAFB=60°,又由拋物線的定義有IM=IP尸|,

所以△%產(chǎn)是等邊三角形，故IRAl=IP尸I=4,

故答案為?4

17.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符

號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.平面直角坐標(biāo)系中，

曲線C：χ2+y2=2k∣+2∣y∣(V+y2≠())就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下

結(jié)論：

①曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸和直線y=±A?均對稱：

②曲線C恰好經(jīng)過4個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；

③曲線C圍成的圖形的面積是4+4乃；

④曲線C上的任意兩點間的距離不超過4；

⑤若P(，％〃)是曲線C上任意一點，則∣m+"-6|的最小值是2.

其中正確的結(jié)論序號是.

【正確答案】①⑤

【分析】對絕對值里面的χ,y進行分類討論，去掉絕對值，從而可作出曲線c.

根據(jù)曲線C是四個半徑為四的半圓圍成的圖形，由圖即可判斷①；

曲線C恰好經(jīng)過8個整點(-2,0),(2,0),(0,-2),(0,2),(2,2),(2,-2),(-2,2),(-2,-2)即可判斷

②；

曲線C所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為2&的正方形的面積之和，即可判斷③；

由圖可知，曲線C上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即可

判斷④;

∣∕n+n-6∣

因為P(m,〃)至IJ直線X+y—6=0的距離為d=~1Γ~，所以∣∕n+"-6∣=夜d,轉(zhuǎn)化為圓上

的點到直線的距離最小的問題，求解即可判斷⑤.

【詳解】由于/+y2=2∣x∣+2∣y∣,則

當(dāng)x≥0,y≥0時，曲線C的方程可化為V+y2=2x+2y,化簡得(X-I):+(y-lf=2,表示

圓心為(1,1),半徑為夜的半圓；

當(dāng)X≥O,y<O時，曲線C的方程可化為/+y2=2χ-2y,化簡得(X-I)2+(y+1)2=2,表示

圓心為(1,-1),半徑為行的半圓；

當(dāng)x<0,y≥0時，曲線C的方程可化為V+y2=-2χ+2y,化簡得。+1尸+(y-l)?=2,表

示圓心為(-1,1),半徑為0的半圓；

當(dāng)x<0,y<0時，曲線C的方程可化為χ2+y=-2χ-2y,化簡得(x+l∕+(y+l)?=2,表

示圓心為(T,T),半徑為正的半圓.

作出曲線c：f+y2=2∣χ∣+2∣y∣如圖所示：曲線C是四個半徑為正的半圓圍成的圖形，

由圖易知曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸和直線y=±χ均對稱，故①正確;

曲線C恰好經(jīng)過8個整點(-2,0MZO),(0,-2),(0,2),(Z2),(2,-2),(—2,2),(-2)—2),故②錯

誤；

曲線C所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為2及的正方形的面積之和，從而曲線C所

圍成圖形的面積為4x1x(√∑)2+(2拒)2=8+4兀，故③錯誤；

由圖可知，曲線C上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即

√2×2+2√2=4√2，故④錯誤；

因為P(〃?,〃)到直線x+y-6=0的距離為d=寫W="言?,所以+6∣=0d,

當(dāng)&最小時，易知尸(〃?,〃)在曲線C的第一象限內(nèi)的圖象上，

因為曲線C的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為(1,1),半徑為r=√∑的半圓,

|1+1-6|_4

圓心(1,1)到x+y-6=0的距離4==2近,

√12+12

從而4而=4一r=拒，即I機+〃一6LtI=0x0=2,故⑤正確.

故①

18.己知等比數(shù)列｛qj的公比4=且則使4+生+…+4,>L+L+----成立的

24cι2atl

正整數(shù)〃的最大值為.

【正確答案】8

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項代入等式化簡得4=16,再分別求出數(shù)列｛q｝和的前〃項

的和，代入不等式即可求出〃的范圍，則得到其最大值.

【詳解】解：因為等比數(shù)列｛%｝的公比4=；,且

所以(402=4g6,整理得：卬/=*=1,解得q=16,

因為｛%｝為等比數(shù)列，

所以，數(shù)列∣,∣是以L為首項，公比為，的等比數(shù)列，

%q

,、4-邛

所以原不等式等價為：4二￡1>①，

"qi_l

q

因為q=；，q=i6

所以，將其代入①式整理得:2"<32x16=23解得“<9,

由"∈N?,所以正整數(shù)〃的最大值為8,

故8

19.P為拋物線y=2χ2上一動點，當(dāng)點P到直線4x-y-4=0的距離最短時，P點的坐標(biāo)是

【正確答案】(L2)

【分析】設(shè)P(XO,2?√),求出尸到直線/距離，結(jié)合絕對值變形后配方可得最小值.

【詳解】設(shè)P(Xo,2%2),則點P(Xo,2Λ∕)到直線4x-y-4=0的距離為

∣4Λ-2X2-4∣_1

00∣2(?-∣)2+2∣

√Γ7—歷

當(dāng)％=1,即當(dāng)P(l,2)時,

拋物線y=2x2上一點到直線4Λ-J-4=0的距離最短為?=亞

√Γ717

故(1,2).

20.設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿足4+4=12,al-ai=-n,記0為｛4｝在區(qū)間(0,，叱機wN")中的

項的個數(shù)，則數(shù)列也｝的前50項和S50=.

【正確答案】144

【分析】根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列伍“｝的首項和公比，得出?！?2向，

討論當(dāng)lVw≤3時和2-'≤m<2"2時勿值，代入計算即可得出結(jié)果.

fα+α,=α(1+^)=12

【詳解】由題意得，「；、?所以解得4=4,4=2,

MW(I一1)=-12

所以｛4｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列，

所以α,=2"”，因為粼為血｝在區(qū)間(0,"W"eN")中的項的個數(shù)

所以當(dāng)1≤,"≤3時，bm=O；當(dāng)2"'≤∕M<2"2時，bm=n,

所以S50=(4+4+4)+(d+么+4+4)+(4+%++?∣5)+0∣6+?7++?∣)+(?2+?++%),

234

即S50=0×3+l×2+2×2+3×2+4x(50-31)=144.

故答案為：144

三、雙空題

>>r>

21.已知直線/：x+y+%=O是雙曲線C：］-與=1的一條漸近線，則機=;

a^b

雙曲線C的離心率為.

【正確答案】0√2

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線過原點，即可求得〃?的值，由題意可得4,b的關(guān)系，即可求得

離心率.

【詳解】由題意可知雙曲線C:「一5=ι,a>0*>o的漸近線方程為y=±-X,過原點，

a~b-a

由于直線/：x+y+m=0是雙曲線C：「一馬=1的一條漸近線，

ab~

故m=0,--=-1,即。=匕,故C=Ja2+)2=血々

a

所以離心率為e二￡=血.