第3章 圓的基本性質(zhì)（單元測(cè)試）（解析版）

班級(jí)________姓名________學(xué)號(hào)________分?jǐn)?shù)________第3章圓的基本性質(zhì)注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘，試題共24題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長(zhǎng)度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等C．圓的周長(zhǎng)是直徑的倍D．圓是軸對(duì)稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)圓的特征即可求解．【詳解】解：根據(jù)同一個(gè)圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，理解并掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，圓的基本特征是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）已知的半徑為4，若，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在內(nèi) B．點(diǎn)P在上 C．點(diǎn)P在外 D．無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)的半徑與的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，即可得出答案．【詳解】解：∵的半徑為4，，又∵，∴點(diǎn)P與的位置關(guān)系是點(diǎn)P在內(nèi)部，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）將圖繞其中心旋轉(zhuǎn)某一角度后會(huì)與原圖形重合，這個(gè)角不能是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】將圖按照對(duì)角線分成四個(gè)相同的基本圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：

正方形對(duì)角線將圖形分成四個(gè)完全一樣的基本圖形，可看作由這個(gè)基本圖形旋轉(zhuǎn)所組成，將圖繞其中心最小旋轉(zhuǎn)角后會(huì)與原圖形重合，該圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)的正整數(shù)倍后會(huì)與原圖形重合，從而確定這個(gè)角不能是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)，分析出圖中的基本圖形是解決問題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到和，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可得到的度數(shù)．【詳解】解：∵將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，，為等腰三角形，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟知上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得答案．【詳解】如圖所示，連接，作線段、的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系、垂徑定理的推論，牢記垂徑定理的推論（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┦墙忸}的關(guān)鍵．6．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于，，，四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓心為O，根據(jù)垂徑定理可以得到，，再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題即可．【詳解】設(shè)圓心為O，為紙條寬，連接，，

則，，∴，，設(shè)，則，又∵，∴，即，解得：，∴半徑，即直徑為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形中，，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，線段，與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，易得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，陰影部分面積最小，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如圖，分別求出最小陰影部分面積比較即可得到陰影部分最小面積．【詳解】當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上時(shí)，易得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，陰影部分面積最小，連接OC、BC，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如圖，

，，∵，∴．；線段、與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓心角定理以及三角形及扇形的面積求法，討論動(dòng)點(diǎn)的位置作輔助線把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B是y軸的正半軸上的一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】過作軸于點(diǎn)，通過證得，得出，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由旋轉(zhuǎn)的角度，可知旋轉(zhuǎn)4次是一個(gè)循環(huán)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)與第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)的位置一樣，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過作軸于點(diǎn)，如圖：

，，，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A即為點(diǎn)C，故；第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A與的中點(diǎn)是點(diǎn)B，設(shè)，則有，解得：；第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)C的中點(diǎn)是點(diǎn)B，同理可得：；第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A回到初始位置，；發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個(gè)循環(huán)，，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．9．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考三模）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，，，則的直徑為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作直徑，連、證明，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：作直徑，連、．

是圓的直徑，，，又，，，，，，的直徑為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，，是中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接．則線段長(zhǎng)的最小值為（

）

A．8 B． C． D．【答案】A【分析】連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明，可得，由勾股定理可得，根據(jù)，即可得出的最小值．【詳解】解：如圖，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

，在與中正方形中，，是邊上的中點(diǎn)，線段的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線段的最值問題，涉及三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．二、填空題（6小題，每小題4分，共24分）11．（2023·浙江溫州·校考三模）一個(gè)扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為3πcm，則此扇形的半徑是cm．【答案】4【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，將其變形即可求出扇形半徑．【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)為，解得，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長(zhǎng)公式．12．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，若，則的度數(shù)是．【答案】/80度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)，即可解答．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是由中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素組成的一個(gè)圖案，這個(gè)圖案繞著它的旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角度后能夠與它本身重合，則角可以是度．（寫出一個(gè)即可）

【答案】（答案不唯一）【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：，則這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)或的倍數(shù)后能夠與它本身重合，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形、正多邊形的性質(zhì)，掌握正六邊形的中心角是關(guān)鍵．14．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長(zhǎng)為寸．

【答案】26【分析】連接構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，由可求出的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑為，表示出，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于的方程，求解方程可得的值，即為圓的直徑．【詳解】解：連接，

，且寸，寸，設(shè)圓的半徑的長(zhǎng)為，則，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，化簡(jiǎn)得：，即，（寸）．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形．15．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）將一副直角三角板，按如圖1所示位置擺放，其中，，，．若將三角板繞點(diǎn)按每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，在此過程中，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)線段與三角板的一條邊平行時(shí)，．

【答案】10秒或30秒或40秒【分析】由線段與三角板的一條邊平行可知有三種情況：（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在線段上，由此可求出旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而可求出的值；（2）當(dāng)時(shí)，則，由此可求出旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而可求出的值；（3）當(dāng)，則，由此可求出旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而可求出的值．【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，則旋轉(zhuǎn)的時(shí)間（秒），在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，線段與三角板的一條邊平行，有以下三種情況：（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在線段上時(shí)，如圖所示：

旋轉(zhuǎn)角，（秒）；（2）當(dāng)時(shí)，如圖所示：

，，，旋轉(zhuǎn)角，（秒）；（3）當(dāng)時(shí)，如圖所示：

，，旋轉(zhuǎn)角，（秒）；綜上所述：秒或30秒或40秒，故答案為：10秒或30秒或40秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換與性質(zhì)，平行線的判定，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)，難點(diǎn)是利用分類討論的思想進(jìn)行分類討論．16．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，內(nèi)接于半徑為的半，為直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為.【答案】【分析】如圖作于，連接，，交于．解直角三角形求出，利用全等三角形的性質(zhì)證明，再利用三角形的中位線定理求出即可．【詳解】如圖，作于，連接，，交于．是直徑，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，，，，，，設(shè)，則，，，（負(fù)根已經(jīng)舍棄），，，，，，，，，，，，，，∴，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，圓心角，弧弦之間的關(guān)系，解直角三角形，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題（8小題，共66分）17．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，在的方格紙中，已知格點(diǎn)線段，請(qǐng)按要求畫格點(diǎn)圖形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

(1)在圖中畫一個(gè)以為腰的等腰三角形，再畫出該三角形向左平移兩個(gè)單位后的圖形．(2)在圖中畫一個(gè)以為邊的鈍角三角形，再畫出該三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可；（2）根據(jù)要求畫出圖形即可．【詳解】（1）解：圖形如圖所示（答案不唯一）；

（2）圖形如圖所示（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．18．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的；(2)畫出繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得到的；(3)根據(jù)（1）（2）畫出的圖形，求出的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）作出關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；（2）作出繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；（3）順次連接，得到，利用直角三角形面積公式求出的面積．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，即為所求；（3）的面積．【點(diǎn)睛】此題考查了中心對(duì)稱圖形、旋轉(zhuǎn)的作圖、網(wǎng)格中三角形的面積，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵．19．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┤鐖D，將含角的直角三角板放入半圓中，三點(diǎn)恰好在半圓上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理的推論，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圖示，可知是等邊三角形，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出扇形的面積，的面積，由此即可求解陰影部分的面積．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意，是半圓的直徑，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖所示，連接，

∵，，∴是等邊三角形，過點(diǎn)C作，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積，垂徑定理，圓周角定理，掌握垂徑定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．20．（2023·浙江·一模）如圖，在中，，以為直徑的圓分別交，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若．

(1)求證：．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)7.2【分析】（1）首先根據(jù)圓直徑的性質(zhì)得到，然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)求解即可；（2）首先利用勾股定理求出，然后利用等面積法得到，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵是圓的直徑，∴，∵，∴是等腰三角形，∴；（2）∵是圓的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵是圓的直徑，∴，∴，∴，∴解得，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．21．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，弦與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，現(xiàn)有以下信息：

①為直徑；②；③．(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是___________，結(jié)論是___________（填寫序號(hào)），請(qǐng)說明理由．(2)在（1）的條件下，若的長(zhǎng)為，求半徑．【答案】(1)①②；③；理由見解析（答案不唯一）(2)【分析】（1）任選其中兩條作為已知條件，剩余一條作為結(jié)論，均為真命題，結(jié)合圓當(dāng)中的基本性質(zhì)和定理進(jìn)行證明即可；（2）結(jié)合條件可推出，從而結(jié)合弧長(zhǎng)計(jì)算公式直接求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，情況一：選擇條件是①②，結(jié)論是③，是真命題；理由如下：∵為直徑，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，∴條件是①②，結(jié)論是③，該命題為真命題；情況二：選擇條件是①③，結(jié)論是②，是真命題；理由如下：∵為直徑，∴，∴為等腰直角三角形，，∵，∴，∴條件是①③，結(jié)論是②，該命題為真命題；情況三：選擇條件是②③，結(jié)論是①，是真命題；理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∵是圓上的弦，∴為直徑，∴條件是②③，結(jié)論是①，該命題為真命題；故答案為：①②；③（答案不唯一）；

（2）解：由（1）可知，，如圖所示，連接，∴，∵的長(zhǎng)為，設(shè)的半徑為，∴，解得：，∴的半徑為．

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)計(jì)算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，理解直徑所對(duì)的圓周角為直角及其推論，掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．22．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）已知在中，，點(diǎn)平分平分，過點(diǎn)的⊙分別交于點(diǎn)．

(1)求的度數(shù)；(2)連接，求證：是等邊三角形；(3)若，則⊙的半徑______________．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到結(jié)論；（2）連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，由（）知，推出是等邊三角形，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得出，即可得到結(jié)論；（3）連接，，根據(jù)圓周角定理得到是的直徑，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，求得，設(shè)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，點(diǎn)平分，，，平分，，；（2）證明：連接，

在中，，，由（1）知，是等邊三角形，，，又是等邊三角形．（3）解：如圖所示，連接，，

，是的直徑，，由（）知，，是等邊三角形，，，，，平分，，，，，

，設(shè)，，，，解得：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，其中點(diǎn)A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，點(diǎn)D，連結(jié)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，①證明：四邊形是平行四邊形．②若點(diǎn)A為的中點(diǎn)，求四邊形的面積．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見解析；②8(2)【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證得，即可得結(jié)論；②證明四邊形是菱形，利用菱形的面積公式求解即可；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，又，進(jìn)而證明四邊形平行四邊形得到，，在圖2中，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于P，證明得到，，過C作于H，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∵繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴，，，，∴，，∴，則，∴四邊形是平行四邊形；②∵點(diǎn)A為的中點(diǎn)，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，又,∴四邊形菱形，∴，∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴四邊形的面積為；（2）解：∵，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，∴，∴，∴，又，∴四邊形平行四邊形，∴，，在圖2中，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于P，則，

∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，，過C作于H，則，在中，，，∴，在中，，∴