專題12 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點（方程的根）（考點清單）（解析版）

專題12導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點（方程的根）（考點清單）目錄TOC\o"1-3"\h\u一、思維導(dǎo)圖 2二、知識回歸 2三、典型例題講與練 3考點清單：01判斷（證明、討論）函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù) 3【考試題型1】判斷函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù) 3【考試題型2】證明函數(shù)零點（方程的根）的唯一性 5【考試題型3】討論函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù) 6考點清單：02利用極值（最值）研究函數(shù)的零點（方程的根） 9【考試題型1】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點（方程的根） 9考點清單：03數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（方程的根） 12【考試題型1】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（方程的根） 12考點清單：04利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點（方程的根） 16【考試題型1】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點（方程的根） 16一、思維導(dǎo)圖二、知識回歸知識點01：函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．（2）三個等價關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點．知識點02：函數(shù)零點的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點三、典型例題講與練：01判斷（證明、討論）函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)【考試題型1】判斷函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)【解題方法】求導(dǎo)+畫圖【典例1】（2023上·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】的定義域為，由題意可得，因為單調(diào)遞增且當(dāng)時，當(dāng)時，所以存在唯一一點使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以至多有兩個零點，又因為，，所以有2個零點，故選：C【典例2】（2022上·天津南開·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)是．【答案】2【詳解】，畫出與的圖象如下圖所示，當(dāng)時，，，所以在曲線圖象上點的切線方程為，即.由圖可知與有兩個公共點，即有兩個零點.故答案為：

【專訓(xùn)1-1】（2023下·北京·高二北京市第一六六中學(xué)校考期中）若函數(shù)的零點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】的定義域為R，且，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，故函數(shù)的零點的個數(shù)為2.故選：C【專訓(xùn)1-2】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】當(dāng)時，，所以不是函數(shù)的零點，因為，所以，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時取得最大值，所以當(dāng)時，有唯一零點，又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以在時，還有一個零點，綜上所述：函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：A【考試題型2】證明函數(shù)零點（方程的根）的唯一性【解題方法】零點存在定理+單調(diào)性【典例1】（2022·四川·高三統(tǒng)考對口高考）已知a，b為實數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．(1)求a，b的值；(2)證明：函數(shù)有唯一零點．【答案】(1)，；(2)證明見解析.【詳解】（1）因函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)至多有一個零點，又，所以函數(shù)有唯一零點．【典例2】（2022上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)證明：函數(shù)在上有且僅有一個零點．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）因為，且，，所以切線方程為，即所求切線方程為．（2）．因為，所以，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以在上是減函數(shù)，且，所以在上僅有一個零點．【專訓(xùn)1-1】（2022下·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求證：函數(shù)有唯一的零點，并求出此零點；【答案】(1)證明見解析，零點為0【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，令，而，故在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，，即．故在上是單調(diào)遞增的．又因為，因此，函數(shù)有唯一的零點，零點為0．【考試題型3】討論函數(shù)零點（方程的根）的個數(shù)【解題方法】分類討論法+圖象【典例1】（2022上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)設(shè)，求在區(qū)間上的最值；(2)討論的零點個數(shù).【答案】(1)最大值為，最小值為(2)在上有兩個零點【詳解】（1）因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，取最小值.（2）先討論在上的零點個數(shù)，由（1）可知，在上遞減，，所以在上遞減，因為，所以在上有唯一零點，又因為，所以是偶函數(shù)，所以在上有兩個零點.【典例2】（2022下·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的零點的個數(shù).【答案】答案見解析【詳解】由得，設(shè)，

則，令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減，即當(dāng)時，g(x)取得極大值即，由，單調(diào)遞增，可得與x軸只有一個交點，由，單調(diào)遞減，可得與x軸沒有交點，畫出的大致圖象如圖，可得m≤0或m=時，有1個零點；當(dāng)0<m<時，有2個零點；當(dāng)m>時，沒有零點.綜上所述，當(dāng)m≤0或m=時，有1個零點；當(dāng)0<m<時，有2個零點；當(dāng)m>時，沒有零點.【專訓(xùn)1-1】（2022下·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；(2)判斷函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)；(2)2個零點，理由見解析.【詳解】（1）由，而，所以該函數(shù)在點（0，f（0））處的切線方程為：；（2）函數(shù)的定義域為，由（1）可知：，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，所以函數(shù)在時有唯一零點；當(dāng)時，單調(diào)遞增，因為，所以函數(shù)在時有唯一零點，所以函數(shù)f（x）有個零點.【專訓(xùn)1-2】（2019上·吉林長春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù),．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時,判斷的零點個數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)2【詳解】(1),故當(dāng)時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,令,得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,綜上,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)設(shè),則,令,解得,當(dāng)時,；當(dāng)時,；故最大值為，所以有且只有一個零點.：02利用極值（最值）研究函數(shù)的零點（方程的根）【考試題型1】利用極值（最值）研究函數(shù)的零點（方程的根）【解題方法】極值，最值【典例1】（2022上·貴州遵義·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在處取得極值2．(1)求的值；(2)若方程有三個相異實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1），依題意，，解得，經(jīng)檢驗，，符合題意，，的值分別為，；（2）由（1）可得，，方程有三個相異實根，即的圖象與直線有三個不同的交點，，令，解得或，令，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，，即實數(shù)的取值范圍為．【典例2】（2023上·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得極值.(1)若在上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若時，方程有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，因為時，取到極值，所以，解得.又當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得極值，符合題意.要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.即實數(shù)的取值范圍為.（2）令，由（1）得，且，故，，則，當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故，而，，故.要使有兩個根，則.即實數(shù)的取值范圍為.【專訓(xùn)1-1】（2023上·天津濱海新·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間、最值．(3)設(shè)在上有兩個零點，求的范圍.【答案】(1)；(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；最大值為，最小值為；(3).【詳解】（1）由題意知，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由得，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.所以，又，，所以.（3）在上有兩個零點，即有兩個不等根，由（2）知.【專訓(xùn)1-2】（2023上·西藏林芝·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的函數(shù)值；(2)若有三個零點，求的取值范圍.【答案】(1)7(2)【詳解】（1）當(dāng)時，,則.（2）,若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)至多有一個零點，不滿足題意；若，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，要使函數(shù)有三個零點，只需，即，解得，綜上，.：03數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（方程的根）【考試題型1】數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點（方程的根）【解題方法】數(shù)形結(jié)合【典例1】（2023下·四川樂山·高二期末）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)求方程有兩個不同的根，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【詳解】（1）∵，∴的定義域為，，令，解得．則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．∴當(dāng)時，有極小值，沒有極大值.（2）∵時，，時，，則的圖象如下：

由圖象可知，當(dāng)時，方程有兩個不同的根.故的取值范圍為．【典例2】（2022上·安徽·高三碭山中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若x=0為函數(shù)的極值點，且函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，故；而，故，又故所求切線方程為；（2）令，則；，.而，解得，經(jīng)檢驗成立所以，故函數(shù)的定義域為R；令，解得或；故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；而，，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出的大致圖象如圖所示，觀察可知，實數(shù)的取值范圍為【專訓(xùn)1-1】（2022上·貴州六盤水·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極小值，無極大值；(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以時，函數(shù)取到極小值，無極大值；（2）令，可得，記，原問題等價于的圖象與直線有唯一的交點，，在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)，做出函數(shù)圖象：由圖可知，當(dāng)或時，的圖象與直線有唯一的交點，故實數(shù)a的取值范圍為.【專訓(xùn)1-2】（2022下·廣東佛山·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值.(2)若關(guān)于的方程有唯一的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，，極小值為0，極大值為.(2)【詳解】（1），由得或，由得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.極小值為，極大值為.（2）方程有唯一的實數(shù)根等價于函數(shù)與直線有唯一的交點，畫出的大致圖像如圖所示，所以實數(shù)的取值范圍為.：04利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點（方程的根）【考試題型1】利用同構(gòu)函數(shù)法研究函數(shù)的零點（方程的根）【解題方法】同構(gòu)函數(shù)【典例1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)，且，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)m的最小值為．【答案】1【詳解】在中，，∴，∴∴（c為常數(shù)），由，解得：，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在零點，整理可得：，設(shè)，，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，所以，當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號即存在，使，設(shè)，，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，所以，故m最小值為1,故答案為：1【典例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】，令，，顯然該函數(shù)單調(diào)遞增，即有兩個根，即有兩個根，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過原點的切線，可知當(dāng)時有兩個交點即有兩個根．故答案為：.【專訓(xùn)1-1】（2023上·福建龍巖·高三上杭一中?？茧A段練習(xí)）已知，若關(guān)于的方程存在正零點，則實數(shù)的取值范圍.【答案】【詳解】依題意，，令，因此關(guān)于的方程存在正零點，即方程有解，設(shè)，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，于是，而，則存在唯一零點，即在有解，即，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【專訓(xùn)1-2】（2023下·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）若有且只有1個零點，則實數(shù)．【答案】【詳解】設(shè)，則，①當(dāng)時，顯然恒成立，無零點；②當(dāng)時，令，