2021-2022高中數(shù)學(xué)人教版必修1作業(yè)3.2.1幾種不同增長的函數(shù)模型（系列四）Word版含答案

3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型基礎(chǔ)鞏固一、選擇題(每小題3分,共18分)1.下列函數(shù)中,自變量x充分大時(shí),增長速度最慢的是()A.y=6x B.y=log6x C.y=x6 D.y=6x【解析】選B.根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)增長的特點(diǎn)可知,自變量x充分大時(shí),y=log6x的增長速度最慢.2.(2014·黃山高一檢測)某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動,某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表:x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù),現(xiàn)給出以下擬合曲線,其中擬合程度最好的是()A.y=2x-2 B.y=QUOTEC.y=log2x D.y=QUOTE(x2-1)【解析】選D.當(dāng)x=6.12時(shí),A中y=2×6.12-2=10.24,B中y=QUOTE<1,C中y=log26.12<3,D中y=QUOTE(6.122-1)≈18.23,所以擬合程度最好的是y=QUOTE(x2-1).3.(2014·佛山高一檢測)四人賽跑,其跑過的路程f(x)與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系分別如四個(gè)選項(xiàng)所示.如果他們一直跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系為()A.f1(x)=QUOTE B.f2(x)=QUOTExC.f3(x)=log2(x+1) D.f4(x)=log8(x+1)【解析】選B.函數(shù)f1(x)=QUOTE,f3(x)=log2(x+1)和f4(x)=log8(x+1)的增長速度越來越慢,函數(shù)f2(x)=QUOTEx增長速度不變,所以最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系為f2(x)=QUOTEx.4.(2014·嘉峪關(guān)高一檢測)某工廠10年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示,下列四種說法:①前五年中產(chǎn)量增長的速度越來越快;②前五年中產(chǎn)量增長的速度越來越慢;③第五年后,這種產(chǎn)品停止生產(chǎn);④第五年后,這種產(chǎn)品的產(chǎn)量保持不變;其中說法正確的是()A.①③ B.②④ C.②③ D.①④【解析】選C.由t∈[0,5]的圖象聯(lián)想到冪函數(shù)y=xα(0<α<1),反映了C隨時(shí)間的變化而逐漸增長但速度越來越慢.由t∈[5,10]的圖象可知,總產(chǎn)量C沒有變化,即第五年后停產(chǎn),所以②③正確.【拓展延伸】圖象信息題的解答策略(1)明確橫軸、縱軸的意義,分析題中的具體含義.(2)從圖象形狀上判定函數(shù)模型.(3)抓住特殊點(diǎn)的實(shí)際意義,特殊點(diǎn)一般包括最高點(diǎn)(最大值點(diǎn))、最低點(diǎn)(最小值點(diǎn))及折線的拐角點(diǎn)等.(4)通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題.5.(2014·撫州高一檢測)“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當(dāng)它醒來時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…用S1,S2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時(shí)間,則與故事情節(jié)相吻合的是()【解析】選B.選項(xiàng)A,烏龜與兔子同時(shí)到達(dá)終點(diǎn),不合題意;選項(xiàng)B,烏龜先到達(dá)終點(diǎn),兔子后到達(dá)終點(diǎn),行程相同,符合題意;選項(xiàng)C,兔子睡覺后未醒,沒完成任務(wù),不合題意;選項(xiàng)D,兔子先到,不合題意.6.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為()【解析】選D.設(shè)原來森林蓄積量為a,則a(1+10.4%)y=ax,1.104y=x,所以y=log1.104x,故選D.【舉一反三】將本題條件改為“要增長到原來的y倍,需過x年”,其他條件不變應(yīng)如何解答?【解析】選B.設(shè)原來森林蓄積量為a,則a(1+10.4%)x=ay,故y=1.104x,如原題B選項(xiàng)圖.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2014·濟(jì)南高一檢測)現(xiàn)測得(x,y)的兩組對應(yīng)值分別為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個(gè)待選模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又測得(x,y)的一組對應(yīng)值為(3,10.2),則應(yīng)選用作為函數(shù)模型.【解析】當(dāng)x=3時(shí),甲:y=32+1=10,|10-10.2|=0.2,當(dāng)x=3時(shí),乙:y=3×3-1=8,|8-10.2|=2.2,所以應(yīng)選用甲作為函數(shù)模型.答案:甲8.一種專門侵占內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒,開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB,然后每3分鐘自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機(jī)后經(jīng)過分鐘,該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB=210KB).【解析】設(shè)過n個(gè)3分鐘后,該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存,則2×2n=64×210=216,所以n=15,故時(shí)間為15×3=45(分鐘).答案:459.(2014·瓊海高一檢測)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),有以下結(jié)論:①當(dāng)x>1時(shí),甲走在最前面;②當(dāng)x>1時(shí),乙走在最前面;③當(dāng)0<x<1時(shí),丁走在最前面,當(dāng)x>1時(shí),丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;⑤如果它們一直運(yùn)動下去,最終走在最前面的是甲.其中,正確結(jié)論的序號為(把正確結(jié)論的序號都填上,多填或少填均不得分).【解析】①錯(cuò)誤.因?yàn)閒1(2)=22-1=3,f2(2)=22=4,所以f1(2)<f2(2),所以x=2時(shí),乙在甲的前面.②錯(cuò)誤.因?yàn)閒1(5)=25-1=31,f2(5)=52=25,所以f1(5)>f2(5),所以x=5時(shí),甲在乙的前面.③正確.當(dāng)0<x<1時(shí),f1(x),f2(x)的圖象在f3(x)圖象的下方,f4(x)的圖象在f3(x)圖象的上方.④正確.當(dāng)0<x<1時(shí),丙在甲乙前面,在丁后面,x>1時(shí),丙在丁前面,在甲、乙后面,x=1時(shí),甲、乙、丙、丁四人并駕齊驅(qū).⑤正確.指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快,x充分大時(shí),f1(x)的圖象必定在f2(x),f3(x),f4(x)上方,所以最終走在最前面的是甲.答案:③④⑤三、解答題(每小題10分,共20分)10.某人對東北一種松樹的生長進(jìn)行了研究,收集了其高度h(米)與生長時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù),選擇h=mt+b與h=loga(t+1)來刻畫h與t的關(guān)系,你認(rèn)為哪個(gè)符合?并預(yù)測第8年的松樹高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7【解析】據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖.由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合,選用對數(shù)型函數(shù)比較合理.不妨將(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3.故可用函數(shù)h=log3(t+1)來擬合這個(gè)實(shí)際問題.當(dāng)t=8時(shí),求得h=log3(8+1)=2,故可預(yù)測第8年松樹的高度為2米.11.(2014·臨沂高一檢測)某文具店出售軟皮本和鉛筆,軟皮本每本2元,鉛筆每枝0.5元,該店推出兩種優(yōu)惠辦法:(1)買一本軟皮本贈送一枝鉛筆.(2)按總價(jià)的92%付款.現(xiàn)要買軟皮本4本,鉛筆若干枝(不少于4枝),若購買x枝鉛筆,付款為y元,試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并說明使用哪種優(yōu)惠辦法更合算?【解題指南】根據(jù)兩種優(yōu)惠辦法分別計(jì)算出每種中y與x之間的關(guān)系式,然后比較大小即可.【解析】由優(yōu)惠辦法(1)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4且x∈N).由優(yōu)惠辦法(2)得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式為y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4且x∈N).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34.當(dāng)4≤x<34,x∈N時(shí),0.5x+6<0.46x+7.36,當(dāng)x>34,x∈N時(shí),0.5x+6>0.46x+7.36.即當(dāng)購買鉛筆少于34枝(不少于4枝)時(shí),用優(yōu)惠辦法(1)合算;當(dāng)購買鉛筆多于34枝時(shí),用優(yōu)惠辦法(2)合算;當(dāng)購買鉛筆34枝時(shí),兩種優(yōu)惠辦法支付的總錢數(shù)是相同的,即一樣合算.能力提升一、選擇題(每小題4分,共16分)1.某種動物繁殖的數(shù)量y與繁殖次數(shù)x的關(guān)系如表:x123…y137…則下面的函數(shù)關(guān)系式中,能表達(dá)這種關(guān)系的是()①y=2x-1;②y=x2-1;③y=2x-1;④y=x2-x+1.A.①② B.③④ C.②③ D.②④【解析】選B.將x=1,y=1;x=2,y=3;x=3,y=7三組數(shù)據(jù)代入4個(gè)函數(shù)關(guān)系式檢驗(yàn),可知③④能表達(dá)所給關(guān)系.2.為適應(yīng)社會發(fā)展的需要,國家降低某種存款利息,現(xiàn)有四種降息方案:①先降息p%,后降息q%;②先降息q%,后降息p%;③先降息QUOTE%,再降息QUOTE%;④一次性降息(p+q)%,其中p≠q,上述四種方案中,降息最少的是()A.① B.② C.③ D.④【解題指南】利用特殊值法,代入特殊值驗(yàn)證.【解析】選C.特值法:不妨取p=20,q=40,驗(yàn)證即可.3.(2014·武漢高一檢測)某天清晨,小明同學(xué)生病了,體溫上升,吃過藥后感覺好多了,中午時(shí)他的體溫基本正常(正常體溫為37℃),但是下午他的體溫又開始上升,直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙了.下面能大致反映出小明這一天(0時(shí)至24時(shí))體溫變化情況的圖象是()【解析】選C.觀察圖象A,體溫逐漸降低,不符合題意;圖象B不能反映“下午他的體溫又開始上升”;圖象D不能體現(xiàn)“下午他的體溫又開始上升”與“直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙了”,綜上,只有C是正確的.【變式訓(xùn)練】一水池有兩個(gè)進(jìn)水口,一個(gè)出水口,每個(gè)水口的進(jìn)、出水速度如圖甲、乙所示,某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示.給出以下3個(gè)論斷:①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水;②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水;③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水,則一定正確的是(填序號).【解析】由甲、乙兩圖可知,進(jìn)水速度是出水速度的QUOTE,所以0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水.3點(diǎn)到4點(diǎn)有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水,一個(gè)出水口出水.4點(diǎn)到6點(diǎn),兩個(gè)進(jìn)水口和一個(gè)出水口可以同時(shí)進(jìn)水和出水或者兩個(gè)進(jìn)水口和一個(gè)出水口不進(jìn)水也不出水.因此一定正確的是①.答案:①4.(2014·長沙高一檢測)某地的中國移動“神州行”卡與中國聯(lián)通130網(wǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表:網(wǎng)絡(luò)月租費(fèi)本地話費(fèi)長途話費(fèi)甲:聯(lián)通130網(wǎng)12元每分鐘0.36元每6秒鐘0.06元乙:移動“神州行”卡無每分鐘0.6元每6秒鐘0.07元(注:本地話費(fèi)以分鐘為單位計(jì)費(fèi),長途話費(fèi)以6秒鐘為單位計(jì)費(fèi))若某人每月?lián)艽虮镜仉娫挄r(shí)間是長途電話時(shí)間的5倍,且每月通話時(shí)間(分鐘)的范圍在區(qū)間(60,70)內(nèi),則選擇較為省錢的網(wǎng)絡(luò)為()A.甲 B.乙C.甲乙均一樣 D.分情況確定【解析】選A.設(shè)長途電話時(shí)間為x分鐘,則本地電話時(shí)間為5x分鐘,則60<6x<70,故10<x<QUOTE.甲的費(fèi)用y1=12+0.36×5x+QUOTE·0.06=12+2.4x.乙的費(fèi)用y2=0.6×5x+QUOTE·0.07=3.7x.因?yàn)閥2-y1=1.3x-12>1.3×10-12=1>0,所以y2>y1,所以甲省錢.【誤區(qū)警示】解答本題易忽視通話時(shí)間取值范圍的分析以及作差比較法的應(yīng)用.二、填空題(每小題5分,共10分)5.以下是三個(gè)函數(shù)y1,y2,y3隨x的變化的函數(shù)值列表:x12345y1392781243y2182764125y300.630911.26191.4650x678…y172921876561…y2216343512…y31.63091.77121.8928…其中關(guān)于x成指數(shù)函數(shù)變化的函數(shù)是.【解析】指數(shù)函數(shù)中的增長量是成倍增加的,函數(shù)y1中增長量分別為6,18,54,162,486,1458,4374,…是成倍增加的,因而y1呈指數(shù)變化.答案:y16.已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3,兩個(gè)函數(shù)隨x的變化的函數(shù)值如下表.x012345678910f(x)12481632641282565121024g(x)01827641252163435127291000試比較下列各組數(shù)的大小(在橫線上填寫“>”“<”或“=”)f(0.19)g(0.19),f(5.1)g(5.1),f(2014)g(2014).【解析】畫函數(shù)f(x)=2x的圖象C2,函數(shù)g(x)=x3的圖象C1,設(shè)C1與C2相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,當(dāng)x=0,1時(shí),f(x)>g(x),當(dāng)x=2,3,4,5,6,7,8,9時(shí)f(x)<g(x),當(dāng)x=10時(shí),f(x)>g(x),所以1<x1<2,9<x2<10,從圖象可知,當(dāng)x1<x<x2時(shí)f(x)<g(x),當(dāng)0<x<x1,或x>x2時(shí)f(x)>g(x),所以f(0.19)>g(0.19),f(5.1)<g(5.1),f(2014)>g(2014).答案:><>三、解答題(每小題12分,共24分)7.(2014·阜陽高一檢測)有甲,乙兩家健身中心,兩家設(shè)備和服務(wù)都相當(dāng),但收費(fèi)方式不同.甲中心每小時(shí)5元;乙中心按月計(jì)費(fèi),一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))90元,超過30小時(shí)的部分每小時(shí)2元.某人準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中選擇一家進(jìn)行健身活動,其活動時(shí)間不少于15小時(shí),也不超過40小時(shí).(1)設(shè)在甲中心健身活動x(15≤x≤40)小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元,在乙中心健身活動x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元,試求f(x)和g(x).(2)問:選擇哪家比較合算?為什么?【解析】(1)f(x)=5x,15≤x≤40,g(x)=QUOTE(2)當(dāng)5x=90時(shí),x=18,即當(dāng)15≤x<18時(shí),f(x)<g(x);當(dāng)x=18時(shí),f(x)=g(x),當(dāng)18<x≤40時(shí),f(x)>g(x);所以當(dāng)15≤x<18時(shí),選甲比較合算;當(dāng)x=18時(shí),兩家一樣合算;當(dāng)18<x≤40時(shí),選乙比較合算.8.(2014·福州高一檢測)某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)預(yù)測可知,進(jìn)入21世紀(jì)以來,該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長.記2008年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關(guān)系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=+a.(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后求出相應(yīng)的解析式(所求a或b的值保留1位小數(shù)).(2)因遭受某國對該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響,2014年的年