無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)

關(guān)于無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)-1--2-一常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及基本性質(zhì)1常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念引例1.

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個和逼近于圓的面積A.設(shè)a0

表示即內(nèi)接正三角形面積,ak

表示邊數(shù)增加時增加的面積,則圓內(nèi)接正第2頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-3-引例2.小球從1米高處自由落下,每次跳起的高度減少一半,問小球是否會在某時刻停止運(yùn)動?說明道理.由自由落體運(yùn)動方程知則小球運(yùn)動的總時間為設(shè)

tk

表示第k

次小球落地的時間,第k

次小球跳起的高度為米，因此第3頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-4-定義：給定一個數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級數(shù)的一般項(xiàng),級數(shù)的前

n

項(xiàng)和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂

,則稱無窮級數(shù)并稱S

為級數(shù)的和,記作第4頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-5-當(dāng)級數(shù)收斂時,稱差值為級數(shù)的余項(xiàng).則稱無窮級數(shù)發(fā)散

.顯然第5頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-6-例1.討論等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數(shù)收斂,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散.其和為第6頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-7-2).若因此級數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,因此級數(shù)發(fā)散.此時第7頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-8-如果級數(shù)是發(fā)散的。解例2.說明調(diào)和級數(shù):是收斂的，則但所以，級數(shù)是發(fā)散的第8頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-9-例3.判別下列級數(shù)的斂散性:解:(1)所以級數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和第9頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-10-(2)所以級數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和第10頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-11-

例4.判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為第11頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-12-2無窮級數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1

若級數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)

c

所得級數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.說明:級數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.即第12頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-13-性質(zhì)2

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級數(shù)也收斂,其和為即第13頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-14-說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)第14頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-15-例5判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和解（1）因?yàn)榫諗?，所以收斂，且?）因?yàn)槭諗?，發(fā)散，發(fā)散。第15頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-16-性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會影響級數(shù)的斂散性.證:將級數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級數(shù)收斂時,其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級所得新級數(shù)第16頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-17-性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證:設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列為原級數(shù)部分和序列的一個子序列,推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如第17頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-18-例6.判斷級數(shù)的斂散性:解:考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)發(fā)散.第18頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-19-設(shè)收斂級數(shù)則必有證:可見:若級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.性質(zhì)5.收斂級數(shù)的必要條件注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散.第19頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-20-例7.說明下列級數(shù)是發(fā)散的解（1）所以原級數(shù)是發(fā)散的（2）所以原級數(shù)是發(fā)散的（3）級數(shù)是發(fā)散第20頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-21-（4）故從而這說明級數(shù)(1)發(fā)散.第21頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-22-二正項(xiàng)級數(shù)及其判斂法若基本定理

收斂的充要條件是部分和有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”正項(xiàng)級數(shù)序列第22頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-23-都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若級數(shù)則級數(shù)(2)若級數(shù)則級數(shù)證:設(shè)對一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示級數(shù)是兩個正項(xiàng)級數(shù),(常數(shù)k>0),因在級數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨部分和,則有第23頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-24-(1)若級數(shù)則有因此對一切有由定理1可知,則有(2)若級數(shù)因此這說明級數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,級數(shù)第24頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-25-例8.討論p-級數(shù)的收斂性解:1)若因?yàn)閷σ磺卸{(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,第25頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-26-因?yàn)楫?dāng)故考慮級數(shù)的部分和故級數(shù)時,2)若p

級數(shù)收斂.收斂,由比較審斂法知第26頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-27-重要參考級數(shù):幾何級數(shù),p-級數(shù),調(diào)和級數(shù).例9.判別下列級數(shù)的斂散性

解(1)

而

發(fā)散,

所以

原級數(shù)發(fā)散第27頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-28-(2)收斂，所以收斂.(3)收斂，所以收斂.(4)

所以

原級數(shù)收斂收斂第28頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-29-例10.判別下列級數(shù)的斂散性解(1)當(dāng)時，則級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散.第29頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-30-(2)時，對于級數(shù)由于則收斂，所以級數(shù)收斂.第30頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-31-定理3.(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

證:據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時,第31頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-32-由定理2可知同時收斂或同時發(fā)散;(3)當(dāng)l=∞時,即由定理2可知,若發(fā)散,(1)當(dāng)0<l<∞時,(2)當(dāng)l=

0時,由定理2知收斂,若第32頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-33-特別取推論（極限判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，如果則級數(shù)收斂；如果則級數(shù)發(fā)散；第33頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-34-例11判別下列級數(shù)的斂散性解(1)～根據(jù)比較審斂法的極限形式知(2)根據(jù)比較審斂法的極限形式知收斂第34頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-35-(3)～根據(jù)比較審斂法的極限形式知(4)～根據(jù)比較審斂法的極限形式知第35頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-36-例12判別級數(shù)的斂散性.解當(dāng)時當(dāng)時，當(dāng)時發(fā)散，當(dāng)時，收斂根據(jù)比較審斂法的極限形式知第36頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-37-定理4.比值審斂法

(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)收斂,時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.由比較審斂法可知第37頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-38-因此所以級數(shù)發(fā)散.時(2)當(dāng)說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.從而第38頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-39-注意(1)當(dāng)時比值審斂法失效;條件是充分的,而非必要.(2)第39頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-40-(3)在判別收斂時，求極限過程不可缺，而事實(shí)上第40頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-41-例13判別下列級數(shù)的收斂性:(1)(2)(3)解(1)所以收斂.第41頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-42-比值審斂法失效,改用比較審斂法(2)所以發(fā)散第42頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-43-的斂散性.解:根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;例14.討論級數(shù)第43頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-44-

對任意給定的正數(shù)定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正則證明提示:

即分別利用上述不等式的左,右部分,可推出結(jié)論正確.項(xiàng)級數(shù),且第44頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-45-例15.證明級數(shù)收斂于S,近似代替和S

時所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計(jì)以部分和Sn第45頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-46-三任意項(xiàng)級數(shù)則各項(xiàng)符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)

.定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足1交錯級數(shù)第46頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-47-證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故第47頁,共54頁，2024年2月25日，星期天-48-例16