2023-2024學(xué)年天津市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題二（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

TT

1.直線(xiàn)X=Tan7的傾斜角是()

4

八C"c3πC乃

A.0B.—C.—D.一

244

【正確答案】B

【分析】由傾斜角的概念求解

TTTT

【詳解】x=-tan-,即X=-1,直線(xiàn)的傾斜角為彳.

故選：B

2.兩直線(xiàn)3x+4y-3=O與“ir+8y+l=0平行，則它們之間的距離為()

A.4B.-C.—D.—

51010

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)直線(xiàn)平行求得加，再根據(jù)平行線(xiàn)間的距離公式求解即可.

【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)3x+4y—3=0與，HX+8y+l=0平行，故3x8—4m=0,解得m=6.

故直線(xiàn)6x+8y—6=0與mr+8y+l=0間的距離為=

√62+8210

故選：C

3.設(shè)橢圓￡+《=1(%>0,”>0)的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)√=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為;,則此橢

m"n

圓的方程為

12166448

【正確答案】B

【分析】先根據(jù)拋物線(xiàn)的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得橢圓的半焦距c,根據(jù)橢圓的離心率求

得m,最后根據(jù)m、n和C的關(guān)系求得n.

【詳解】，拋物線(xiàn)丁二以，

P=4,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)

橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)丁=8x的焦點(diǎn)相同

22

橢圓的半焦距c=2,即m-n=4

2I

e=~m=2'

m=4,n=√16-4=26,

23

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2r+±=1,

1612

故選B.

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題.要熟練掌握橢圓方程中a,b和C的關(guān)系,求桶圓的方

程時(shí)才能做到游刃有余.

橢圓與拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，及性質(zhì).

點(diǎn)評(píng)：由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可得橢圓的半焦距c,再由離心率可知m,從而〃=因而橢圓

方程確定.

4.已知點(diǎn)尸(-3,-1),向量W3=(6,7),過(guò)點(diǎn)P作以向量用為方向向量的直線(xiàn)L,則點(diǎn)A(3,-l)

到直線(xiàn)心的距離為()

A.OB.-s∕6C.D.-Jj

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意得直線(xiàn)Z,為x+逐y+3+石=0,再由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式解決即可.

【詳解】由題知點(diǎn)P(-3,T),向量〃?=(右,T),過(guò)點(diǎn)尸作以向量加為方向向量的直線(xiàn)L,

所以直線(xiàn)乙的斜率為人=-喪，

所以直線(xiàn)L為y+l=-5(x+3),即x+6y+3+石=0,

因?yàn)?3,—1)

所匕空叫=6

√6

故選：B

5.己知三棱柱ABC-ABG,點(diǎn)P為線(xiàn)段Bc上一點(diǎn)，且B∣P=；BC…則AP=()

A.-AB+AC+-AA

22"B-通+3配+J羽

?221

C.-AB+-AC-AA.D.-AB+-AC+AA

33"33’

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，利用基底表示向量AP?

【詳解】由題意得AP=AB+8P=Λβ+8B∣+4P,

因?yàn)?gAG,BB1=AA,,所以AP=AB+A4,+g用G=AB+AA+gbC

1?1

?AB+AAI+-(AC-ΛB)=-AB+AAI+-AC.

故選：D.

6.若點(diǎn)P(Ll)在圓C:/+y2+x-y+&=0的外部，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是()

A.(-2,-κo)B.-2,-g]C.,2,g)D.(-2,2)

【正確答案】C

/、??/1+1+1—1+Z>O

【分析】由于點(diǎn)P(U)在圓Cd+y2+χ-y+Z=0的外部，所以1+j4%>0，從而可

求出女的取值范圍

fl+I+l-l+?>0]

【詳解】解：由題意得I八，解得

[l+l-4k>02

故選：C.

7.已知直線(xiàn)x-y+m=O與圓￠:/+^+4^=0相交于A、B兩點(diǎn)，若CAJ_C8，則實(shí)數(shù)機(jī)

的值為()

A.T或0B.T或4C.0或4D.T或2

【正確答案】A

【分析】分析可知一ASC為等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系求出圓心C到直線(xiàn)AB的距離,

再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得出關(guān)于機(jī)的等式，即可解得加的值.

【詳解】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+(y+2)2=4,圓心為C(0,-2),半徑為廠=2,

因?yàn)镃4,CB且|。I=IeBl=2,故..ABC為等腰直角三角形，且∣A3∣=正∣C4∣=2后，

則圓心C到直線(xiàn)AB的距離為d=∣∣AB∣=√2,

由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可為"=44=√2,解得fn=T或0.

√2

故選：A.

8.已知空間中四點(diǎn)A(T,1,O),B(2,2,1),C(l,l,l),O(0,2,3),則點(diǎn)O到平面ABC的距離

為()

A.√6B.正C.—D.O

36

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，求得平面ABC的一個(gè)法向量”=(1,-1,-2),結(jié)合距離公式，即可求解.

【詳解】由題意,空間中四點(diǎn)A(T/,0),8(2,2,1),C(l,l,l),￡>(0,2,3),

可得AB=(3,1,1),AC=(2,0,1),AO=(1,1,3),

n-AB=3x+y+Z=O

設(shè)平面ABC的法向量為"=(χ,y,z)則

n-AC=2x+z=0

令X=1,可得y=-l,z=-2,所以"=(1,-1,-2),

?n-AD?∣1-1-6∣

lλr

所以點(diǎn)。到平面ABC的距離為-π-='=√6.

∣∕z√l+l+4

故選：A.

9.使得“直線(xiàn)0r+2y-l=0與直線(xiàn)(α+l)x-2αy+l=0垂直”的充分不必要條件是()

A.a=]B.a=2C.α=3D.α=3或α=0

【正確答案】C

【分析】求得直線(xiàn)以+2y-1=0與直線(xiàn)(α+l)x-2少+1=0垂直時(shí)，α的值，由此確定充分

不必要條件.

【詳解】直線(xiàn)0r+2y-l=0與直線(xiàn)(α+I)X-2αy+l=0垂直時(shí)，α(α+l)+2(-2α)=0,

/-34=0,解得α=0或α=3.

所以使得“直線(xiàn)5+2y-l=0與直線(xiàn)(α+l)x-2少+1=0垂直，，的充分不必要條件是C選項(xiàng).

故選：C

10.若直線(xiàn)/:丘-y+4+2Z=o與曲線(xiàn)y="Ξ，■有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

?

A.1?∣?=±1}B.{k?k<--}

33

C.伙|-1≤Z<-/D.{ΛI(xiàn)-1≤Zc<—}

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線(xiàn)/和曲線(xiàn)方程在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】由題意，直線(xiàn)/的方程可化為(x+2)Z-y+4=0,所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)A(-2,4),

y=√4≡√，可化為f+y2=4(y≥0)其表示以(0,0)為圓心，半徑為2的圓的一部分，如圖.

∣4÷2?∣3

當(dāng)/與該曲線(xiàn)相切時(shí)，點(diǎn)(0,0)到直線(xiàn)的距離d==2,解得左=—；.

y∣H+l4

設(shè)B(2,0),則原8=;Fg=-I.由圖可得，若要使直線(xiàn)/與曲線(xiàn)V=有兩個(gè)交點(diǎn)，則

-2—2-

3

-l<k<--.

4

故選：C.

11.若數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式是=(T)"(3〃一2),則4+生++%o=

A.30B.29C.-30D.-29

【正確答案】A

【詳解】試題分析：由數(shù)列通項(xiàng)公式可知

+

aλ+a2++α20=（tzl÷?）+（49+%））=1°。=1。乂3=30

分組求和

12.已知拋物線(xiàn)C：V=8x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為;的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于A,B

兩點(diǎn)，則IABI=（）.

A.8B.8√2C.16D.32

【正確答案】C

【分析】根據(jù)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求得正確答案.

【詳解】焦點(diǎn)F（2,0）,直線(xiàn)/的方程為y=x-2,

y=x-2.

由｛2C，消去N并化簡(jiǎn)得X-I2X+4=0,A=144-16=128>0,

y=8x

設(shè)4（內(nèi),y）,8（孫％），所以X∣+*2=12,

所以IASl=xλ+x2+p=12+4=16.

故選：C

13.設(shè)拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為L(zhǎng)P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),PALI,A為垂足.如

果直線(xiàn)AF的斜率為-√L那么IPFl=

A.4√3B.8C.8√3D.16

【正確答案】B

【詳解】設(shè)A（-2,t）,人“?3?"?/-4\3,?,?∕,（6,4γ3），歸尸|=8

一4

14.若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足q+4+4++4=3〃-2,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A.a,=2×3n-'B.a,,=3×（∣Γ1

fl,H=I

C.凡=3〃-2D.〃”=<.

w〃[3?Γ,nr≥

【正確答案】D

【分析】根據(jù)遞推數(shù)列的性質(zhì)，可以得到4+出+/++α,,τ=3"T-2,兩式相減，即可得

到的表達(dá)式；此時(shí)要注意首項(xiàng)是否符合通項(xiàng)公式.

【詳解】因?yàn)椋?%+%++%=3"-2,

所以4+/+/++a%1=3"T-2,〃≥2,

兩式相減，得∕=2x3"τ,且當(dāng)〃=1時(shí)，4=2,

在原式中，首項(xiàng)q=3∣-2=1,

二者不相等，所以4,=[τ∕,t=[

[3;,〃衣

故選：D

在拋物線(xiàn)V=4√7X的準(zhǔn)線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的方程為

【正確答案】D

【詳解】試題分析：雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)是y=2χ,則石=土①，拋物線(xiàn)y=4"x的準(zhǔn)

線(xiàn)是x=-√f,因此c=√7,即合+〃=Ο2=7②，由①②聯(lián)立解得,所以雙曲線(xiàn)方

程為《-21=1.故選D.

雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

16.圓C:(x-l)2+(y-l)2=2關(guān)于直線(xiàn)/：y=x-l對(duì)稱(chēng)后的圓的方程為()

A.(X-2)2+∕=2B.(X+2)^+y~=2

C.x2+(y-2)2=2D.X2+{y+2)2=2

【正確答案】A

【分析】由題可得圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，半徑不變，進(jìn)而即得.

【詳解】圓C：(X-I)2+(y-l>=2的圓心(1,1)半徑為痣，由/:y=x-l得勺=1,

設(shè)圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(肛〃)，則

-----------------I=U、

22

所以對(duì)稱(chēng)圓的方程為(x-2f+y2=2.

故選：A.

17.設(shè)S,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若―12,-6,則率=()

33

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知先求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可利用求和公式求出.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為。，

q=2

a3-a]=%q--aλ=6q=2

2×(l-26)

則5=

6126，S3

故選：C.

2，

18.己知"、"是橢圓￡+強(qiáng)?=l(a>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)死的直線(xiàn)與橢圓交于A、B兩

點(diǎn),若|的|:|ABl:忸/=3:4:5,則該橢圓的離心率為()

√3-l

B.2-√3

2D?T

【正確答案】D

【分析】利用勾股定理得出NKA吊=90,利用橢圓的定義求得IA制、IAgI,利用勾股定

理可得出關(guān)于〃、C的等量關(guān)系，由此可解得該橢圓的離心率.

【詳解】如下圖所示，設(shè)IA周=3/,則MM=4f,忸用=5f,所以，?AFtf+?ABf=?BFl^,

所以，ZfJAF,=90,

由橢圓定義可得IM+M+∣甌=⑵=4a,.」=*.?.∣A用=3f=4,

所以，∣A周=為T(mén)A娟=4,

所以，“片鳥(niǎo)為等腰直角三角形，可得卜用2+[4閭2=忻段2,二2片=402,

所以，該橢圓的離心率為e=￡=立.

a2

故選：D.

方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線(xiàn)的離心率的方法如下：

(I)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得“、C的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e

的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、C的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.

19.若雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)卜6,6),且它的兩條漸近線(xiàn)方程是y=±3x,則雙曲線(xiàn)的方程是().

A.匕-￠=1B.--y2=↑

99

【正確答案】A

【分析】由漸近線(xiàn)方程可設(shè)雙曲線(xiàn)為χ2-f=m且機(jī)力0,再由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，將點(diǎn)代入求

9

參數(shù)〃3即可得雙曲線(xiàn)方程.

【詳解】由題設(shè)，可設(shè)雙曲線(xiàn)為一一3=根且加工0,又卜行,6)在雙曲線(xiàn)上，

所以機(jī)=3-^=-1,則雙曲線(xiàn)的方程是[-W=].

故選：A

20.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列｛4｝中，若。,川-片+。,1=0(〃22),

則邑”-1-4〃=

A.-2B.OC.1D.2

【正確答案】A

【詳解】試題分析:根據(jù)等差數(shù)列｛q｝性質(zhì)可知&用+%τ=2%5≥2),所以2αf,-αj=0,

因?yàn)閝,≠0,所以4=2,則S2,I-4〃=（2〃-1）X2—4〃=-2,故選A.

等差數(shù)列.

21.數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足4=H?土衛(wèi)士，則數(shù)列］一」|的前”項(xiàng)和為()

n??n

A.----B.------

H+1〃+2

c?二D.烏

72+1〃+2

【正確答案】D

【分析】利用等差數(shù)列的前”項(xiàng)和公式得到?！?，進(jìn)而得到」一=4(一=--y,利用裂

項(xiàng)相消法求和.

M(1+n)

【詳解】依題意得：〃+1，

an=---=K

n2

；.，=4=4P---Q

("+l)("+2)?n+?n+2J'

22

22.已知拋物線(xiàn)V=4x與雙曲線(xiàn)￡-￡=l(a>O,b>O)有相同的焦點(diǎn)F,點(diǎn)A是兩曲線(xiàn)的一

個(gè)交點(diǎn)，且A尸_Lx軸，則雙曲線(xiàn)的離心率為()

A.√2+2B.√5+lC.√3+lD.√2+l

【正確答案】D

【分析】由拋物線(xiàn)V=4x可得雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F(1,O),根據(jù)題意列式求解。，即可得雙

曲線(xiàn)離心率.

【詳解】由拋物線(xiàn)V=4x可得焦點(diǎn)廠(1,0),則雙曲線(xiàn)/，=1的右焦點(diǎn)為F(l,0),即c=l,

若AF_LX軸，可設(shè)4(1,%),則巾=4,

a2+?2=1

由題意可得：14，解得4=√∑T,

二雙曲線(xiàn)的離心率為e=?=7占=應(yīng)+L

故選：D.

23.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，首項(xiàng)4=1,且滿(mǎn)足“e+4=3?2",則SU的值為()

A.4093B.4094C.4095D.4096

【正確答案】A

【詳解】由遞推公式確定通項(xiàng)公式為=(T)"+2",再求SU即可.

n+

3-2-an-2"'

?-2"

所以｛q-2"｝是首項(xiàng)為_(kāi)1,公比為T(mén)的等比數(shù)列，所以勺=(7)"+2",

2

貝IlSU=q+4++all=-l+2'+l+2+-1+2"=-1+^^-^==4093

故選：A

24.已知函數(shù)/(x)=x+3Sin(X-；)+；,數(shù)列｛/卜滿(mǎn)足/=［有，則

\乙)乙Zλ)Λj

/(2+/3)+…+/(%)22)=()

A.2022B.2023C.4044D.4046

【正確答案】A

【分析】先求得/(x)+∕(Jx)=2,然后利用倒序相加法求得正確答案.

［詳解］???”>x)=>x+3Sin

2TP

.?.∕(x)+γ?(ι)=2.

.._n2023-n_

a+a+

?n2O23-n-示應(yīng)2023-'

2

?,?∕(?)+∕(?-n)=?令S=∕(αJ+∕(αJ+…+/(?β2),

則S=∕(α2022)+∕(a202])H-----b∕(aj,兩式相加得2S=2x2022,

???S=2022.

故選:A

25.在數(shù)列｛%｝中，q=2,4%="+ln(l+'),則凡等于()

n+?nn

A.2÷wln∕ιB.2λt+(π-l)lnn

C.2n+n?nnD.?+n-vn?ntι

【正確答案】C

【分析】將給定的遞推公式變形，再借助累加法計(jì)算作答.

【詳解】因&L=2+ln(l+L,則有3L-%=ln("+l)-ln”,

n+1nnn+?n

于是得，當(dāng)“≥2時(shí),個(gè)葉+(/*)+仔號(hào))++?^?

=2+(in2-In1)+(in3-In2)++[ln〃-ln(〃-l)]=2+ln〃，

因此，an=2n+n?nn,顯然，α1=2滿(mǎn)足上式，

所以〃“=2〃+〃In〃.

故選：C

26.過(guò)點(diǎn)M（2,3）作圓/+y2=4的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為A、B,則直線(xiàn)AB的方程為（）

A.x+2y-2=0B.2x÷3y-4=0C.2x-3y-4=0D.3x+2y-6=0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，可知圓/+丁=4的圓心為。（0,0）,半徑r=2,由切線(xiàn)長(zhǎng)公式求出M4

的長(zhǎng)，進(jìn)而可得以“為圓心，M4為半徑為圓，則AB為兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)，聯(lián)立兩

個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，可知圓f+y2=4的圓心為O（0,0）,半徑r=2,

過(guò)點(diǎn)“（2,3）作圓χ2+V=4的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)分別為A、B,

而IMa=J2?+32=屈，則IMAI=JlMa、4=3,

則以Λ/為圓心，為半徑為圓為(x-2y+(y-3)2=9,即圓V+/-4x-6y+4=0,

22

[χ+y=4

所以A8為兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)，則有2，，，，，、，

[x+y^-4x-6y+4=0

作差變形可得：4x+6y-8=0,

即直線(xiàn)AB的方程為2x+3y-4=0.

故選：B.

27.若函數(shù)%+∣=/(%),則稱(chēng)/(x)為數(shù)列｛%｝的“伴生函數(shù)”，已知數(shù)列｛《,｝的“伴生函數(shù)”

為/(x)=2x+l,q=l,則數(shù)列｛““｝的前”項(xiàng)和(=()

A,〃2+2一如』B,"?2向+2一業(yè)⑴

22

C.("-l)?2"+∣+2-及詈D.(“_1).2"+2,(7)

【正確答案】C

【分析】由已知可得數(shù)列｛%+l｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為q+1=2,公比也為2,從而可求得

a=2',-l,則∕∞,,="?2"-",從而可表示出(=1X2∣+2X22+令

n2

H(Λ)=1×2I+2×22++n-T,利用錯(cuò)位相減法可求出”5),從而可求得結(jié)果

【詳解】依題意，可得4用=2q,+l("∈N*),所以〃向+1=2(q+1)>0,BPyTT=2.

故數(shù)列｛%+l｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為q+l=2,公比也為2,

所以4,+1=22-=2",

所以α,=2"T,所以，叫,=〃-2"-〃，

所以7>lχ2∣+2χ2∣++n-2--(?+2++?)=1×2'+2×22+.+n-2"-^^-.

令"(")=1X2∣+2X22++n-2",

則2〃(〃)=1x2?+2X2∣++(n-l)-2π+n?2n+,,

兩式相減，得一H(,)=2∣+22++2',-n-2"+'=2n+'-2-n-2n+',

所以，(")=("T?2"+'+2,

所以T5)=(7-l>2"∣+2-,(;+”.

故選：C.

13

28.點(diǎn)M為拋物線(xiàn)y=上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N為圓Y+y2-2y+τ=0上任意一點(diǎn)，若函

44

數(shù)/(x)=Iog∕x+2)+2(4>l)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)p,則∣MP∣+IMNl的最小值為()

A.2B.-C.3D.—

244

【正確答案】A

計(jì)算P(T,2),則Wpl+1MN曰MPl+1MFl-g≥PO-g,計(jì)算得到答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=log"(x+2)+2(α>l)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(-1,2),故尸(-1,2).

y=j?/,即￠=4,,焦點(diǎn)為∕7(0,l),準(zhǔn)線(xiàn)為y=-l,

X2+y2-2y+^=0,即犬+(y—l)2=；.

?MP?+?MN?≥?MP?+?MF?--≥PD-^=3-^=^,當(dāng)PMD共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立.

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，拋物線(xiàn)的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

29.正項(xiàng)數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)的乘積7；=（；）?"（〃∈N+）,?,,=Iog2??,則數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S,,

中的最大值是（）

A.S6B.S5C.S4D.S3

【正確答案】D

【分析】由已知，求得他“｝的通項(xiàng)公式，再求得數(shù)列也J的通項(xiàng)公式，繼而求得S“中的最大

值.

【詳解】由已知當(dāng)〃=1時(shí)，4=Z=(J)7=4',當(dāng)〃≥2時(shí)，an=?=?2π7,〃=1時(shí)也適合