2023-2024學(xué)年上海市控江中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

控江中學(xué)高三上期中考試試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生應(yīng)在

答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.不等式％+1的解集為.

2,函數(shù)，=但（'-5x+4）的定義域?yàn)?/p>

2+4i

3.復(fù)數(shù)1+i（其中i為虛數(shù)單位）的虛部為.

4.已知。為實(shí)數(shù).若關(guān)于x的方程%2-4%+。=°有一個(gè)根為2+i（其中i為虛數(shù)單位），則”的值為.

5.已知“為實(shí)數(shù)，若數(shù)據(jù)1,2,4,6的平均數(shù)為3,則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.

/0、gtana+—=-3tanp——

6.若tan（a+Q）=3,（4J，則（3的值為.

7,已知。為實(shí)數(shù).若＞=/（"）是定義在R上偶函數(shù)，且它在區(qū)間［°'+°°）上是嚴(yán)格增函數(shù)，則使得了（“）"/0）

成立的a的取值范圍是.

8,某工廠生產(chǎn)A、8兩種型號(hào)的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為2:3.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)樣本容量為〃的樣本,

則其中A種型號(hào)的產(chǎn)品有1。件，現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時(shí)含有A型號(hào)產(chǎn)品的概率為.

（p&\--X--

9,已知I2,2）t若函數(shù)/（x）=sm（3x+°）的圖像關(guān)于直線x-5對(duì)稱，則夕的值為

10.如圖所示，兩塊斜邊長(zhǎng)均等于血的直角三角板拼在一起，則的值為.

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體—中，點(diǎn)4、鳥(niǎo)分別是線段A3、82（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段

平行于平面fA.若M=2piB,則四面體利做的體積為

a2+b2+a

12.已知/（*）=/+2。23°若實(shí)數(shù)“力€（°，+00）且卜/卜=。

2,則此的最小值為

二、選擇題（本大題滿分18分，4+4+5+5=18）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑.

13.對(duì)任意向量a、力，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.（a+/?）=1+qB.+=a"—//

C.|a-Zj|<pz|-|/?|D.<|o|-|/?|

14.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為1和石，將該三角形分別繞其兩條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到兩個(gè)圓

錐，則這兩個(gè)圓錐的體積的比值為（）

A.1B.6C.3D.3月

15.已知函數(shù)y=/（x）,xeR.若〃1）<〃2）成立，則下列論斷中正確是（）

A.函數(shù)/（X）在（-oo,+o。）上一定是增函數(shù)；

B.函數(shù)/（x）在（-co,+oo）上一定不是增函數(shù);

C.函數(shù)“X）在（3,+8）上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)“X）在（YO,+oo）上不可能是減函數(shù).

2兀47r67r247r

x|x=sin^^+sin^—+sin——+---+sin——,Z:eZ,Z:>0^,則集合A的元素個(gè)數(shù)為

{2023202320232023

)

A.1011B.1012C.2022D.2023

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,高為3,底面半徑為2.

（1）求該圓錐的側(cè)面積;

（2）設(shè)Q4、。8為該圓錐的底面半徑，且NAO5=90，M為線段A3的中點(diǎn)，求直線與直線。8所成的

角的大小.

18.已知。為實(shí)數(shù)，設(shè)/（可=/+卜-。|.

(1)若a=l,求函數(shù)y=/(x),xeR最小值;

(2)判斷函數(shù)y=/(x),xeR的奇偶性，并說(shuō)明理由.

19.如下圖所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路。經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A、8、C.景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)

O.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)。位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向16km處，位于景點(diǎn)8的正北方向，還位于景點(diǎn)。的北偏西75。方向

上.已知AB=10km.

(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)。向景點(diǎn)8修建一條筆直的公路.求線段8D的長(zhǎng)度(長(zhǎng)度單位精確到o.lkm)；

(2)求線段AC的長(zhǎng)度(長(zhǎng)度單位精確到O.lkm)(V3?1.732).

20.已知人為實(shí)數(shù)，/(x)=2sin2(：+x1-hcos2_x.

(1)若％=0,求關(guān)于x的方程〃力=1在［(),兀］上的解；

(2)若攵=&,求函數(shù)y=.f(x),xeR的單調(diào)減區(qū)間；

(3)已知。為實(shí)數(shù)且左=內(nèi)，若關(guān)于x不等式|/(力—4<2在xw:e時(shí)恒成立，求。的取值范圍.

2

21.己知實(shí)數(shù)a>0,設(shè)/(x)=—

(1)若a=3,求函數(shù)y=/(x),xeR的圖象在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程；

(2)若a=§,求函數(shù)y=.f(x),XG(2,+OO)值域；

(3)若對(duì)于任意的XIe(2,+?),總存在We(l,+8),使得/(玉)?/(w)=l，求”的取值范圍.

控江中學(xué)高三上期中考試試卷

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分)考生應(yīng)在

答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.不等式x+1的解集為.

【答案】(-1,2)

【分析】

根據(jù)分式不等式的解法得(x-2)(x+1)<0,再解二次不等式即可得答案.

【詳解】解：由分式不等式的解法得原不等式分<0等價(jià)于(x-2)(x+l)<0,

解不等式(x-2)(x+l)<0得—l<x<2.

故不等式7<0的解集為(-1,2).

故答案為：(-1,2)

2.函數(shù)y=lg(f—5x+4)的定義域?yàn)?

【答案】(4,”)U(9,1)

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零，解不等式即可求得結(jié)果.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義可得V—5%+4>0,解得x>4或x<l,

所以函數(shù)定義域?yàn)?4,小>。)YO,1).

故答案為：(4,+oo)u(-oo,l)

2+4i

3.復(fù)數(shù)丁一(其中i為虛數(shù)單位)的虛部為.

1+1

【答案】1

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出結(jié)果即可作答.

【詳解】?=蕓*=貨=3+1,

1+1(1+1)(1-1)2

所以復(fù)數(shù)——2+54■i的虛部為1.

1+1

故答案為：1

4.己知。為實(shí)數(shù).若關(guān)于x的方程4x+a=0有一個(gè)根為2+i（其中i為虛數(shù)單位），則“的值為

【答案】5

【分析】依題意可得方程的另一個(gè)根為2-i，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程/一4x+a=0（。為實(shí)數(shù)）有一個(gè)根為2+i，

所以另一個(gè)根為2—i，

則a=（2+i）（2-i）=5.

故答案為：5

5.已知。為實(shí)數(shù)，若數(shù)據(jù)1,2,。，6的平均數(shù)為3,則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.

【答案】^##-714

22

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.

【詳解】依題意］（1+2+。+6）=3,解得。=3,

7

所以方差為！［（）（）（）（）-

1—32+2—32+3-32+6-322-

4L

則標(biāo)準(zhǔn)差為=恒.

\22

故答案為：叵

2

6.若tan(a+/?)=3,tan|a+：)=-3,則tan],一:J的值為,

3

【答案】丁《75

【分析】根據(jù)tan尸一：=tan（a+尸）—a+￡利用兩角差的正切公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閠an（a+6）=3,tan(a+巳=-3,

(兀'

所以tan|/?——=tan(a+⑶a+

I4J

tan(or+尸)-tan［a+：J

l+tan(a+/7)tan^a+

3+3^3

-l+3x(-3)--4,

故答案為：-巳3

4

7.已知“為實(shí)數(shù).若y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且它在區(qū)間［0,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，則使得

成立的。的取值范圍是.

【答案】［3,”)U(e,—3］

【分析】利用偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反可得函數(shù)y=/(x)在(-0,0］上單調(diào)遞減，解不等式同？3即可

求得。的取值范圍.

【詳解】由>=/(X)是定義在R上的偶函數(shù)且在［0,+紇)上是嚴(yán)格增函數(shù)可知，

函數(shù)>=/(%)關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(7,0］上單調(diào)遞減，

即/(X)在)，軸處取得最小值，離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，

若/(a)N/(3)可得,一0|習(xí)3—0|,

B|j|a|>3,解得a?3或a<—3,

所以。的取值范圍是［3,4^)U(-8,-3］.

故答案為：［3,+8)(-00,-3］

8.某工廠生產(chǎn)A、8兩種型號(hào)的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為2:3.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個(gè)樣本容量為〃的樣本,

則其中A種型號(hào)的產(chǎn)品有1()件，現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時(shí)含有A型號(hào)產(chǎn)品的概率為.

【答案】4359

【分析】首先求出樣本中8種型號(hào)的產(chǎn)品數(shù)量，再由組合數(shù)公式及古典概型的概率公式計(jì)算可得.

3

【詳解】依題意樣本中8種型號(hào)的產(chǎn)品有10x-=15件，

2

現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品共有C；5種取法，其中含有A型號(hào)產(chǎn)品的有C；o+C；°C；5種取法，

C；°+C；°C5_39

所以含有A型號(hào)產(chǎn)品的概率p=

C；560

39

故答案為:

60

37r

9.己知。e若函數(shù)/（x）=sin（3x+°）的圖像關(guān)于直線x=1-對(duì)稱，則9的值為

3兀3

【答案】一記##一亦

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性計(jì)算可得.

37r

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=sin（3x+o）的圖像關(guān)于直線x對(duì)稱，

3兀TI13兀

所以3x--1（p=—FkukwZ,解得（p-------Fkuk￡Z,

52f109

又濟(jì)卜5；｝所以右一正

37r

故答案為：一

10.如圖所示，兩塊斜邊長(zhǎng)均等于血的直角三角板拼在一起，則QD.B4的值為.

【答案】1

【分析】由圖可知。。?BA=（（M+A￡>）-BA,利用向量數(shù)量積定義代入夾角和模長(zhǎng)即可得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可知，。4=。3=1,AD=旦;

2

所以可得

ODBA=（OA+AD）BA=OABA+ADBA^lxy[2cos45+當(dāng)x0cos9O=1,

即OZ>5A的值為1.

故答案為：1

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。一44G2中，點(diǎn)打、鳥(niǎo)分別是線段AB、BDI（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段

P\P?平行于平面aAO4.若A片=2RB,則四面體P]P2AB]的體積為.

【答案】上

【分析】由線面平行的性質(zhì)定理可得,易知鳥(niǎo)到平面A《用的距離為A到平面A《用的距離的;,由

錐體體積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示：

由線段62平行于平面AAO。，且平面AB",平面A平面4BA=AR,

由線面平行的性質(zhì)定理可得，

2

由可得又正方體棱長(zhǎng)為1,可得A6=g

171

所以的面積為S=—X—xl=—,

233

設(shè)鳥(niǎo)到平面4的距離為d,

.11

易知D｝到平面APtB］的距離為A。=1,由08=2P2B可得d=§AA=§；

所以四面體的體積為V=，SM=：x|x|=」-.

JJJ。乙/

故答案為：—

27

12.已知/(X)=V+2023X,若實(shí)數(shù)。力?0,網(wǎng)且了值一3。1+/&一/=0,則-+?+"的最小值為

12)\2Jab

【答案】5

【分析】易知函數(shù)/(x)=Y+2023》為奇函數(shù)，可得3。+。=1,則①+"+"=:+丑+1利用基本不等式即

abab

可求得其最小值為5.

【詳解】易知函數(shù)/(x)=x3+2023x的定義域?yàn)镽,且滿足/(—x)=—丁―2023X=—/(X),

可得函數(shù)〃x)=d+2023x為奇函數(shù)，

(\}11

若/工一3。+/--b=0可得一一3。+——b=0,即3。+匕=1；

U)22

cru.a'+b~+aab1ab3a+bab3a,b4alb4a,=

abbabbabbabab\ab

b4a12

當(dāng)且僅當(dāng)t二F時(shí)，即4=—/=—時(shí)，等號(hào)成立；

ab55

即才+”+”的最小值為5

ab

故答案為：5

二、選擇題(本大題滿分18分，4+4+5+5=18)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑.

13.對(duì)任意向量力，下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.+=|a+/?|B.[a+b^-（a-b^~a-b

C.|a-^|<|a|-|^|D.<|o|-|/7|

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量平方即為模的平方.即可判斷A；運(yùn)用平方差公式和向量數(shù)量積的性質(zhì)，即可判斷B；運(yùn)用向量數(shù)量

積的定義，即可判斷C；運(yùn)用向量模的性質(zhì)，即可判斷D.

【詳解】A,由模的平方等于向量的平方知(。+。『=卜+42恒成立，故正確；

B,由平方差公式知(。+分(4叫=1一〃2恒成立，故正確；

C1?司=同似cos(d,〃)4同似恒成立,故正確；

D,當(dāng)不共線時(shí)，由三角形中兩邊之差小于第三邊知，,一0＞卜卜M，故卜一q4自卜,|不恒成立，故D

錯(cuò)誤.

故選：D

14.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為1和6，將該三角形分別繞其兩條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到兩個(gè)圓

錐，則這兩個(gè)圓錐的體積的比值為()

A.1B.6C.3D.373

【答案】B

【分析】根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.

【詳解】繞邊長(zhǎng)為1的直角邊旋轉(zhuǎn)得到圓錐的半徑彳=6，高4=1,

所以圓錐的體積乂=：兀424=：兀*(6『>1=兀；

繞邊長(zhǎng)為V3的直角邊旋轉(zhuǎn)得到圓錐的半徑4=1，高飽=G，

所以圓錐的體積匕=」兀]"兀xFxG=叵;

23233

匕=」-=6

所以匕&

丁

故選：B

15.已知函數(shù)y=/(x),xeR.若/⑴</(2)成立，則下列論斷中正確的是()

A.函數(shù)/(x)在(，》,+?)上一定是增函數(shù)；

B.函數(shù)“X)在(-<?,”)上一定不是增函數(shù)；

C.函數(shù)“X)在(F,+8)上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)/(x)在(，&+?)上不可能是減函數(shù).

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x),xeR且〃1)<〃2)成立，

則函數(shù)/(x)在(，》,中?)上不可能是減函數(shù)，可能是增函數(shù)，也可能不是增函數(shù)，

如/(x)=d,滿足但是“X)在(9,土?)上不具有單調(diào)性,

故D正確，A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D

16.設(shè)集合A=(x|x=siir27t,+sin-4兀_+$抽_(kāi)6無(wú)_+…+$論-？①wZ,k>。，則集合A的元素個(gè)數(shù)為

[12023202320232023

()

A.1011B.1012C.2022D.2023

【答案】A

【分析】依題意由表達(dá)式中角特征可知當(dāng)0＜Z?1011?wZ時(shí),sin——的取值各不相同，當(dāng)左21012時(shí)

2023

利用誘導(dǎo)公式以及集合元素的互異性即可求得元素個(gè)數(shù)為1011.

此時(shí)sin2?；

【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)左eZ時(shí)，——e（0,7r）,

2023''2023''

2女兀7T

又因?yàn)?023為奇數(shù)，2A為偶數(shù)，且——中的任意兩組角都不關(guān)于一對(duì)稱,

20232

2^7T

所以sin——的取值各不相同，因此當(dāng)0＜女＜1011,AreZ時(shí)集合A中x的取值會(huì)隨著攵的增大而增大,

2023

所以當(dāng)％=1011時(shí)，集合A中有1011個(gè)元素;

當(dāng)攵=1012時(shí)，易知

2兀4兀2022兀2024兀

x=sin------i-sin+…+sin+sin

2023202320232023

2TI4兀.202271.{兀

sin----+sin+?一+sm------+sin7i+

202320232023I2023

2兀.4兀.2022兀兀

=sin------bsin-----+,??-i-sin--------sin---

2023202320232023

2022n.兀

又易知sin=sin——,所以可得

20232023

.2K.4兀.2022兀.2024712兀4兀,2020n:

x—sin------Fsin------1---i-sin+sin=sin------bsin---+—i-sin------

20232023----------20232023202320232023

即左=1012時(shí)x的取值與k=1010時(shí)的取值相同,

根據(jù)集合元素的互異性可知，k=1012時(shí)并沒(méi)有增加集合中的元素個(gè)數(shù)，

以此類推可得當(dāng)A21012時(shí)，集合A中的元素個(gè)數(shù)并沒(méi)有隨著人的增大而增加，

所以可得集合A元素個(gè)數(shù)為1011個(gè).

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于通過(guò)觀察集合中元素的特征，利用的三角函數(shù)值的范圍以及圖象的對(duì)稱

性，由集合中元素的互異性得出當(dāng)《21012時(shí)，集合A中的元素個(gè)數(shù)并沒(méi)有隨著人的增大而增加即可求得結(jié)果.

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,高為3,底面半徑為2.

p

A

（1）求該圓錐的側(cè)面積;

（2）設(shè)Q4、。8為該圓錐的底面半徑，且NAO5=90，/為線段AB的中點(diǎn)，求直線PM與直線。8所成的

角的大小.

【答案】（1）2屈n

（2）arccos—

11

【分析】（1）由圓錐的高和底面半徑求出母線長(zhǎng)，利用側(cè)面展開(kāi)圖即可求得側(cè)面積為2而兀;

（2）作出異面直線與0B所成角的平面角，即可求得其大小.

【小問(wèn)1詳解】

由圓錐性質(zhì)可知QPL平面AO8,易知高/?=OP=3,底面半徑r=OB=2,

可得母線長(zhǎng)/=律方=/，

所以圓錐側(cè)面積S=兀"=2屈兀

【小問(wèn)2詳解】

取。4的中點(diǎn)為N,連接PN,MN,如下圖所示:

因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，所以MN//OB,因此NPMN（或其補(bǔ)角）就是直線與直線。8所成的角,

又NAOB=90，即OPVOB,

且0P,Q4u平面PQ4,OP04=0,即OB_L平面PCM,

所以MN_L平面PQA,

即肱V_LPN；

在RtzXPNM中，易知PN=M,MN=1,PM=舊,

，八…MNiVHVn

cos/PMN=----=—j==----,因此LL4PMN=arccos-----

PM1111

即直線PM與直線OB所成的角的大小為arccos—

11

18.已知a為實(shí)數(shù)，^f（x）=x2+\x-a\.

（1）若a=l,求函數(shù)＞=/（x）,xeR的最小值；

（2）判斷函數(shù)＞=/（%）,xeR的奇偶性，并說(shuō)明理由.

3

【答案】（1）-

4

（2）當(dāng)a=0時(shí)/（X）為偶函數(shù)，當(dāng)aH0時(shí)“X）為非奇非偶函數(shù).

【分析】（1）首先得到了（力的解析式，將其寫成分段函數(shù)，再分段利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出函數(shù)的最小值，即

可得解；

（2）分別判斷＞=/、y=的奇偶性，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)4=1時(shí)/（力=%2+,-11=/2+"-''1，

尸一冗+1,XV1

當(dāng)X21時(shí)/（x）=f+x-l,函數(shù)在［1,欣）上單調(diào)遞增，則/（x%n=/（l）=l,

當(dāng)X＜1時(shí)/（x）=d-x+l,函數(shù)在（_0O,g上單調(diào)遞減，在C，l）上單調(diào)遞增，

所以〃丁=七（1A3

綜上可得了（無(wú)）1nhi

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?（刈=/+上-可定義域?yàn)镽,

又為偶函數(shù)，y=|乂為偶函數(shù),

所以當(dāng)a=0時(shí)/（x）=f+W為偶函數(shù)，

當(dāng)arO時(shí)丁=上一《關(guān)于x=a對(duì)稱，此時(shí)y=卜一《為非奇非偶函數(shù)，

所以〃”=/+卜-3為非奇非偶函數(shù)，

綜上可得：當(dāng)a=O時(shí)"X）為偶函數(shù)，當(dāng)a#0時(shí)/（x）為非奇非偶函數(shù).

19.如下圖所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路〃經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A、8、C.景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)

“經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)。位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向16km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)。的北偏西750方向

上.已知AB=10km.

（1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)。向景點(diǎn)8修建一條筆直的公路.求線段5。的長(zhǎng)度（長(zhǎng)度單位精確到0.1km）；

（2）求線段AC的長(zhǎng)度（長(zhǎng)度單位精確到0/km）（73?1.732）.

【答案】（1）7.9km

（2）19.6km

【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；

（2）先求出NDW，NAOC的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出sin/ACD,最后利用正弦定理計(jì)

算可得.

【小問(wèn)1詳解】

依題意可得NAD3=30°,AD=16,AB=10,

在△ABO中由余弦定理Afi?=AZ??+B￡）2—2AD,BDCOSZADB，

即10?=16?+BO?—2x16x8。cos30°，即一1+156=0，

解得80=8百+6>16（舍去）或50=8G-647.9，

所以線段8。的長(zhǎng)度約為7.9km.

【小問(wèn)2詳解】

ABBD

/ADB中，=，

sinZADBsinZDAB

../inBD-sinZADB4e-3

??sin/DAB=------------------=----------,

AB10

.36+4

??cosNDAB-----------,

10

在,ACD中，ZADC=ZADB+ZBDC=30°+75°=105°,

:.cosZADC=cos105°=cos(60°+45°)

r

=cos60°cos45O-sin60°sin45°=----------,

4

V2+V6

sinZADC=sin105°=sin(60°+45°)=

4

sinZACD=sin[180°-(ZZMC+ZADC)]

=sin(ZmC+sinZACD)

=sinADAC-cosZADC+cosADAC-sinZADC

473-3V2-V63肉4V2+V67逐一血

=----------------X---------------------1------------------X-------------------=----------------------

10410420

V2+V6

又sinZBDC=sin75°=sin(180°-105°)=sinl05°=

4

BCBD

在uBDC中由正弦定理

sinZBDCsin/BCD

BC_873-6

‘解得8C="鏟'9.6,

即立+瓜-

2(n

所以線段AC的長(zhǎng)度約為10+9.6=19.6km.

20.已知化為實(shí)數(shù)，/(x)=2sin—+xcos2x.

4J

⑴若k=0,求關(guān)于X的方程〃x)=l在［(),兀］上的解；

⑵若k=也,求函數(shù)y=.f(x),xeR的單調(diào)減區(qū)間；

(3)已知“為實(shí)數(shù)且左=由，若關(guān)于x的不等式|/(同一［＜2在xe時(shí)恒成立，求〃的取值范圍.

TT

【答案】(1)%=0或》=:或X=7l

2

5兀,1171,

(2)----Hkn,-----1-kn,kGZ

1212

(3)[1,4]

【分析】(1)利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(2)利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(3)依題意可得-2+a</(x)<2+a在xw時(shí)恒成立，求出/(x)在上值域，即可得到不等式

組，解得即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=2sin2(3+x)-&-cos2x

=1-cos2四+x-攵?cos2x

(4)

=1-cos\—+2x\-k-cos2x

(2)

=l+sin2x—Z?cos2x,

當(dāng)攵=0時(shí)/(x)=l+sin2x,由/(x)=l,則sin2x=0,

所以2x=覬水eZ,解得x=—,&GZ,

2

所以方程/(x)=l在[(),可上的解為x=0或x或x=n.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)女=6時(shí)/(x)=1+sin2x-V3cos2x=1+2sin

令？+2kn<2x--<—+2kli,keZ,

232

解得2++keZ,

1212

57r]]TT

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為^+kn,—+kit,kwz.

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)女=百時(shí)/(x)=l+2sin(2x-1),

關(guān)于x的不等式|/(同一《<2在xe時(shí)恒成立，

兀71

關(guān)于X不等式-2+a</(x)<2+a在xe時(shí)恒成立,

兀兀71兀2兀?1兀兀、

由xe-,貝!]2%一不€7,丁，所以sin12x一4卜

[42J33

f2+_

則〃x)e[2,3],所以《「一二，解得"a",

即。的取值范圍為[1,4].

2

21.已知實(shí)數(shù)4>0,設(shè)/(x)=-

(1)若〃=3,求函數(shù)y=/(x),xeR的圖象在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程；

(2)若。=：，求函數(shù)N=.f(x)，xe(2,+x))的值域；

(3)若對(duì)于任意的F?2,物)，總存在w《l,+8),使得/(A,)\f(w)=l，求〃的取值范圍.

【答案】⑴4x+y-3=0

(2)(-oo,3]

33

⑶憶手

【分析】⑴求出r(i),〃i),寫出切線方程即可;

(2)確定當(dāng)x?2,+x>)時(shí)y=/(x)的單調(diào)性再求值域;

(3)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、零點(diǎn)，A="(x)|xe(2,T8)},集合3={JFX€(1,+OO)J(X)HO},由題意

/(-V)

33

知由OeA時(shí)不成立知二42,討論一與1的大小關(guān)系求出滿足的。的取值范圍.

2a2a

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閍=3,/(x)=x2-2X5,/(1)=-1,

所以/'(x)=2x-6f,/'⑴=-4.

故點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為y-(—l)=