2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典技巧與方法：局部隔離法

第4講局部隔離法

知識(shí)縱橫

局部隔離法本來(lái)是物理力學(xué)中的一種方法，本來(lái)是指把要分析的物體從相關(guān)

物體體系中隔離出來(lái)，作為研究對(duì)象，只分析該研究對(duì)象以外物體對(duì)該對(duì)象的作用

力，不考慮研究對(duì)象對(duì)其它物體的作用力.我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)中的恒成立問(wèn)題時(shí)，也

常常借助這一方法，利用整體與局部的觀點(diǎn)，隔離出局部的代數(shù)式,通過(guò)充分研究

該代數(shù)式，使所研究的代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行凸顯,進(jìn)而解決整個(gè)問(wèn)題.

典型例題

原函數(shù)中的局部隔離式

【例1】已知函數(shù)/(X)=M+：如果當(dāng)X>0,且XH1時(shí),f(%)>詈+：,求k的

取值范圍.

【解析】由題意知/'(x)-(詈+：)=工匕(21nx+(一")>0.令g(x)=

21nx+(11廣))(x>0),則/(%)=(kT)(；+i)+2x

(i)當(dāng)k<0時(shí)，由g'(x)=心知，當(dāng)%*1時(shí)應(yīng)'(尤)<。.而g(l)=0,

故當(dāng)x￡(0,1)時(shí),g(x)>0,可得三7g(x)>0;

當(dāng)Xe(1,+8)時(shí),g(%)<0,可得，2g(K)>0.

從而當(dāng)X>0,且XA1時(shí),f(%)-(詈+3>0,即f(%)>詈+￡

(ii)當(dāng)0<k<1時(shí).由于當(dāng)x6(1，￡)時(shí),伏—l)(x2+1)+2%>0,故g'(x)>0,

而g⑴=0,故當(dāng)%e(1,匕)時(shí),g(x)>0,可得三7g(%)<0,與題設(shè)矛盾.

(iii)當(dāng)k>l時(shí).此時(shí)g'(%)>0,而g⑴=0,

故當(dāng)％€(1,+8)時(shí),g(x)>0,可得占似%)<0,與題設(shè)矛盾.

綜上所述#的取值范圍為(-8,0).

【點(diǎn)睛】本題點(diǎn)睛意到f(x)—(詈+3=占(21nx+y1))>0,于是構(gòu)造

部分函數(shù)g(x)=21nx+出則三jg(x)>0,求導(dǎo)得g'(x)=?(人"墳l"：

對(duì)k進(jìn)行分類討論，判斷出g(x)的符號(hào)，進(jìn)而解決問(wèn)題.將對(duì)數(shù)單獨(dú)作為一項(xiàng)，只需

求導(dǎo)一次，便不再出現(xiàn)對(duì)數(shù)符號(hào)了.

【例2】已知函數(shù)/"(%)=ax2\nx+b的圖象在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y=

2x—2.

(1)求/(x)在(0以+b)內(nèi)的單調(diào)區(qū)間.

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x2ex—%4—2e*lnx,證明:/(%)+g(x)>1.

【解析】(1)因?yàn)?'(%)=a%(21nx+1),所以f'(l)=a=2.又f(l)=b=。,

所以a+b=2.

當(dāng)0<%<?時(shí)/(%)<0;當(dāng)當(dāng)<%<2時(shí)/(%)>0.

所以/(%)在(0,a+b)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,與,單調(diào)遞增區(qū)間為傳,2).

(2)證明:由(1)知f(x)+g(x)=2%21nx4-%2(ex—%2)—2exlnx=(ex—%2)(%2—

21nx).

設(shè)函數(shù)。(%)=x2—21nx,則。'(%)=2%—

當(dāng)0<久<1時(shí),。'(%)<0;當(dāng)x>1時(shí),?'(%)>0.

所以。(％)>0(x)min=0(1)=1,

所以f(x)+g(x)>ex-x2.

設(shè)函數(shù)h(x)=ex—x2(x>0),則九'(%)=ex—2x(%>0),設(shè)p(x)=ex—2x(%>

0),

則p'(x)=ex—2(x>0),令p'(%)=0,得x=ln2,

則P(%)min=P(ln2)=2(1-In2)>0,

所以3(%)>0,從而/i(x)為增函數(shù)，則h(x)>h(0)=1,

因此/(%)+g(%)>ex-%2>1,故/(%)+g(x)>1.

【點(diǎn)睛】本題第(2)問(wèn)證明的關(guān)鍵是將函數(shù)/(%)4-g(x)進(jìn)行因式分解，得到/(%)+

g(x)=(ex-x2)(x2-21nx),然后分別考慮兩個(gè)局部式子e*-d與%2_21nx的

范圍，即可得證.

事實(shí)上，本題由下面兩個(gè)常見(jiàn)的不等式“拼湊”而成:ex>/+i(%>0)與%一12

Inx.

由e*>x2+1(%>0)0e*—/>i(i),由％—12Inx=%—Inx21=/—

In%2>1(2),

(1)(2)兩式相乘可得(e、-x2)(x2-Inx2)>1,即/(x)+g(x)>1.

【例3】已知函數(shù)/'(%)滿足f(%)=/'(l)exT-f(0)x+；%2；若/(%)>lx2+ax+

b,求(a+l)b的最大值.

【解析】由題意/''(￡)=f'(l)exT—f(0)+%,

令％=1得/(0)=1,所以/(0)=/'(l)e-1=1,即f'(l)=e

所以/(%)=ex-x+jx2,

所以f(x)>|x2+ax+b<=>ex>(a+l)x+b,

設(shè)g(x)=ex,h(x)=(a+l)x+b.

g(x)=砂的圖像是過(guò)(0,1)的曲線C,曲線C隨著x的增大y值增大且圖像下凹.

/i(x)=(a+1)%+b的圖像是過(guò)點(diǎn)(0,b)且斜率為a+1的直線2,如圖.

由e、>(a+1)%+b,則曲線C必在直線L的上方或曲線C與直線I相切.

設(shè)曲線C與直線I的切點(diǎn)為M(xo，yo),曲線C在點(diǎn)M(xo，yo)的切線方程為l:y=

x

e、。％+e?(l-%o),切線的斜率為e》。,在y軸上的截距為砂。(1-x0).

又直線I的斜率為a+1,在y軸上的截距為b,則有=(a+1),口。(1-劭)>b,

xx2x

所以(a+l)b<e°-e°(l—x0)=e°(l—x0),

2x2x

設(shè)t(x0)=e°(l-Xo),xQeR,t'(x0)=e°(l-2x0),

當(dāng)％oe(->0；當(dāng)xoGG，+8),t'(%o)<0,

故tg)有最大值=/所以,(a+l)b的最大值為

【點(diǎn)睛】(1)變形后的不等式兩端的式子分別設(shè)為兩個(gè)函數(shù).一般的,兩個(gè)函數(shù)中應(yīng)

有一個(gè)一次函數(shù)或常函數(shù)(因?yàn)橐淮魏瘮?shù)或常函數(shù)的圖像為直線,便于觀察).

(2)由不等式關(guān)系找出函數(shù)圖像的位置關(guān)系，根據(jù)直線的斜率、截距意義列式求解.

導(dǎo)函數(shù)中的因式分解

【例4】已知函數(shù)f(x)=e*-/一a%.當(dāng)%>0時(shí),f(x)>1-%恒成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

【解析】當(dāng)%>0時(shí),f(x)>1一%,即—

令g(X)=3-4-：+1(%>0),9(%)=(xT"rT)

設(shè)F(x)=ex—x—1,F(%)=ex—l,xE(0,+8),

當(dāng)Xe(0,+oo),F(x)>0/(%)單調(diào)遞增，

故F(x)>F(0)=0,

所以當(dāng)xe(0,1)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(1,+8)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(%)min=g(l)=e-1,

所以aWe-1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,e-1].

【點(diǎn)睛】本題通過(guò)將導(dǎo)數(shù)通分、因式分解，考慮局部隔離式「(%)=曠-％-1,由

熟知的不等式e'2x+l可知ex—x—l20,只需根據(jù)的正負(fù)就可以判斷

出g'(x)的符號(hào)，得到g(x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而解決問(wèn)題.

【例5]已知函數(shù)/(x)=ex~a+Inx.

(1)若a=1,求證:當(dāng)x>1時(shí)/(%)>2%—1;

(2)若存在配>e,使/(%0)<21na,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=1/(%)=e*T+In%/(%)=ex-1+

設(shè)g(x)=ex-1+Inx—2x+l,g'(x)=ex-1+^—2,g"(x)=ex-1—

因?yàn)閤>l,ex-1>1,0<^<1,從而g''(x)=e*T-,>0,

所以g'(%)在(L+8)上單調(diào)遞增，又g'(l)=0,

所以x>1時(shí),g'(x)>0,從而g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g⑴=0,即e*+Inx—2x+1>0(%>1),即e*+Inx>2%—1.

所以當(dāng)%>1時(shí)/(%)>2%-1.

x-a

(2)若存在劭>e,使得/(xo)<21nx0,8Pe°<lnx0,

即存在配>e,使得e。>魯.

ln%o

設(shè)總)=1(%之e),則做)=熹(1政-9

設(shè)u(x)=Inx—(x)=：+/>0,

所以u(píng)(x)=Inx-[在[e,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)x=e時(shí),〃=1-1>0,所以u(píng)(x)>0在[e,+8)恒成立，

所以/(%)>0在[e,+8)恒成立，所以必久)在[e,+8)單調(diào)遞增.

由于％2e,所以h(x)>h(e)=ee,從而由e。>ee,進(jìn)而得a>e.

【點(diǎn)睛】對(duì)于本題的第⑵問(wèn),隔離出局部式u(x)=Inx-3通過(guò)研究心)的性質(zhì),

得到3(%)符號(hào)的判斷結(jié)果,從而使問(wèn)題順利解決

[例6]已知函數(shù)f(%)=sinx—xcosx(x>0).

(1)求函數(shù)/(%)的圖象在6,1)處的切線方程；

(2)若任意xG(0,+8),不等式/(%)<a%3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=》(%),證明:[1+g(J][1+9傳)]…[1+g?)]<Ve.

【解析】(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得/''(%)=xsinx,所以f'G)=p

所以切線方程為y=](x—()+l；

(2)/(%)<ax3=sinx—xcosx—ax3<0,令g(%)=sinx—xcosx—ax3.

貝Ug(%)—xsinx-3ax2=x(sinx—3ax).

令h(x)=sinx—3a%,求導(dǎo)，得八(％)=cosx—3a.

①當(dāng)3aW-1,即a<-1時(shí),3(%)>0恒成立，所以h(%)單調(diào)遞增，

所以h(x)>h(0)=0,所以g'(x)>0,所以g(x)單調(diào)遞增，從而g(x)>g(0)=0,

不符合題意；

②當(dāng)3a21,即a>3寸/⑺<0恒成立，所以依)單調(diào)遞減，

所以九(%)<九(0)=0,所以g'(x)<0,所以g(x)遞減，從而g(%)Wg(0)=0,符合題

，音0、.,

③)當(dāng)—1<3a<1,即——<(I<§時(shí)，由h(0)=1—3a>0,h(兀)=-1—3a<0,

所以在(0,兀)上，存在X0,使得九’(X0)=0,且xe(0/)時(shí)，九’(x)>0=>g'(x)>0,

所以g(%)遞增，所以g(x)>g(0)=0(不符合題意).

綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是由+co).

⑶由(2)可知，當(dāng)a=軻,/(%)<呆3,所以g(%)<X.

又令u(x)=ln(l+x)-x(x>0),求導(dǎo)比'(%)=—<0,

x+1

所以〃(%)遞減，從而〃(%)<u(0)=0,即ln(l+%)<%在(0,+8)上恒成立.

令”=而得ln(1+我)<F,

所以In[1+90)1+帥+嗚)]+…+1++淄]

1,,1一WOW)一1八八

<?

即In([1+9g)][1+5信)卜??[1+gG)D<|

所以[i+gG)][i+。(捌…[i+g(F)]<粕，于是得證.

【點(diǎn)睛】本題第(2)問(wèn)對(duì)g(x)求導(dǎo)后，直接判斷導(dǎo)數(shù)d(%)的正負(fù)不太容易,而通過(guò)

對(duì)局部式h(x)=sinX-3ax的討論，再結(jié)合x>0,就可以確定g'(x)的符號(hào)，使問(wèn)

題的解決更加清晰明了.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知函數(shù)/(%)=ex—ax2.

⑴設(shè)函數(shù)g(x)=f(x),討論g(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xe(1,+8)時(shí),/(%)>]恒成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)由已知，得g(x)=/(X)=ex-2a%,所以g'(x)=ex-2a.

①當(dāng)aW0時(shí),g'(%)>0,g(x)在R上單調(diào)遞增.

②當(dāng)a>0時(shí)，令g'(%)>0,得x>ln2a;

令g’(x)<0,得x<In2a.

所以9(久)在(-8,ln2a)上單調(diào)遞減，在(In2a,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí),g(%)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),g(%)在(-8,In2a)上單調(diào)

遞

減，在Qn2a,+8)上單調(diào)遞增.

(2)/(%)=ex—2ax=2x—a),%G(1,+oo).

設(shè)f(%)=0,得a=，

設(shè)h(x)=則//(%)=a；?.

當(dāng)％>1時(shí)>0,h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以/i(x)的值域是6,+8).

①當(dāng)aW機(jī)寸合一a>0,則f'Q)>0,f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/(x)>/(I)=e-a>最符合題意.

②當(dāng)a>割寸,九(1)=1<a,所以h(x)=a有唯一實(shí)根巾配>1),即/''(%)=0有

唯一實(shí)根出，當(dāng)x￡(1,殉)時(shí)/(%)<0/(%)在(1,配)上單調(diào)遞減，所以f(x)<

f(l)=e-a</不符合題意.

綜上所述,a<京即a的取值范圍是(-8身.

【點(diǎn)睛】本題第(2)問(wèn)先構(gòu)造部分函數(shù)以0求導(dǎo)得3(%)=與薩，進(jìn)而求出

獻(xiàn)》)的值域。,+8),然后根據(jù)h(x)的值域?qū)進(jìn)行分類討論，從而判斷出/'(%)的

符號(hào).

2.已知不等式e*>x2+ax+1對(duì)任意%G[1,4-8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

[解析】e*2/+ax+1=aW+-(%+：),

令f⑺蕓一1+

因?yàn)樯?%+1,所以當(dāng)x<1時(shí)/(%)遞減,x>1時(shí)f(x)遞增，

所以f(x)min=f⑴=e-2,故a<e-2.

3.已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)/(%)=ex(ex-a)-a2x,/'(x)=(2ex+a)(ex-a),

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=e?x是R上的增函數(shù)，

當(dāng)a>0時(shí),/'(%)=O=?ez=a=>%=Ina,

"%)的單調(diào)減區(qū)間為(-Pina),單調(diào)增區(qū)間為(Ina,+8),

當(dāng)a<0時(shí),/'(%)=0=>ex=—j=>x=In

/(%)的單調(diào)減區(qū)間為(一8,In(-鄉(xiāng)),單調(diào)增區(qū)間為(in(y),+8),

(2)由(1)知,

①當(dāng)a>0時(shí),f(%)min=/Ona)=-a2lna,

要使/(x)>0恒成立，只需一a2lna>0即可，解得0<aW1;

②當(dāng)aV0時(shí),f(x)min=f(in(-I))=?2(I-ln(-f)),

要使f(%)20恒成立，只需a2g-ln(-0)>o即可，解得a2$;

2x

③當(dāng)Q=0時(shí),f(x)=e>0顯然成立.

綜上所述，若/