2023-2024學(xué)年青海省西寧市高二年級(jí)下冊開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)模擬試題A卷（含答案）

2023-2024學(xué)年青海省西寧市高二下冊開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)

模擬試題A卷

一、單選題

1.已知/")=xe'+3sinx,則曲線y=f⑴在點(diǎn)(0"(0))處的切線方程為()

A.y=xB.y=3xC.y=2xD.y=4x

【正確答案】D

【分析】求出在點(diǎn)(0J(0))處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，直接寫出切線方程即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=xe*+3sinx,所以f(0)=0,/'(x)=e*+xe*+3cosx,

所以切線的斜率左=f'(0)=l+3=4,

所以曲線>=f(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程為y=4x,

故選：D.

2.已知等比數(shù)列｛4“｝和等差數(shù)列也｝,“wN*,滿足《=4=2,生>09=砥q-4=24,貝I]

%-期0=()

A.-2B.1C.4D.6

【正確答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比和等差數(shù)列他,｝的公差分別為4，”,列方程組求得4，”得通

項(xiàng)公式，從而可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比和等差數(shù)列也｝的公差分別為4，”.

因?yàn)閝=2,1>0,所以4>0.

由題意得2d=2+2d,

又24-(2+2")=24,解得g=2,d=3,

所以4=2"也=3"-1,

6

J5fr^a6-2felo=2-2x(3x10-1)=64-58=6,

故選：D.

3.已知棱長為1的正方體ABCO—ASCQ的上底面A/GR的中心為。1,則AO「AG的

值為()

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出AC-

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

1,11c,(0,1,1),

政=[一器])的=(-1,1,1),

AQ.A￡=[H，l)(-l,l,l)=g+g+l=2

故選：D

4.直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)尸在圓(工一2丫+V=2上，貝

面積的取值范圍是

A.[2,6]B.[4.8]C.[點(diǎn)，3點(diǎn)]D,[2及，3夜]

【正確答案】A

【詳解】分析：先求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到|AB|,再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線

距離范圍，由面積公式計(jì)算即可

詳解：直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)

A(-2,0),B(0,-2)JlJ|AB|=2&

點(diǎn)P在圓（X-2>+y2=2上

???圓心為(2,0),則圓心到直線距離4=2哭a=2&

故點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離出的范圍為[夜,3夜]

則S-=』AB|&=^&e[2,6]

故答案選A.

點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔

題.

5.已知雙曲線C：—-y2=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為C的右焦點(diǎn)，過戶的直線與C的兩條漸

3

近線的交點(diǎn)分別為M、M若，為直角三角形，則|MN|=

3I-

A.-B.3C.2GD.4

【正確答案】B

【詳解】分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而

得至UNFON=30",根據(jù)直角三角形的條件，可以確定直線MN的傾斜角為60,或120”,根據(jù)

相關(guān)圖形的對稱性，得知兩種情況求得的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為601利用點(diǎn)斜

式寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，求得M(3,6),N(|,-咚)，利用兩

點(diǎn)間距離公式求得|MN|的值.

詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為土且，且右焦點(diǎn)為尸(2,0),

3

從而得到ZFON=30°,所以直線MN的傾斜角為60,或120。，

根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為60,

可以得出直線MN的方程為y=G(x-2),

分別與兩條漸近線尸冬和)，=-今聯(lián)立，

求得M⑶百),2(|,-日)，

所以|MV|=J(3-|)2+(O+*)2=3，故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距

離，再分析點(diǎn)是怎么來的，從而得到是直線的交點(diǎn)，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線

的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線MN的斜率，結(jié)合過右焦

點(diǎn)的條件，利用點(diǎn)斜式方程寫出直線的方程，之后聯(lián)立求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，之后應(yīng)用兩點(diǎn)間

距離公式求得結(jié)果.

6.在+展開式中』的系數(shù)為24,則實(shí)數(shù)”的值為（）

A.1B.±1C.2D.+2

【正確答案】D

【分析】寫出展開式通項(xiàng)，根據(jù)題意可得r=2,代入通項(xiàng)后可得出關(guān)于。的等式，即可求

解

【詳解】+的展開式為北產(chǎn)弓，"""

由題意得/'=2,故/的系數(shù)為C'2=24,解得q=±2,

故選：D.

22

7.橢圓C:二+與=1（4＞匕＞0）的左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)P,。均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若直

CTb~

線ARAQ的斜率之積為J,則C的離心率為（）

4

A.BB.—C.；D.-

2223

【正確答案】A

v21

【分析】設(shè)「（3/），則Q（F，X）,根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得=再根據(jù)

-x}~+a~4

M+￥=i,將x用玉表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

a~b~

【詳解】［方法一］:設(shè)而不求

設(shè)P（與，x），則Q（F，?）

則由如“。［得：如此廣出.號(hào)=^

4

由%+去=］,得城

-

a~2

所以TJ即

22a4

-xt+a4

所以橢圓C的離心率e*樣邛，

故選A.

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點(diǎn)為B,連接PB,由橢圓的對稱性知：kPR=-kAQ

故&AP,^AQ=卜?公一心。=一^，

由橢圓第三定義得：kPA-kAQ=-^,

如從1

故靛北

所以橢圓C的離心率e，=、1X=3,故選A.

a\a2

8.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+3)=/(3-x),且當(dāng)xe(0,3),f(x)=xex則下

面結(jié)論正確的是()

1919

A./(In3)</</(e)B./(e)</(ln3)</

1919

C.f</(e)</(In3)D./(In3)</(e)</

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性來求解即可.

【詳解】由/(x+6)=/(3-x-3)=/(-x)=/(x),知/(x)是周期函數(shù)，且周期為6,

Ve>2,

Al<ln3<2,

/.I<ln3<2<—<e<3,

2

又f'(x)=(x+l)e",

易知f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增,

所以/(ln3)<J

故選:A.

二、多選題

9.已知向量“=(1,-1,⑼，。=(-2,帆-1,2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.7/1a|=2?則m=+-^2

B.若a_L〃，貝！

C.不存在實(shí)數(shù)2,使得a=6

D.若a-b=—1，則a+Z>=(-1,-2,-2)

【正確答案】AC

【分析】由向量模、向量垂直、數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得相應(yīng)的參數(shù)值，然后計(jì)算判斷ABD,

利用共線向量定理判斷C.

【詳解】由|〃|=2得"12+(_])2+加2=2,解得機(jī)=±也，故A選項(xiàng)正確；

由〃_1_人得一2-"2+1+2%=0,解得〃7=1,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若存在實(shí)數(shù)/，使得a=則1=一24,-1=A(/n-l),m=2A,顯然義無解，

即不存在實(shí)數(shù)％使得4=兀如故C選項(xiàng)正確；

若a.b=-l，則一2-帆+1+2〃7=-1,解得機(jī)=0,于是°+分=(-1,-2,2),故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.設(shè)S,是數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，?,=1,an+,+S?S?+l=O,則下列說法正確的有()

A.數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S"=L

n

B.數(shù)列為遞增數(shù)列

,flJ

C.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a“=一市%

D.數(shù)列｛6｝的最大項(xiàng)為％

【正確答案】ABD

I1,1I,11

【分析】由已知數(shù)列遞推式可得^——不=1,結(jié)合R=—=1,得數(shù)列丁為以1為首項(xiàng),

\+1S.Hax5?

以1為公差的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，可得S“，結(jié)合％=S“-S,i求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公

式，然后逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】解：由3S?Sn+l=0,得S?+l-S?=-S?5“…

111

又下=一=1f,..?數(shù)列丁為以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列,

54[3〃，

則]=l+5T)xl=〃，可得S.=L,故AB正確；

當(dāng)九.2時(shí)，4=S〃-=1一一彳=〃J：=--1彳，

nn-\n(n-l)n(n-i)

1,/?=1

1。，二數(shù)列｛6｝的最大項(xiàng)為4,故C錯(cuò)誤，O正確.

-------,n..z

n(n-l)

故選：ABD.

11.已知/(x)=e'-2x2有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為巧，A2a<9),則下列不等式中正

確的有(參考數(shù)據(jù)In2a0.6931,ln3?l.O986)()

A11nH

A.X,H-XJ<—B.+x,>—

c./(%,)+/(^)<0D./(占)+/(%2)>0

【正確答案】AD

【分析】f(x)=e、-2F有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則/(x)=e-4x有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對于AB,

利用零點(diǎn)存在性定理可分別得演，々范圍，可判斷選項(xiàng)正誤；對于CD,結(jié)合AB選項(xiàng)分析,

“X)在(O,xJ上單調(diào)遞增，可得〃引>/(0)>1,由八21n3)=9-81n3>0,可得2<%<21n3,

后可得f(%)=4三-2考>-1.

【詳解】對于AB選項(xiàng)，由題意得了'(x)=e，-4x有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

令h(x)=f(x)=eA-4x,則力'(x)=e"-4,

得〃(x)=r(x)在(vUn4)上單調(diào)遞減，在(In4,4w)上單調(diào)遞增，

則/?(x)=h(in4)=尸(in4)=4-4In4=4-8In2<0.

又卜；<In4,=/(；)=￡—2<0,則;<不<；,

an

注意到ln4<2<=八2)=e2-8<0,->In9=2In3?2.1972,

44

r^=e^-9>e'"9-9=0,從而2<三<\,所以故A正確，B錯(cuò)誤；

對于CD選項(xiàng)，由AB選項(xiàng)分析可知，當(dāng)XG(O,大)時(shí)，/^x)>0,得/(x)在(O,xJ上單調(diào)

遞增，

又〃0)=1,則〃玉)>/(0)=1,

因r(21n3)=9-81n3>0,2In3>In4,結(jié)合AB選項(xiàng)分析可知2<々<21n3,

因?yàn)榱?(毛)=/2-4七=0,所以/?)=4%-2年,

設(shè)85)=4戈-2/,得g(x)在(l,+oo)上單調(diào)遞減，

則g(?)>g(21n3),又21n3<2.2,

則/(馬)=g(X2)>g(2ln3)>g(2.2)=-O.88>-l,所以/(%)+〃￡)>0,故D正確.

故選：AD.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在性定理研究函數(shù)的極值點(diǎn)，為雙變量問題，難度較

大.對于本題選項(xiàng)的判斷，由整體角度去解決較難得到與選項(xiàng)相符的數(shù)值，故分別去求

X],X2,.f(迎)的范圍.

12.已知拋物線E：V=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過尸的直線與E交于4,8兩點(diǎn)，分別

過A,B作/的垂線，垂足為C,D,且4F=3BF,M為A5中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.ZCFD=90°B.△CMD為等腰直角三角形

C.直線的斜率為土百D.二AOB的面積為4

【正確答案】AC

【分析】對于A、B,結(jié)合拋物線定義可得；

對于C、D,由直線與拋物線聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理及三角形面積公式可得.

【詳解】如圖，過點(diǎn)M向準(zhǔn)線/作垂線，垂足為N,設(shè)8(/,%).

對于A,因?yàn)锳F=AC,所以/AFC=NACF,又因?yàn)?OFC=NACF,

所以/OFC=/A尸C,所以FC平分NOE4,同理可知FD平分NOFB,所以/CF￡>=90。，

故A正確；

對于B,假設(shè)ACM。為等腰直角三角形，則/CFD=/CMO=90。，

則C,D,F,M四點(diǎn)共圓且圓的半徑為：CD=MN,又因?yàn)锳F=3B凡

所以AB=AF+BF=AC+BO=2MN=4BF,所以MN=2BF,

所以CO=2MN=48凡所以CO=A8,顯然不成立，故B錯(cuò)誤:

)4”,所以/-4/ny-4=0,

對于C,設(shè)直線AB的方程為彳=殂+1,聯(lián)立，

x=my+1

y.+%=4m-2y2=4/n

所以12,,又因?yàn)锳F=3BF,所以凹=-3丫2,所以

%%=-4一3y；=-4

所以，所以）±5所以直線他的斜率為土折故c正確;

,,_±/3

對于D,不妨取"7=1,則＜8G

3,所以|乂一%|=

3

%%=-4

考=皚故D錯(cuò)誤.

三、填空題

13.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱

為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的

第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，均為9

環(huán)，則三層共有扇面形石板（不含天心石）數(shù)量是.

【正確答案】3402

【分析】把各環(huán)石板數(shù)用數(shù)列｛。,,｝表示，上層第一環(huán)石板數(shù)記為4,可得三層共27項(xiàng)，數(shù)

列是等差數(shù)列，公差和首項(xiàng)都是9,求得其前27項(xiàng)和即得.

【詳解】從上層第一環(huán)石板數(shù)記為4,向外向下石板數(shù)依次記為他"，此數(shù)列是等差數(shù)列,

公差為4=9,首項(xiàng)4=9,三層共27項(xiàng).

所以和為§27=27x9+27；6〉9=3402.

故3402.

14.“五一”小長假快到了，某單位安排甲、乙、丙、丁四人于5月1日至5月4日值班，

一人一天，甲的值班只能安排在5月1日或5月4日且甲、乙的值班日期不能相鄰的排法

有種.

【正確答案】8

【分析】根據(jù)甲有特殊要求，所以通過分類討論先安排甲，由甲乙不相鄰再安排乙，再安排

剩余兩人即可.

【詳解】若甲在5月1日值班，則乙只能在，5月3日或5月4日兩天值班一天，剩余兩人

任意安排

此時(shí)有C；A；=4

若甲在5月4日值班，則乙只能在5月1日或5月4日值班一天

此時(shí)有C；A；=4

貝(J共有4+4=8種排法

故答案為8

本題主要考查排列組合的應(yīng)用，注意特殊元素優(yōu)先安排，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知函數(shù)/(x)=e*-alnx的極小值為“，則。的值為.

【正確答案】e

【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)極小值，根據(jù)極小值為4求解.

【詳解】尸（》）=，-2,

若。40,則當(dāng)xe（（）,”）時(shí)，/^）>0,“X）單調(diào)遞增，

此時(shí)“X）不存在極值，不符合題意，

所以”>0,易知/'（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，且當(dāng)X-0+時(shí)，—,

當(dāng)X-+8時(shí)，所以存在唯一的不€（0,用），使得了‘（/）=（）.

當(dāng)xe（（）,x°）時(shí)，r（x）<0,〃x）單調(diào)遞減;

當(dāng)XG小,內(nèi)）時(shí)，第x）>0,/（x）單調(diào)遞增.

所以/'（X）的極小值〃/）=e-w-。In毛=a,

,叢a

因?yàn)?=一,

不

所以q-"In%=a,即---Inx0=1,

設(shè)g(x)=g-lnx,因?yàn)間，(x)=_(_g<0,

所以g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減,又g⑴=1,

所以%=1,從而a=/e"=e.

故e

16.在棱長為2的正方體ABCD-4/8/G。/中，E,尸分別為棱A4/,88/的中點(diǎn)，G為棱48/

上的一點(diǎn)，且A/G=/l（0</l<2）,則點(diǎn)G到平面O/EF的距離為.

【正確答案】邁

5

【分析】先證明A/B/〃平面力/ER進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)4/到平面O/E尸的距離，然后建

立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的運(yùn)算求得答案.

【詳解】由題意得A/B/〃EF,A/B/U平面Q/EF,EFu平面。/EF,所以A/B/〃平面Q/ER

則點(diǎn)G到平面DtEF的距離等于點(diǎn)4到平面DtEF的距離.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。。/所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則￡)/(0,0,2),￡(2,0,1),F(2,2,1),4⑵0,2),所以曲=(2,0,-1)，第=(2,2,-1)，

A^=(o,o,-i).

-n-D.E=0[2x-z=0

設(shè)平面O/EF的法向量為〃=(x,y,z)，則八=>0—八

''(nO1F=0[2x+2y-z=0

令k1,貝!|.y=0,z=2,

所以平面。/￡尸的一個(gè)法向量；=(1,0,2).

點(diǎn)A/到平面DiEF的距離d=空土=二^=地，即點(diǎn)G到平面DiEF的距離為攣.

|〃|555

故答案為.平

四、解答題

17.已知等比數(shù)列料,｝的前”項(xiàng)和為5“，且2a=

(1)求?！ㄅc5“；

2/7,—1

(2)記友=——，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和人

%

【正確答案】(1)4=2"-',S?=2--l；(2)T“=6-誓.

【分析】(1)利用4,=，-5,1可得數(shù)列的遞推式，得其為等比數(shù)列，易得通項(xiàng)公式、求和;

(2)由(1)得口,用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】(1)由2%/=1,得5,=2a“-1,

當(dāng)〃=1時(shí)，a,=S,=2at-l,得4=1；

當(dāng)〃22時(shí)，4=S,-S,T=(2a“-1)-(2%-1),得a“=2a“_|,

所以數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以a“=2"T.

所以S“=2a,,-1=2T.

2〃一1

(2)由(1)可得2=9丁，

則刀，=；+|+/+L+^r^=lxl+3x；+5x*+L+(2n-l)-,

=lxg+3x*+5x*++(2?-1)~,

兩式相減得［=1+2(；+*+最'+L+擊)-(2"-1)9,

所以Z,=2+4(g+g+/+L+白)-(2"-1).擊

c,22"八八1,2〃+3

=2+4-^^--(2"-1)?尸=6--

1--

2

(1)錯(cuò)位相減法適用于數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列｛%｝和一個(gè)等比數(shù)列｛〃｝對應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成

的數(shù)列的求和，求解的方法是等式兩邊乘等比數(shù)列的公比再錯(cuò)位相減，錯(cuò)位相減后

化歸為一個(gè)等比數(shù)列的求和；

(2)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比

為負(fù)數(shù)的情形；二是在寫出“5“”與“染“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”，以便下

一步準(zhǔn)確寫出“S,,-染“”的表達(dá)式.

18.如圖，已知48co和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=l,ZBAD=ZCDE=a)°,二面角F-OC-8的平面角為60°.設(shè)M,N分別為AE,8c

的中點(diǎn).

EF

(1)證明：FNLAD；

(2)求直線BM與平面AOE所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；

⑵等?

【分析】(D過點(diǎn)E、。分別做直線。C、48的垂線EG、￡歸并分別交于點(diǎn)G、H,由

平面知識(shí)易得FC=8C,再根據(jù)二面角的定義可知，NBCF=60,由此可知，F(xiàn)NA.BC,

FNLCD,從而可證得RV_L平面A3CD,即得/WLAO；

(2)由(1)可知FN_L平面ABCD,過點(diǎn)N做AB平行線NK,所以可以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,

NB、NF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-型，求出平面AOE的

一個(gè)法向量，以及的W，即可利用線面角的向量公式解出.

【詳解】(1)過點(diǎn)E、。分別做直線。C、A8的垂線EG、并分別交于點(diǎn)G、H.

???四邊形ABCD和EFCO都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

ABAD=ZCDE=60°,由平面幾何知識(shí)易知，

DG=AH=2,2EFC=NDCF=NDCB=ZABC=90°，則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩

形，.?.在Rt-EGD和EG=DH=26,

VDCLCF,DCVCB,且C/cC8=C,

，DC，平面BCF/BCF是二面角尸―QC-3的平面角，則ZBCF=60,

...△5b是正三角形，由。Cu平面ABC。，得平面A3CD工平面8b,

：N是BC的中點(diǎn)，/WJL8C,又。CJ?平面Bb,/Wu平面BCF,可得FNLCD,

而BCcCD=C,，F(xiàn)NJ?平面ABC。，而ADu平面A88..FN_LAr).

(2)因?yàn)镕NL平面A5CO,過點(diǎn)N做A8平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,M3、

NF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-盯z,

設(shè)A(5,石,0),8(0,6,0),D(3,-G,O),E(1,O,3),則M3,331

V'27

:.BM=3,--,-MD=(-2,-2^3,0),DE=(-2,73,3)

22

設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z)

n-AD=0-2x-2y/3y=0

由，,z得ri<取“=(x/3,-l,>/3),

n-DE^O-2x+Gy+3z=0

設(shè)直線BM與平面ADE所成角為凡

22

19.已知耳,鳥分別是橢圓C:「+《=im>%>0)的左、右焦點(diǎn)，4是C的右頂點(diǎn)，

ab~

h用=2-6,P是橢圓C上一點(diǎn)，M,N分別為線段尸耳,PF?的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊

形OMPN的周長為4.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)若不過點(diǎn)A的直線/與橢圓C交于。，E兩點(diǎn)，且A0-AE=O，判斷直線/是否過定點(diǎn)，

若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

【正確答案】(1)標(biāo)準(zhǔn)方程為二+丁=1.

4

⑵直線/過定點(diǎn)(1,0

【分析】（1）由三角形的中位線性質(zhì)可得四邊形OMPN的周長即為2a,橢圓的右頂點(diǎn)到右

焦點(diǎn)的距離為a—c,從=a?-c2聯(lián)立即可得橢圓方程；

（2）分類討論斜率存在與斜率不存在，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程），=辰+機(jī)，聯(lián)立直線與

橢圓方程，由韋達(dá)定理可得芭+々,再％,再由A?AE=O可得無與切的關(guān)系式，將其代入直

線方程可得定點(diǎn)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，代入計(jì)算即可.

【詳解】（1）M,N分別為線段尸耳,尸工的中點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，

QM|=|PN|=g|戶用,|ON|=||=；|?用，

???四邊形OMPN的周長為|PM|+|QM|+|PN|+|CW|=|尸用+歸用=2a=4,

.?.。二2,

/.|AF2\=a—C=2—C=2—5/3,.*.c=5A，

b=\la2—c2=Ji2-（Gy=1?

2

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4-

（2）設(shè)￡>（%,%）,E（%,%），

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丫=履+機(jī)，

2

代入.+>2=1,整理得（1+4用/+8輸+4/-4=0,

則△=（8癡）2—4（1+4用（4/一4）>0,

8km4m2-4

易知42,0）,

UUUUUU

XX

ADAE=（xl-2,.yI）（x2-2,^2）=（1-2）（2-2）+y1y2

=(3-2)(/―2)+(3+m)(您+加)=(1+22居%2+(A/n-2)(j^+x?)+m2+4

1+公乂4療一4）

1+4-

化簡得12公+16km+5凹2=0,

...m=一42或m=一2攵（舍去）,

二直線/的方程為y=fct-1左,即…卜司,直線/過定點(diǎn)停。

當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，設(shè)/：X=?-2<r<2）,

代入手+/=1,解得y=±j—

由A。?AE=0得A。_LA石，

/.|2-/1=J1-—，解得，=目或，=2(舍去)，

V45

此時(shí)直線/過點(diǎn)(，0).

綜上，直線/過定點(diǎn)(豹).

求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路

(1)把直線或曲線方程中的變量X,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那

么這個(gè)方程就要對任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于

x,y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).

(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)-，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)-yo=Kx-xo),則直線必過定

點(diǎn)(xo,曲；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=fcr+，"，則直線必過定點(diǎn)(0,m).

20.已知函數(shù)/(x)=odnx+eX-l.

(1)若/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

⑵當(dāng)〃＞0時(shí)，若存在唯一零點(diǎn)引，極值點(diǎn)為々，證明.2%＜不

【正確答案】(1)[Y,0]

(2)證明見解析

【分析】(1)/(x)f/'(x)組出型。尸(力20拆州即單＞a的取值范圍

小(士1(e+a1A

(2)由(1)Tr(x)3U/”(x)的單調(diào)性小卜。《口〈。、存在”e。，-，使得

＞\eJ

r(x2)=O,/("的單調(diào)性迎＜。外)＞?！反嬖谖鳌?孫1),使得“xJ=Of要證2々"，

2v

即證/（2X2）</（%）=0,即證2%加2x2+e-l<0=。->

In2X則埼皿料））e*-eT「ln2%

只需證明2即可得到2%2＜X1.

1+Inx2證明“<x+l"e（o1I2X21+InX2

【詳解】(D解:由題意，函數(shù)/(x)=adnx+e、-l,可得祀(x)=a(l+lnx)+e",

因?yàn)?(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因此r(x)zo恒成立.

當(dāng)4>0時(shí),fe+'^<-e+e=O,不滿足題意.

當(dāng)。=0時(shí)，r(x)=e，>0,滿足題意.

當(dāng)a<0時(shí)，/'(x)20即a(l+lnx)+e*20,得1^^4一^，

心匚/\